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一个投资者同时在许多种证券上投资,那么应该如何选择各种证券的投资比例,使得投资收益最大,风险最小.马科维茨在观念上的最大贡献,在于他把收益与风险这两个原本有点含糊的概念明确为具体的数学概念。
由于证券投资上的收益是不确定的马科维茨首先把证券的收益率看作一个随机变量而收益定义为这个随机变量的均值（数学期望）风险则定义为这个随机变量的标准差（这与人们通常把风险看作可能有的损失的思想相差甚远）。
于是如果把各证券的投资比例看作变量,问题就可归结为怎样使证券组合的收益最大、风险最小的数学规划。
对每一固定收益都求出其最小风险,那么在风险-收益平面上就可画出一条曲线它称为组合前沿。
马科维茨理论的基本结论是：
在证券允许卖空的条件下组合前沿是一条双曲线的一支；
在证券不允许卖空的条件下组合前沿是若干段双曲线段的拼接。
组合前沿的上半部称为有效前沿。
对于有效前沿上的证券组合来说不存在收益和风险两方面都优于它的证券组合。
这对于投资者的决策来说自然有很重要的参考价值。
马科维茨理论是一种纯技术性的证券组合选择理论.这一理论是他在芝加哥大学作的博士论文中提出的.但在论文答辩时,它被一位当时已享有盛名、后以货币主义而获1976年诺贝尔经济学奖的弗里德曼（M.Friedman,1912—）斥之为“这不是经济学”!
为此马科维茨不得不引入以收益和风险为自变量的效用函数来使他的理论纳入通常的一般经济均衡框架。
马科维茨的学生夏普（W.Sharpe,1934—）和另一些经济学家则进一步在一般经济均衡的框架下假定所有投资者都以这种效用函数来决策从而导出全市场的证券组合收益率是有效的以及所谓资本资产定价模型（CapitalAssetPricingModel,简称CAPM）。
夏普因此与马科维茨一起荣获1990年诺贝尔经济学奖。
另一位1981年诺贝尔经济学奖获得者托宾（J.Tobin,1918—）在对于卖空的证券组合选择问题的研究中,导出每一种有效证券组合都是一种无风险资产与一种特殊的风险资产的组合（它称为二基金分离定理）从而得出一些宏观经济方面的结论。
在1990年与马科维茨、夏普一起分享诺贝尔奖的另一位经济学家是新近刚去世的米勒。
他与另一位在1985年获得诺贝尔奖的莫迪利阿尼（F.Modigliani,1918—）一起在1958年以后发表了一系列论文探讨“公司的财务政策（分红、债权/股权比等）是否会影响公司的价值”这一主题。
他们的结论是:
在理想的市场条件下,公司的价值与财务政策无关。
这些结论后来就被称为莫迪利阿尼-米勒定理。
他们的研究不但为公司理财这门新学科奠定了基础,并且首次在文献中明确提出无套利假设。
所谓无套利假设是指在一个完善的金融市场中不存在套利机会（即确定的低买高卖之类的机会）。
因此如果两个公司将来的（不确定的）价值是一样的,那么它们今天的价值也应该一样,而与它们财务政策无关；
否则人们就可通过买卖两个公司的股票来获得套利。
达到一般经济均衡的金融市场显然一定满足无套利假设。
这样莫迪利阿尼-米勒定理与一般经济均衡框架是相容的。
但是,直接从无套利假设出发来对金融产品定价,则使论证大大简化。
这就给人以启发。
不必非要背上沉重的一般经济均衡的十字架不可从无套利假设出发就已可为金融产品的定价得到许多结果。
从此金融经济学就开始以无套利假设作为出发点。
布莱克-肖尔斯期权定价理论和连续时间金融：
以无套利假设作为出发点的一大成就也就是布莱克-肖尔斯期权定价理论。
所谓（股票买入）期权是指以某固定的执行价格在一定的期限内买入某种股票的权利.期权在它被执行时的价格很清楚即：
如果股票的市价高于期权规定的执行价格那么期权的价格就是市价与执行价格之差；
