高考数学总复习第十章计数原理概率第2讲排列与组合学案Word格式.docx

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（1）＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝

（2）＝＝

＝（n，m∈N*，且m≤n）.特别地＝1

性质

（1）0！

＝1；

＝n！

（2）＝；

＝＋

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×

”）

（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列.（　　）

（2）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.（　　）

（3）若组合式＝，则x＝m成立.（　　）

（4）＝.（　　）

解析　元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故

（1）不正确；

若＝，则x＝m或n－m，故（3）不正确.

答案　

（1）×

（2）√　（3）×

　（4）√

2.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（　　）

A.12B.24C.64D.81

解析　4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为＝24.

答案　B

3.（选修2－3P28A17改编）从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（　　）

A.18B.24C.30D.36

解析　法一　选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有＋＝30种.

法二　从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即－－＝30.

答案　C

4.（2017·

浙江三市十二校联考）用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有个；

其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有个.

解析　用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字六位数共有＝720个；

将1，3，5三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有＝144个.

答案　720　144

5.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（用数字作答）.

解析　末位数字排法有，其他位置排法有种，共有＝48种.

答案　48

6.（2017·

绍兴调研）某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（用数字作答）.

解析　法一　（直接法）甲、乙两人均入选，有种.

甲、乙两人只有1人入选，有种方法，

∴由分类加法计数原理，共有＋＝49（种）选法.

法二　（间接法）从9人中选3人有种方法.

其中甲、乙均不入选有种方法，

∴满足条件的选排方法是－＝84－35＝49（种）.

答案　49

考点一　排列问题

【例1】（2017·

河南校级月考）3名女生和5名男生排成一排.

（1）如果女生全排在一起，有多少种不同排法？

（2）如果女生都不相邻，有多少种排法？

（3）如果女生不站两端，有多少种排法？

（4）其中甲必须排在乙前面（可不邻），有多少种排法？

（5）其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？

解　

（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有种排法，因此共有·

＝4320（种）不同排法.

（2）（插空法）先排5个男生，有种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有种排法，因此共有·

＝14400（种）不同排法.

（3）法一　（位置分析法）　因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人，有种排法，剩余的位置没有特殊要求，有种排法，因此共有·

法二　（元素分析法）　从中间6个位置选3个安排女生，有种排法，其余位置无限制，有种排法，因此共有·

（4）8名学生的所有排列共种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，∴符合要求的排法种数为＝20160（种）.

（5）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.

法一　（特殊元素法）甲在最右边时，其他的可全排，有种；

甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有种；

而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有种；

其余人6个人进行全排列，有种.共有·

·

种.

由分类加法计数原理，共有＋·

＝30960（种）.

法二　（特殊位置法）先排最左边，除去甲外，有种，余下7个位置全排，有种，但应剔除乙在最右边时的排法·

种，因此共有·

－·

法三　（间接法）8个人全排，共种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有种，乙在最右边时，有种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有种.因此共有－2＋＝30960（种）.

规律方法　

（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.

（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.

【训练1】

（1）（2017·

新余二模）7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（　　）

A.120B.240C.360D.480

（2）（2017·

抚顺模拟）某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（　　）

A.30B.600C.720D.840

解析　

（1）第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×

4×

5×

6＝360种方法.

（2）若只有甲乙其中一人参加，有＝480种方法；

若甲乙两人都参加，有＝240种方法，则共有480＋240＝720种方法，故选C.

答案　

（1）C　

（2）C

考点二　组合问题

【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.

（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

解　

（1）从余下的34种商品中，选取2种有＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.

（2）从34种可选商品中，选取3种，有种或者－＝＝5984种.

∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.

（3）从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有＝2100种.

∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.

（4）选取2种假货有种，选取3件假货有种，共有选取方式＋＝2100＋455＝2555种.

∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.

（5）选取3件的总数为，因此共有选取方式

－＝6545－455＝6090种.

∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.

规律方法　组合问题常有以下两类题型变化：

（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；

“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；

“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：

解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

【训练2】

（1）（2017·

邯郸一模）现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是（　　）

A.90B.115C.210D.385

湖州市质检）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（　　）

A.60种B.63种C.65种D.66种

解析　

（1）分三类，取2个黑球有＝90种，取3个黑球有＝24种，取4个黑球有＝1种，故共有90＋24＋1＝115种取法，选B.

（2）共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有＋＋＝66（种）.

答案　

（1）B　

（2）D

考点三　排列、组合的综合应用

【例3】4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.

（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？

（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？

（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？

解　

（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？

”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有×

＝144（种）.

（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.

（3）确定2个空盒有种方法.

4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有种方法；

第二类有序均匀分组有·

种方法.故共有（＋·

）＝84（种）.

规律方法　

（1）解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）.对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.

（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：

①不均匀分组；

②均匀分组；

③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.

【训练3】

（1）某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（　　）

D.2

（2）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）.

解析　

（1）法一　将4人平均分成两组有种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有（种）.

所以不同的安排方法有（种）.

法二　先从6个班级中选2个班级有种不同方法，然后安排学生有种，故有＝（种）.

（2）把8张奖券分4组有两种分法，一种是分（一等奖，无奖）、（二等奖，无奖）、（三等奖，无奖）、（无奖，无奖）四组，分给4人有种分法；

另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有种分法，再分给4人有种分法，所以不同获奖情况种数为＋＝24＋36＝60.

答案　

（1）B　

（2）60

[思想方法]

1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑

（1）以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.

（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

（3）先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.

2.排列、组合问题的求解方法与技巧

（1）特殊元素优先安排；

（2）合理分类与准确分步；

（3）排列、组合混合问题先选后排；

（4）相邻问题捆绑处理；

（5）不相邻问题插空处理；

（6）定序问题排除法处理；

（7）分排问题直排处理；

（8）“小集团”排列问题先整体后局部；

（9）构造模型；

（10）正难则反，等价条件.

[易错防范]

1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.

2.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.

3.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.

4.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.