上海市2001-2012年中考数学试题分类解析专题6：函数的图像与性质.doc

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2001-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编（12专题）

专题6：

函数的图象与性质

锦元数学工作室编辑

一、选择题

1.（上海市2004年3分）在函数的图象上有三点、，已知，则下列各式中，正确的是【】

A.B.

C.D.

【答案】C。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质。

【分析】根据题意画出图形，再根据函数的增减性解答即可：

∵＞0，函数图象如图，

∴图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小。

∵，∴。

故选C。

2.（上海市2006年4分）二次函数图像的顶点坐标是【】

（A.）（－1，3）（B）.（1，3）（C）.（－1，－3）（D）.（1，－3）

【答案】B。

【考点】二次函数的性质。

【分析】根据二次函数的顶点式的特点，直接写出顶点坐标：

（1，3）。

故选B。

3.（上海市2007年4分）如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么【】A．， B．， C．， D．，

【答案】B。

【考点】一次函数图象与系数的关系。

【分析】一次函数的图象有四种情况：

①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；

②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；

③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；

④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小。

由题意得，函数的图象经过第一、三、四象限，，。

故选B。

4.（上海市2008年4分）在平面直角坐标系中，直线经过【】

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

【答案】A。

【考点】一次函数图象与系数的关系。

【分析】一次函数的图象有四种情况：

①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；

②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；

③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；

④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小。

由题意得，函数的，，故它的图象经过第一、二、三象限。

故选A。

5.（上海市2008年Ⅰ组4分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是【】

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B。

【考点】抛物线与轴的交点。

【分析】抛物线与轴的交点的个数即方程不相等实数根的个数，有2个，故选B。

6.（上海市2009年4分）抛物线（是常数）的顶点坐标是【】

A． B． C． D．

【答案】B。

【考点】抛物线的性质。

【分析】因为抛物线是顶点式，根据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标是。

故选B。

7.（上海市2010年4分）在平面直角坐标系中，反比例函数图像的两支分别在【】

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限

【答案】B。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据反比例函数的性质：

当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：

∵反比例函数的系数，

∴图象两个分支分别位于第二、四象限。

故选B。

8.（上海市2011年4分）抛物线＝－（＋2）2－3的顶点坐标是【】

（A）（2，－3）；（B）（－2，3）；（C）（2，3）；（D）（－2，－3）．

【答案】Ｄ。

【考点】二次函数的顶点坐标。

【分析】由二次函数的顶点式表达式＝－（＋2）2－3直接得到其顶点坐标是（－2，－3）。

故选Ｄ。

二、填空题

1.（2001上海市2分）如果正比例函数的图象经过点（2，4），那么这个函数的解析式为▲．

【答案】。

【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】设正比例函数的解析式为，

∵正比例函数的图象经过点（2，4），

∴根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，得，解得。

∴这个函数的解析式为。

2.（上海市2002年2分）抛物线的顶点坐标是▲．

【答案】（3，－6）。

【考点】二次函数的性质

【分析】把抛物线解析式的一般式配方为顶点式，再根据顶点式直接写出顶点坐标：

∵，∴抛物线的顶点坐标是（3，－6）。

3.（上海市2003年2分）在平面直角坐标系内，从反比例函数的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是▲。

【答案】。

【考点】反比例函数系数k的几何意义。

【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|：

根据题意，知|k|=12，k=±12，

又∵k＞0，∴k=12。

∴该函数关系式为：

。

4.（上海市2005年3分）点A（2，4）在正比例函数的图象上，这个正比例函数的解析式是▲

【答案】。

【考点】待定系数法求正比例函数解析式，曲线上的点与坐标的关系。

【分析】设这个正比例函数的解析式是，因为点A（2，4）在该正比例函数的图象上，所以有4=2，从而可求出=2。

从而得这个正比例函数的解析式是。

5.（上海市2005年3分）如果将二次函数的图象沿y轴向上平移1个单位，那么所得图象的函

数解析式是▲

【答案】。

【考点】二次函数图象与平移变换。

【分析】直接利用平移的规律“左加右减，上加下减”，在原函数上加1可得新函数解析式。

6.（上海市2006年3分）某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，

那么这种汽油的单价是每升▲元。

【答案】5.09。

【考点】函数的图象。

【分析】根据图象知道100升油花费了509元，由此即可求出这种汽油的单价：

单价=509÷100=5.09元。

7.（上海市2007年3分）如图，正比例函数图象经过点，该函数解析式是▲．

【答案】。

【考点】待定系数法求正比例函数解析式。

【分析】设该正比例函数的解析式为，

由图象可知，该函数图象过点A（1，3），∴。

∴该正比例函数的解析式为。

8.（上海市2008年4分）在平面直角坐标系中，如果双曲线经过点，那么

▲．

【答案】－2。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】因为双曲线经过点，所以满足方程，即，从而。