如果股票的市价低于期权规定的执行价格那么期权是无用的其价格为零。
现在要问：
期权在其被执行前应该怎样用股票价格来定价？
为解决这一问题布莱克和肖尔斯先把模型连续动态化。
他们假定模型中有两种证券一种是债券它是无风险证券也是证券价值的计量基准其收益率是常数；
另一种是股票它是风险证券沿用马科维茨的传统它也可用证券收益率的期望和方差来刻画但是动态化以后其价格的变化满足一个随机微分方程其含义是随时间变化的随机收益率其期望值和方差都与时间间隔成正比。
这种随机微分方程称为几何布朗运动。
然后利用每一时刻都可通过股票和期权的适当组合对冲风险使得该组合变成无风险证券从而就可得到期权价格与股票价格之间的一个偏微分方程其中的参数是时间、期权的执行价格、债券的利率和股票价格的“波动率”.出人意料的是,这一方程居然还有显式解。
于是布莱克-肖尔斯期权定价公式就这样问世了。
与马科维茨的遭遇类似布莱克-肖尔斯公式的发表也困难重重地经过好几年。
与市场中投资人行为无关的金融资产的定价公式对于习惯于用一般经济均衡框架对商品定价的经济学家来说很难接受。
这样布莱克和肖尔斯不得不直接到市场中去验证他们的公式。
结果令人非常满意。
有关期权定价实证研究结果先在1972年发表然后再是理论分析于1973年正式发表。
与此几乎同时的是芝加哥期权交易所也在1973年正式推出16种股票期权的挂牌交易（在此之前期权只有场外交易）使得衍生证券市场从此蓬蓬勃勃地发展起来。
布莱克-肖尔斯公式也因此有数不清的机会得到充分验证而使它成为人类有史以来应用最频繁的一个数学公式。
布莱克-肖尔斯公式的成功与默顿的研究是分不开的后者甚至在把他们的理论深化和系统化上作出更大的贡献。
默顿的研究后来被总结在1990年出版的《连续时间金融学》一书中.对金融问题建立连续时间模型也在近30年中成为金融学的核心。
这如同连续变量的微分学在瓦尔拉斯时代进入经济学那样尽管现实的经济变量极少是连续的微分学能强有力地处理经济学中的最大效用问题；
而连续变量的金融模型同样使强有力的随机分析更深刻地揭示金融问题的随机性。
不过用连续时间模型来处理金融问题并非从布莱克-肖尔斯-默顿理论开始。
1950年代萨缪尔森就已发现一位几乎被人遗忘的法国数学家巴施里叶（L.Bachelier,1870—1946）早在1900年已在其博士论文《投机理论》中用布朗运动来刻画股票的价格变化,并且这是历史上第一次给出的布朗运动的数学定义比人们熟知的爱因斯坦（A.Einstein,1879—1955）1905年的有关布朗运动的研究还要早。
尤其是巴施里叶实质上已开始研究期权定价理论而布莱克-肖尔斯-默顿的工作其实都是在萨缪尔森的影响下延续了巴施里叶的工作。
这样一来数理金融学的“祖师爷”就成了巴施里叶。
对此,法国人感到很自豪最近他们专门成立了国际性的“巴施里叶协会”。
2000年6月协会在巴黎召开第一届盛大的国际“巴施里叶会议”以纪念巴施里叶的论文问世100周年。
CAPMANDAPT:
资本资产定价模型（CAPM）大体上是由夏普（Sharpe,1964）林特纳（Lintner,1965）和莫辛（Mossin,1966）独立提出的。
CAPM的意义之一是它建立了证券收益与风险的关系揭示了证券风险报酬的内部结构即风险报酬是影响证券收益的各相关因素的风险贴水的线性组合而各相关因素的风险贴水是证券市场对风险的报酬它们只与各个影响因素有关与单个证券无关CAPM建立了单个证券的收益与市场资产组合收益之间的数量关系而系数反映了这种相关程度的大小证券市场中不同证券所具有的不同系数正反映了各种证券的收益结构资本资产定价模型一直是大量的实证研究的基础总的说来这些实证研究表明资本资产定价模型可为金融市场的收益结构提供相当好的初步近似.
