高考数学总复习第十章计数原理概率第2讲排列与组合学案Word格式.docx

1、（1）n（n1）（n2）（nm1）（2）（n，mN*，且mn）.特别地1性质（1）0！1；n！（2）；诊 断 自 测1.判断正误（在括号内打“”或“”）（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列.（）（2）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.（）（3）若组合式，则xm成立.（）（4）.（）解析元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故（1）不正确；若，则xm或nm，故（3）不正确.答案（1）（2）（3）（4）2.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（）A.12 B.24 C.64 D.81解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分

2、配方法为24.答案B3.（选修23P28A17改编）从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（）A.18 B.24 C.30 D.36解析法一选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有12种，故3名学生中男女生都有的选法有30种.法二从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即30.答案C4.（2017浙江三市十二校联考）用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有个；其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有个.解析用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字六位数

3、共有720个；将1，3，5三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有144个.答案7201445.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（用数字作答）.解析末位数字排法有，其他位置排法有种，共有48种.答案486.（2017绍兴调研）某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（用数字作答）.解析法一（直接法）甲、乙两人均入选，有种.甲、乙两人只有1人入选，有种方法，由分类加法计数原理，共有49（种）选法.法二（间接法）从9人中选3人有种方法.其中甲、乙均不入选有种方法，满足条件的选排方法

4、是843549（种）.答案49考点一排列问题【例1】 （2017河南校级月考）3名女生和5名男生排成一排.（1）如果女生全排在一起，有多少种不同排法？（2）如果女生都不相邻，有多少种排法？（3）如果女生不站两端，有多少种排法？（4）其中甲必须排在乙前面（可不邻），有多少种排法？（5）其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？解（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有种排法，因此共有4 320（种）不同排法.（2）（插空法）先排5个男生，有种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个

5、位置排女生，有种排法，因此共有14 400（种）不同排法.（3）法一（位置分析法）因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人，有种排法，剩余的位置没有特殊要求，有种排法，因此共有法二（元素分析法）从中间6个位置选3个安排女生，有种排法，其余位置无限制，有种排法，因此共有（4）8名学生的所有排列共种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，符合要求的排法种数为20 160（种）.（5）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.法一（特殊元素法）甲在最右边时，其他的可全排，有种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有种；而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有种；其余人6个人进行全排

6、列，有种.共有种.由分类加法计数原理，共有30 960（种）.法二（特殊位置法）先排最左边，除去甲外，有种，余下7个位置全排，有种，但应剔除乙在最右边时的排法种，因此共有法三（间接法）8个人全排，共种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有种，乙在最右边时，有种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有种.因此共有230 960（种）.规律方法（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用

7、倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练1】 （1）（2017新余二模）7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）A.120 B.240 C.360 D.480（2）（2017抚顺模拟）某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A.30 B.600 C.720 D.840解析（1）第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时

8、形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3456360种方法.（2）若只有甲乙其中一人参加，有480种方法；若甲乙两人都参加，有240种方法，则共有480240720种方法，故选C.答案（1）C（2）C考点二组合问题【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解（1）从余下的34种商品中，选取2种

9、有561种，某一种假货必须在内的不同取法有561种.（2）从34种可选商品中，选取3种，有种或者5 984种.某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.（3）从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有2 100种.恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.（4）选取2种假货有种，选取3件假货有种，共有选取方式2 1004552 555种.至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.（5）选取3件的总数为，因此共有选取方式6 5454556 090种.至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含

10、”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练2】 （1）（2017邯郸一模）现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是（）A.90 B.115 C.210 D.385湖州市质检）若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A.60种 B.63种 C.65种 D.66种

11、解析（1）分三类，取2个黑球有90种，取3个黑球有24种，取4个黑球有1种，故共有90241115种取法，选B.（2）共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，共有不同的取法有66（种）.答案（1）B（2）D考点三排列、组合的综合应用【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？解（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？

12、”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有144（种）.（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有种方法.故共有（）84（种）.规律方法（1）解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）.

13、对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.【训练3】 （1）某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（） D.2（2）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）.解析（1）法一将4人平均分成两

14、组有种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有（种）.所以不同的安排方法有（种）.法二先从6个班级中选2个班级有种不同方法，然后安排学生有种，故有（种）.（2）把8张奖券分4组有两种分法，一种是分（一等奖，无奖）、（二等奖，无奖）、（三等奖，无奖）、（无奖，无奖）四组，分给4人有种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有种分法，再分给4人有种分法，所以不同获奖情况种数为243660.答案（1）B（2）60思想方法1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑（1）以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再

15、考虑其他位置.（3）先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧（1）特殊元素优先安排；（2）合理分类与准确分步；（3）排列、组合混合问题先选后排；（4）相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题排除法处理；（7）分排问题直排处理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价条件.易错防范1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.2.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.3.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.4.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.