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JeanMorlet和AlexGrossman
∙1980年代以来:
YvesMeyer,Sté
phaneMallat,英格丽·
多贝西（IngridDaubechies）,RonaldCoifman,VictorWickerhauser
小波
小波（Wavelet）这一术语，顾名思义，“小波”就是小区域的波，而且是长度有限、均值为0的波形。
所谓“小”是指它具有衰减性；
而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。
如下图
正弦波
Meyer小波
Morlet小波
或频域形式：
Marr小波（也叫墨西哥草帽小波）
Haar小波
简单来说，小波函数必须满足下列条件:
（1）
也即
并单位化，
（2）
（3）
，
小波变换的反变换及对基本小波的要求
小波变换区别于某些常用变换（如傅里叶变换、拉氏变换）的一个特点是没有固定的核函数，但也不是任何函数都可用作小波变换的基本小波
。
任何变换都必须存在反变换才有实际意义，但反变换并不一定存在，对小波变换而言，所采用的小波必须满足所谓“容许条件”（admissiblecondition）,反变换才存在。
容许条件：
正规性条件（regularitycondition）
本来满足容许条件的
便可用作基本小波，但实际上往往要求更高些，对
还要施加正规性条件，以便
在频域上表现出较好的局域性能。
也就是要求
且
越大越好。
光滑紧支撑正交小波
的构造
满足
（1）
是中的标准正交基；
满足双尺度方程
（3）
且
（4）
是紧支撑的。
与Fourier变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。
有人把小波变换称为“数学显微镜”。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。
正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到?
?
名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。
幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；
1986年?
名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法?
多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（TenLecturesonWavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。
它与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局网域变换，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（MultiscaleAnalysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。
小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。
与Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。
通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。
小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。
数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；
信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。
[C]小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。
现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。
电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。
现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：
准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。
从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。
现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。
但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。
事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：
数学领域的许多学科；
信号分析、图象处理；
量子力学、理论物理；
军事电子对抗与武器的智能化；
计算机分类与识别；
音乐与语言的人工合成；
医学成像与诊断；
地震勘探数据处理；
大型机械的故障诊断等方面；
例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。
在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。
在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。
在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
（1）小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。
它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。
基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。
（2）小波在信号分析中的应用也十分广泛。
它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。
（3）在工程技术等方面的应用。
包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。
一、基的概念
我们要明确的是基的概念。
两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。
而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。
展开系数大的，说明信号和基，是足够相似的。
这也就是相似性检测的思想。
但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。
因此，小波在实轴上是紧的。
而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。
而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。
此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。
（时频能量守恒）。
二、离散化的处理
傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。
但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。
第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；
第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。
第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。