布莱克-肖尔斯公式的成功,是用无套利假设来为金融资产定价的成功.这一成功促使1976年罗斯（S.A.Ross,1944—）的套利定价理论（ArbitragePricingTheory,简称APT）的出现。
APT是作为CAPM的替代物而问世的。
CAPM的验证涉及对市场组合是否有效的验证但是这在实证上是不可行的。
于是针对CAPM的单因素模型罗斯提出目前被统称为APT的多因素模型来取代它。
对此罗斯构造了一个一般均衡模型证明了各投资者持有的证券价值在市场组合中的份额越来越小时每种证券的收益都可用若干基本经济因素来一致近似地线性表示。
后来有人发现如果仅仅需要对各种金融资产定价的多因素模型作出解释并不需要一般均衡框架而只需要线性模型假设和“近似无套利假设”：
如果证券组合的风险越来越小,那么它的收益率就会越来越接近无风险收益率。
从理论上来说,罗斯在其APT的经典论文中更重要的贡献是提出了套利定价的一般原理其结果后来被称为“资产定价基本定理”。
这条定理可表述为：
无套利假设等价于存在对未来不确定状态的某种等价概率测度得每一种金融资产对该等价概率测度的期望收益率都等于无风险证券的收益率。
1979年罗斯还与考克斯（J.C.Cox）、__宾斯坦（M.Rubinstein）一起,利用这样的资产定价基本定理对布莱克-肖尔斯公式给出了一种简化证明其中股票价格被设想为在未来若干时间间隔中越来越不确定地分叉变化,而每两个时间间隔之间都有上述的“未来收益的期望值等于无风险收益率”成立.由此得到期权定价的离散模型。
而布莱克-肖尔斯公式无非是这一离散模型当时间间隔趋向于零时的极限。
这样一来,金融经济学就在很大程度上离开了一般经济均衡框架而只需要从等价于无套利假设的资产定价基本定理出发。
由此可以得到许多为金融资产定价的具体模型和公式。
完全市场和不完全市场：
法玛的成就首先是因为他在1960年代末开始的市场有效性方面的研究。
所谓市场有效性问题是指市场价格是否充分反映市场信息的问题。
当金融商品定价已建立在无套利假设的基础上时对市场是否有效的实证检验就和金融理论是否与市场现实相符几乎成了一回事。
这大致可以这样来说如果金融市场的价格变化能通过布朗运动之类的市场有效性假设的检验那么市场就会满足无套利假设。
这时理论比较符合实际而对投资者来说因为没有套利机会就只能采取保守的投资策略。
而如果市场有效性假设检验通不过那么它将反映市场有套利机会市场价格在一定程度上有可预测性投资者就应该采取积极的投资策略。
业间流行的股市技术分析之类就会起较大作用。
这样市场有效性的研究对金融经济学和金融实践来说就变得至关紧要。
法玛在市场有效性的理论表述和实证研究上都有重大贡献。
法玛的另一方面影响极大的重要研究是最近几年来他与弗兰齐（K.French）等人对CAPM的批评。
他们认为以市场收益率来刻画股票收益率不足以解释股票收益率的各种变化并建议引入公司规模以及股票市值与股票帐面值的比作为新的解释变量。
他们的一系列论文引起金融界非常热烈的争论并且已开始被人们广泛接受。
虽然他们的研究基本上还停留在计量经济学的层次但势必会对数理金融学的结构产生根本影响。
法玛的研究是金融学中典型的“微观规范”与实证的研究。
至于“宏观规范”的研究应该提到关于不完全市场的一般经济均衡理论研究。
由无套利假设得出的资产定价基本定理以及原有的布莱克-肖尔斯理论实际上只能对完全市场中的金融资产唯一定价。
这里的完全市场是指作为定价出发点的基本资产（无风险证券、标的资产等）能使每一种风险资产都可以表达为它们的组合。