9.（上海市2009年4分）反比例函数图像的两支分别在第▲象限．

【答案】一、三。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据反比例函数的性质：

当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：

∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第一、三象限。

10.（上海市2010年4分）一辆汽车在行驶过程中，路程y（千米）与时间x

（小时）之间的函数关系如图所示当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为

y=60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为▲.

【答案】y=100x－40。

【考点】函数图象，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】在0≤x≤1时，把x=1代入y=60x，则y=60，那么当1≤x≤2时由两点坐标（1,60）与（2,160）

得当1≤x≤2时的函数解析式为y=100x－40。

11.（上海市2011年4分）如果反比例函数（是常数，≠0）的图像经过点（－1，2），那么这个函数的解析式是▲．

【答案】。

【考点】曲线上的点与方程的关系。

【分析】根据点在曲线图上点的坐标满足方程的关系，把（－1，2）代入，得，即，那么这个函数的解析式是。

三、解答题

1.（2001上海市10分）如图，已知抛物线y＝2x2－4x＋m与x轴交于不同的两点A、B，其顶点是C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点．

（1）求实数m的取值范围；

（2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含有m的式子表示）；

（3）若直线分别交x轴、y轴于点E、F，问△BDC与△EOF是否有可能全等，如果可能，请证明；如果不可能，请说明理由．

【答案】解：

（1）令y=0，则有2x2－4x＋m=0，依题意有，△=16－8m＞0，∴m＜2。

又∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，∴m＞0.

因此实数m的取值范围为0＜m＜2。

（2）∵，∴C（1，m－2）。

令y=0，2x2－4x＋m=0，则（由

（1）知）。

∴AB＝。

（3）在中令y=0，得x＝，∴E（，0）。

令x=0，得y＝1，∴F（0，1）。

∴OE=，OF=1。

由

（2）可得BD=，CD=2－m。

当OE=BD时，，解得m=1。

此时OF=DC=1。

又∵∠EOF=∠CDB=90°，∴△BDC≌△EOF（SAS）。

∴两三角形有可能全等。

【考点】二次函数综合题，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，二次函数的性质和应用，全等三角形的判定。

【分析】

（1）由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，因此对应的一元二次方程的根的判别式△＞0，求解即可。

（2）直接根据顶点式得到顶点坐标和与x轴的交点坐标，再求AB的长度。

（3）要求判定△BDC与△EOF是否有可能全都，即指探索全都的可能性，本题已有∠CDE=∠EOF=90°，BD与OE或OF都可能是对应边，证出其中一种情形成立即可。

2.（上海市2002年10分）如图，直线y＝x＋2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9．

（1）求点P的坐标；

（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.

【答案】解：

（1）由题意，得点C（0，2），点A（－4，0）。

　　设点P的坐标为（a，a＋2），其中a＞0。

由题意，得S△ABP＝（a＋4）（a＋2）＝9，

　　解得a＝2或a＝－10（舍去）。

　　而当a＝2时，a＋2＝3，∴点P的坐标为（2，3）。

（2）设反比例函数的解析式为。

　　∵点P在反比例函数的图象上，∴，k＝6。

∴反比例函数的解析式为。

设点R的坐标为（b，），点T的坐标为（b，0）其中b＞2，那么BT＝b－2，RT＝。

①当△RTB∽△AOC时，，即，

∴，解得b＝3或b＝－1（舍去）。

∴点R的坐标为（3，2）。

②当△RTB∽△COA时，，即，　

∴　，解得b＝1＋或b＝1－（舍去）。

∴点R的坐标为（1＋，）。

综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1＋，）。

【考点】一次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。

【分析】

（1）根据点在直线上，点的坐标满足方程的性质，求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标。

（2）设R点坐标为（x，y），求出反比例函数．又因为△BRT∽△AOC，利用线段比联立方程组求出x，y的值。

3.（上海市2003年10分）卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB。

如图，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的