二次函数应用拱桥问题Word格式.docx

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2学会用二次函数知识解决实际问题，掌握数学建模的思想，进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化。

3.进一步体验应用函数模型解决实际问题的过程，体会到数学来源于生活，又服务于生活，感受数学的应用价值。

教学重点

1.从实际问题中抽象出相应的函数关系式，并能理解坐标系中点坐标和线段之间关系；

2.根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中点的坐标

教学难点

如何根据情景建立合适的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。

教学过程

一、复习预习

平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗？

对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解决。

这节我们就看二次函数解决拱桥问题。

二、知识讲解

考点/易错点1：

二次函数解析式的形式

1、一般式：

y=ax2+bx+c（a≠0）

2、顶点式：

y=a（x-h）2+k（a≠0）

顶点坐标（h，k）

直线x=h为对称轴，k为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值

3、双根式：

y=a（x-

）（x-

）（a≠0）（

是抛物线与x轴交点的横坐标）

并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x轴有交点时才行

4、顶点在原点：

5、过原点：

6、顶点在y轴：

考点/易错点2：

建立平面直角坐标系

1、在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置

2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。

三、例题精析

【例题1】

【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h的函数表达式；

（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

【答案】

（1）设抛物线的解析式为y＝ax2，

且过点（10，－4）

∴

故

（2）设水位上升hm时，水面与抛物线交于点（

）

则

∴

（3）当d＝18时，

∴当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。

【解析】顶点式：

y=a（x-h）

+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．

【例题2】

【题干】如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m

速度上升，经过多少小时会达到拱顶?

【答案】解：

以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的

顶点E在y轴上,且B、D两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）

设抛物线为y=ax²

+k. 

由B、D两点在抛物线上，有

解这个方程组，得

所以，

顶点的坐标为（0，

）则OE=

÷

0.1=

（h） 

所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过

小时会达到拱顶.

【解析】以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，求出解析式

【例题3】

【题干】如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽

，水位上升3m，达到警戒线CD，这时水面宽

．若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？

根据题意设抛物线解析式为：

y＝ax2＋h

又知B（2

，0），D（2

，3）

解得：

∴y＝－

x2＋6∴E（0，6）即OE＝6

EF＝OE－OF＝3t＝

＝

＝12（小时）

答：

水过警戒线后12小时淹到拱桥顶．

【解析】建立直角坐标系，求出解析式

四、课堂运用

【基础】

1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：

分）之间满足函数关系：

y＝－0.1x2＋2.6x＋43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．

（1）x在什么围，学生的接受能力逐步增加？

x在什么围，学生的接受能力逐步降低？

（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？

（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？

【巩固】

1、有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=

表示

．在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．

（1）在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗?

（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:

前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问

:

如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?

若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超

过每小时多少千米?

【拔高】

1、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图（3）所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。

这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?

是否会超过1m?

．

五、课程小结

（1）用函数的观点来认识问题，从实际问题中抽象出数学问题；

（2）根据题意建立直角坐标系， 

建立数学模型，解决实际问题；

（3）找到两个变量之间的关系；

掌握数形结合思想；

（4）从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．感受数学在生活实际中使用

六、课后作业

1、如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．

求此抛物线的解析式。

1、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施?

1、有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥?

（3）若设EF=a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值围．

；