实际情况自然不会是这样。
关于不完全证券市场的一般经济均衡模型是拉德纳（R.Radner）于1972年首先建立的他同时在对卖空有限制的条件下证明了均衡的存在性。
但是过了三年哈特（O.Hart）举出一个反例,说明在一般情况下,不完全证券市场的均衡不一定存在。
这一问题曾使经济学家们困惑很久.一直到1985年达菲（D.Duffie）和夏弗尔（W.Schafer）指出对于“极大多数”的不完全市场,均衡还是存在的。
遗憾的是他们同时还证明了不完全市场的“极大多数”均衡都不能达到“资源最优配置”。
这样的研究结果的经济学含义值得人们深思.达菲和夏弗尔的数学证明还使数学家十分兴奋因为他们用到例如格拉斯曼流形上的不动点定理那样的对数学家来说也是崭新的研究。
此后的十几年沿着这一思想发展出一系列与完全市场相对应的各种各样的反映金融市场的不完全市场一般均衡理论。
在这方面也有众多贡献的麦基尔（M.Magill）和奎恩兹（M.Quinzii）已经在20世纪末为这一主题写出厚厚的两卷专著。
在高新技术的推动下金融市场将进一步全球化、网络化.网上交易、网上支付、网上金融机构、网上清算系统等更使金融市场日新月异。
金融数学发展趋势及问题：
利率结构问题：
在“B-S模型”中,利率是给定的常数。
实际上,利率的变化是相当复杂的,不同性质、不同到期日的债劵利率的变化规律不相同,即利率的期限结构问题,通常可以用收益率的形式来表示。
传统的利率结构包括四种理论:
无偏预期理论、市场分割理论、优先置产理论和流动性偏好理论。
近期的利率期限结构模型有:
无套利模型（Vasicek（1987））、一般均衡模型（Cov-lngersoll-Ross（1986））、二项式网状模型（Ho-Lee（1980））和鞍模型（Heath-Jarrow-Morton（1992））。
市场波动性问题：
在“B-S模型”及推广的模型中,常常假设股票价格的波动服从某一随机过程（如:
布朗运动）,然后进行随机分析但是金融市场多数情况下并不满足稳定的假设,时常出现异常的波动（如:
192年和1987年股票市场崩溃）。
为准确地描述股票价格的变化规律,有几种因素必须考虑:
股票价格的波动率对股票价格的依赖性;
波动率与其它随机变量的依赖性;
股票价格可能的突然跳动。
随机波动率模型能够反映上述某些因素比较常见的有:
移动平均法、GRCH模型及其推广（自回归条件异方差模型）、隐含波动率模型、随机波动率模型。
另外随机最优控制和随机微分方程这些较晚发展起来的数学工具已在大多数金融领域内得到应用。
市场不完全和信息不对称问题：
现实的证券市场是不完全市场,常常表现为市场中的证劵和股票投资组合是受到限制的。
达菲（Duffie）等人提出了不完全市场的一般均衡理论,从理论上证明了金融创新的合理性和对提高社会资本资源配置效率的重大意义。
Karatzas等人引入的鞅理论能够较好的解决金融市场不完备时的衍生证券定价问题,目前国外基于鞅方法的定价理论在金融理论中占主导地位。
此外,在现实市场中,参与的经济人掌握的信息是不对称的（即信息不互通、掌握的信息不一样）。
在信息不对称情况下,问题主要涉及到经济人之间的相互对策,由于不对称信息时刻的困难,参与的经济人的信息层次常常很多,问题的困难是可想而知的,其数学的处理就更困难了。
微分对策、重复对策、随机对策、多人对策理论在金融研究中得到深入的探索和发展,有着较好的发展前景。
随机最优控制理论：
由于金融学理论一个重要的应用领域是解决连续时间的随机性问题而解决这个问题的重要手段就是随机最优控制理论。