这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。
借此，计算机的处理才成为可能。
下面我们谈谈小波。
所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。
小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。
但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。
用更为专业的俗语，叫再生核。
也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。
这就叫冗余性。
这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。
但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。
为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。
第一步，尺度离散化。
一般只将a二进离散化，此时b是任意的。
这样小波被称为二进小波。
第二步，离散b。
怎么离散化呢？
b取多少才合适呢？
于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。
也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。
所以b取尺度的整数倍就行了。
也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。
当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。
（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不集中，所以只是近似二分的）。
这时的小波变换，称为离散二进小波变换。
第三步，引入稳定性条件。
也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系。
满足稳定性条件后，也就是一个小波框架产生成了可能。
他是数值稳定性的保证。
一个稍弱的稳定条件，就是0<
A<
=B<
+INF，并且小波函数线性无关，此时小波基称为Reisz基。
并且，如果变换后能量守恒，（A=B=1），并且线性无关，这就是标准离散正交小波基。
这种分解也就是大家熟知的直和分解。
若A和B不相等，且相差很大，我们就说小波不是紧框架的，所以双正交，对偶小波也就自然而然引进来了。
若A和B不相等，但又相差不大，这时稳定重构也是可能的，这时成为几乎紧框架的。
（好像说这样小波有橹棒性特点，也就是粗略分解，但却精确重构。
）经过3步，我们最终地得到了一个二进离散化稳定的小波变换，这正是我们要的结果。
三、快速算法
如果说现代数字信号处理革命的算法，甚至是很多快速算法的老始祖，或者是满矩阵向量乘法一个几乎不可抗拒的最小计算量NlogN，那就是令我不得不佩服的快速傅里叶变换（FFT）。
这里我不想解释过多的基2算法，和所谓的三重循环，还有那经典的蝶形单元，或是分裂基之类，我想说的就是一种时频对应关系。
也就是算法的来源。
我们首先明确，时域的卷积对应频域的相乘，因此我们为了实现卷积，可以先做傅里叶变换，接着在频域相乘，最后再做反傅里叶变换。
这里要注意，实际我们在玩DSP。
因此，大家要记住，圆周卷积和离散傅里叶变换，是一家子。
快速傅里叶是离散傅里叶的快速算法。
因此，我们实现离散线性卷积，先要补零。
然后使得它和圆周卷积相等。
然后就是快速傅里叶变换，频域相乘，最后反快速傅里叶变换。
当然，如果我们就需要的是圆周卷积，那我们也就不需要多此一举的补零。
这里，我们可以把圆周卷积，写成矩阵形式。
这点很重要。
Y=AX。
这里的A是循环矩阵。
但不幸的是A仍然是满阵。
小波的快速算法。
MALLET算法，是一个令人振奋的东西。
它实质给了多分辨率分析（多尺度分析）一个变得一发而不可收的理由。
它实质上，讲了这样一个意思。
也就是。
我在一个较高的尺度（细节）上作离散二进稳定的小波变换，得到了一个结果（小波系数），我若是想得到比它尺度低的小波系数（概貌），我不用再计算内积，只是把较高尺度的小波系数和低通或高通滤波器卷积再抽取即可。
但是，所有这些证明的推导是在整个实轴上进行的。
即把信号看成无限长的。
但这仍不是我们想要的。
还有，我们还必须在较高尺度上作一次内积，才可以使用此算法。
因此，我们开始简化，并扩展此理论。
第一，我们把信号的采样，作为一个较高层的小波系数近似初始值。
（这是可以的，因为小波很瘦时，和取样函数无异）。
第二，我们把原来的卷积，换为圆周卷积。
这和DSP何尝不一样呢？
他的物理意义，就是把信号作周期延拖（边界处理的一种），使之在整个实轴上扩展。
这种算法令我为之一贯坚持的是，它是完全正交的，也就是说是正交变换。
正变换Y=AX；
反变换X=A’Y；
一般对于标准正交基，A’是A的共轭转置，对于双正交A’是A的对偶矩阵。
但不管如何，我们可以大胆的写，AA’=A’A=I。
这里I是单位矩阵。
那怎样操作才是最快的呢？
我们来分析A的特点，首先A是正交阵，其次A是有循环矩阵特点，但此时A上半部分是由低通滤波器构成的循环子矩阵，下半部分是由高通滤波器构成的子矩阵，但却是以因子2为循环的。
为什么，因为你做了2抽取。
所以我们可以，实现小波变换用快速傅里叶变换。
这时如果A是满阵的，则复杂度由O（N.^2）下降到O（NlogN）。
（这个程序我已经传在了研学上，在原创区）。
但还有一点，我们忘了A是稀疏的，因为信号是很长的，而滤波器确实很短的，也就是这个矩阵是个近似对角阵。
所以，快速傅里叶是不快的，除非你傻到含有零的元素，也作了乘法。
因此，小波变换是O（N）复杂度的。
这是它的优势。
但要实现，却不是那么容易，第一个方法，稀疏矩阵存储和稀疏矩阵乘法。
第二个方法，因子化。
因子化，是一个杰出的贡献。
它在原有的O（N）的复杂度基础上，对于长滤波器，又把复杂度降低一半。
但量级仍然是O（N）。
四、时频分析
对于平稳信号，傅里叶再好不过了。
它反映的是信号总体的整个时间段的特点。
在频率上，是点频的。
而对于非平稳信号，它就无能为力了。
而小波恰好对此派上用场。
小波是反映信号，某个时间段的特点的。
在频域上，是某个频率段的表现。
但小波，作为频谱分析确实存在很多问题。
但我们确实可以做出很多的小波满足这个特点。
大家可以看冉启文的《小波变换与分数傅里叶变换》书，这里我不再赘述。
还有，我们老是说小波是近似频域二分的，这在DSP上是怎样的，最近我也在思考。
五、压缩、消噪、特征提取
傅里叶变换的压缩，已经广泛应用了。
它的简化版本就是DCT变换。
而小波包的提出，也就使DCT有些相形见拙。
首先，它提出代价函数，一般就是熵准则。
其次，一个自适应树分解。
再次，基于矩阵范数或较少位编码的稀疏化策略。
这些使小波包的压缩近乎完美。
小波包是从频域上实现的。
从时域上，我们也可采用类似的分裂和并算法，来实现信号最优的表达，这种可变窗小波成为MALVAR小波。
记住，压缩是小波最大的优势。
消噪，一般的傅里叶算法，一般可以是IIR滤波和FIR滤波。
两者各有优缺点。
而小波的消噪，一般也是由多层分解和阈值策略组成。
我们需要的是信号的特点，噪声的特点，然后确定用不用小波，或用什么小波。
这点上，小波的优势并不是很明显。
特征提取。
这是小波的显微镜特点很好地运用。
利用模极大值和LIPSCHITZ指数，我们可以对信号的突变点做分析。
但这里面的问题也是很多。
首先，在不同尺度上，噪声和信号的模极大值变化不同。
再次，一般我们用求内积方法，求模极大值，而不用MALLET算法，或者改用叫多孔算法的东西来做。
这点，我没任何体会，希望大家多讨论吧。
这里，我不能谈应用很多的细节。
但我们必须明确：
1。
你要对小波概念有着明确的理解。
对诸如多分辨率，时频窗口与分析，框架，消失矩，模极大值，LIPSCHITZ指数等有着清醒地认识。
2。
你必须考虑小波在此问题上的可行性，这点尤为重要，小波不是万能的。
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