自从默顿首次利用贝尔曼最优控制理论解决了连续时间的消费和投资问题以来随机控制理论在金融学（特别是金融工程中）得到了广泛的研究和运用。
2000年_.Y.Zhou和D.L将连续时间均值—方差问题（具有确定性参数）抽象成一种随机LQ控制优化问题运用嵌套方法将原问题转化为LQ控制问题。
20__年_.Y.Zhou进一步运用LQ方法研究了随机参数的连续时间均值-方差问题并求出了该情形下投资组合的有效边界同时还证明了“基金分离定理”。
_unLi（20___.Y.Zhou的学生）等考察了具有马尔科夫跳跃过程的无限期限的投资组合问题的随机LQ控制框架在该框架下求解了投资组合问题的有效边界考察了加入未定权益衍生产品构成的投资组合的套期保值问题。
HongLiu更进一步考察了有交易费用（考虑了交易费用固定以及与交易量成正比两种情形）和消费的前提下一个效用函数为CARA（constantabsoluteriskaversion）的投资者的最优投资策略并借助于计算机手段首次对最优投资策略作出精确求解。
鞅理论：
1977年哈里森（HarrisonJ.M.）和柯瑞普斯（KrepsS.R.）提出了期权定价理论的鞅方法他们用鞅论中的鞅测度概念来刻画无套利市场和不完全市场并用等价鞅测度对期权进行定价和套期保值或对冲。
他们证明了市场无套利的重要条件是等价鞅测度存在市场完备的重要条件是等价鞅测度存在且唯一当市场是完备市场时任意未定权益都是可达到的并且可以由市场上的基础证券无套利复制此时任意未定权益都有唯一的无套利定价并且未定权益的定价为未定权益期末收益的折现值在等价鞅测度下的数学期望。
这一结果使随机分析中的鞅测度的概念与金融市场的无套利概念联系起来从而使随机分析中的半鞅的随机积分理论在金融衍生证券定价理论中有了用武之地这对以后的金融数学发展产生了极其深远的影响。
格利斯特和李（1984）研究了基础证券交易成本对期权价值的影响当存在交易成本时连续时间无套利定价会因为高昂的交易成本而无法实现；
默顿（1990）运脉冲最优控制理论在证券投资决策问题中大部分的研究假设交易速率是有界的和连续变化的而实际上投资者的交易速率不是有界的又不是频繁改变的因此用连续时间。
随机最优控制理论来研究仅仅是一种近似使得问题变得更容易处理但是事实上往往与实际问题有较大的距离因此若用脉冲最优控制方法研究证券投资决策问题更为合适。
用了离散时间模型提出了交易成本与基础证券价格成比例的单阶段的欧式期权的定价公式；
波耶勒斯和沃尔斯特（1992）将默顿的方法推广到了多时期的情形。
20世纪80年代以来对于期货期权的研究也取得了很大的进展。
柯达顿和萨布拉曼·
彦（1985）以及贝尔和托罗斯（1986）指出美式期货期权在利率为正的条件下比美式现货期权更容易执行；
Lieu（1990）应用连续时间定价的方法推出了期货期权的定价公式；
陈和斯科特（1993）进一步研究指出即使利率是随机的期货期权价值也不会受利率的影响；
Wei（1994）指出期货纯期权的价值高于美式期货期权的价值。
微分对策理论现代金融理论的另一个值得注意的研究动向是运用微分对策方法研究期权定价问题和投资决策问题目前取得了一定的成果。
当金融市场不满足稳态假定或出现异常波动时证券价格往往不服从几何布朗运动这时用随机动态模型研究证券问题的方法无论从理论上还是从实际上都存在着较大的偏差。
用微分对策方法研究金融决策问题可以放松这一假设把不确定扰动假想成敌对的一方针对最差情况加以优化可以得到__棒性很强的投资策略因此运用微分对策方法研究金融问题具有广阔的应用前景。
最优停时理论运用最优停时理论研究了具有固定交易费用的证券投资决策问题给出了具有两个风险证券的投资决策问题一种简化算法。
最优停时理论是概率论体系中一个具有很强的实用性领域近年来不少金融学家和金融数学家将这一理论与现代的投资组合理论相结合取得了不错的成绩。
但是这一领域的研究文献仍然不多该领域仍处于起步阶段。
PliskaSRandSelbyMJ首次运用该理论研究了具有固定交易费用的证券投资决策问题写出了具有两个证券投资决策问题的一种简单算法。
BernardDumasandElisaLuclano（1998）在此基础上进一步运用最优停时理论（Optimal-stoppingliterature）考察了有交易费用时投资组合的动态最优策略并且求解出精确的数值解。
国内关于最优停时理论在金融数学和金融学中的应用研究文献暂时处于空白。
智能优化新的金融衍生工具层出不穷,新模型不断提出,对复杂衍生金融工具定价的难度绝不亚于发射火星探测器。
只有在非常少的情况下所建立的模型具有象“B-S模型”那样的封闭式的解析解。
在大多数情况下,只能依靠数值方法。
如何采用更先进的分析计算手段,迅速获得准确结果,从而改善风险管理控制系统,已成为各大金融机构在瞬息万变、竞争激烈的金融市场中立于不败之地的关键。
金融计算已成为金融数学的重要组成部分。
根据风险中性定价原理,任何欧式证券的价格估算可转化成高微积分的计算,维数来自标的资产数目和连续模型离散化时的时间分步数。
由于标的资产的数目以及连续模型在离散化时的时间分步数常常多达数百甚至数千。
传统的数值方法难于对付,这是由于维数的灾难（CourseofDimensionality,指的是计算量随维数的增加而呈指数增加）的缘故。
计算机模拟方法（也称为MonteCarlo方法）能有效地用来对付维数的灾难。
该方法估算欧式证券的价格的基本步骤是:
第一,在风险中性测度下模拟标的资产价格的运动路径;
第二,对每一条路径,计算衍生券的收益,并按无风险利率进行折现;
第三,重复多次模拟计算,把结果的算术平均作为衍生证券的估价。
该方法的收敛速度为O（）,其中N为模拟的轨迹数。
这一收敛速度与问题的维数无关。
计算机模拟方法由于其简单性、灵活性和普遍性而获得广泛应用。
在处理与路径相关（Pathdependent）的衍生证券方面具有独特的优势。
对模型的依赖性相对较弱。
收敛速度慢是这类方法的一个缺点,有许多所谓的方差缩减技巧能提高该方法的效率。
“拟蒙特卡罗方法”（Quasi-MongCarlo）近年来也获得迅速发展。
这种方法的基本思想是:
用确定性的超均匀分布序列（也称“低偏差序列”—“LowDcrepancySequences”）代替计算机模拟方法中的随机数序列。
该方法的收敛速度可提高至将近O（）。
实际速度一般可比计算机模拟方法提高数百倍乃至上千倍,并可大大提高计算精度。
拟蒙特卡罗方法的核心是最优低偏差序列的构造。
常用的低偏差序列有Halton序列Sobol序列、Faure序列以及Niederrei序列等。
该方法已能高效地用于计算维数高达数千的情形,其前景令人鼓舞最近,用计算机模拟方法和拟蒙特卡罗方法对美式衍生证券进行定价以及计算风险值方面的研究也获得了重要的进展。
此外,最小二乘蒙特卡罗（LSM）模拟方法在美式期权的定价中也得到了成功的应用。
金融衍生产品的价格常能表示成某一定解条件下的偏微分方程的隐式解。
偏微分方程的数值解法
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