数字信号处理02Word下载.docx
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如图2-2c、2-2d所示。
这是连续信号抽样的数学模型。
之所以利用p（t），而不是利用p（n）得到离散信号，是因为p（t）有型如（2-2）式的积分形式，便于进行进一步的数学讨论。
3、单位阶跃序列
如序列y（n）=x（n）u（n），则y（n）的自变量n的取值就限定在n≥0的右半轴上。
4、正弦序列
x（n）=Asin（2πfnT+φ）。
（2-8）
其中f是频率，单位Hz，令圆频率Ω=2πf，单位rad/s，令ω=2πfT=2πf/fs，其中fs为抽样频率。
因此有：
x（n）=Asin（ωn+φ）
5、复正弦序列
x（n）=ejωn=cos（ωn）+jsin（ωn）。
（2-9）
6、实指数序列
x（n）=a|n|，其中a为常数且|a|＜1。
（2-10）
在信号处理中对信号的几种最基本运算如下：
1、序列的延迟
给定离散信号x（n），若y1（n）、y2（n）分别定义为：
y1（n）=x（n-k），y2（n）=x（n+k），（2-11）
则y1（n）是x（n）在时间轴上右移或后移k个抽样周期得到的新序列，而y2（n）是将x（n）左移k个抽样周期的结果。
在DSP硬件设备中延迟和移位是利用一系列的移位寄存器来实现的。
从后面的Z变换可知，Z-1表示序列的单位延时，也称移位算子。
对于序列x（n）在某时刻k的值可以用δ（n）的延迟来表示，即：
x（k）=x（n）δ（n-k）（2-12）
这就是δ（n）函数的抽取性质。
因此，x（n）在所有时刻的值可表示为：
2、两序列的相加和相乘
即可得到新的信号：
x（n）=x1（n）+x2（n），y（n）=x1（n）x2（n）。
（2-14）
是同一序号的序列值对应相加相乘得到新的序列值。
当然信号的标量乘法有：
y（n）=cx（n）。
3、信号的变换
是指将信号从一个域变到另一个域，如从时域到频域。
这是信号处理中常用而且极为重要的技术。
2-3连续时间信号的采样和采样定理
一、信号的采样
将连续信号变成数字信号是计算机上实现信号数字处理的必要步骤。
在实际工作中，信号的抽样是通过A/D芯片将连续信号x（t）变成数字信号x（nT），x（t）的傅里叶变换X（jΩ）变成X（ejω），但我们必须要问：
x（nT）是否包含x（t）的全部信息，X（jΩ）和X（ejω）是什么关系，如何从x（nT）恢复到x（t）？
等等。
这些问题都是数字信号处理中的基本问题。
实际上，信号的抽样理论是连结离散信号和连续信号的桥梁，也是进行离散信号处理和离散系统设计的基础。
实际的采样过程是由电子开关组成的，开关每隔T秒短暂闭合τ秒，接通连续时间信号，实施一次采样。
因此采样结果得到周期为T，宽度为τ的脉冲串，脉冲幅度为该时刻相应连续信号xa（t）的幅度。
即脉冲信号为原连续时间信号所调制，成为采样信号
。
有前面可知，将连续信号xa（t）和冲激串序列p（t）相乘，即可得到离散信号x（nT）。
重写（2-6）式：
=x（nT）=xa（t）|t=nT=xa（t）p（t）（2-15）
其中:
为冲激串函数，是时域周期信号，周期为Ts。
上式为理想化的抽样数学模型，即A/D转换器的转换时间为零。
由于xa（t）只在t=nT时有值，所以：
二、抽样定理samplingtheory
采样后得到的离散信号x（nT）是否能够代表并恢复成原来的连续时间信号xa（t）呢？
要满足那些条件才能恢复？
这就是采样定理要解决的问题。
由于冲激串序列p（t）是以采样周期T为周期的周期函数，可将其展开为傅立叶级数：
（2-18）
级数的基频即采样频率fs=1/T，采样角频率为Ωs=2πfs=2π/T。
在积分区间内只有一个冲激脉冲δ（t），其它冲激脉冲δ（t-nT）均在积分区间外，因此：
；
（2-19）
并由此达到：
（2-20）
表明冲激串序列的各次谐波的幅度均为1/T，其梳状结构如图b：
理想采样信号
的频谱
为其傅立叶变换：
（2-21）
将p（t）代入，有：
（2-22）
原输入连续时间信号频谱应为其傅立叶变换，如图a：
（2-23）
比较上两式，有：
（2-24）
如图：
由
（2-25）
可知，一个连续时间信号经过理想采样后频谱发生了两个变化，一是乘以1/T因子；
另一个是出现了无穷多个分别以±
Ωs；
±
2Ωs；
3Ωs；
…为中心的和
形状完全一样的频谱，即频谱出现了周期延拓。
根据频域卷积理论，时间的相乘等于频域的卷积，因为采样过程是将连续信号与冲激串序列在时域相乘的结果，所以在频域上
和p（t）的梳状谱的卷积就是简单地将
在p（t）的各次谐波位置上重新构图，因此必然会出现频谱的周期延拓。
所以，在时域的采样形成频域的周期函数，周期为采样的角频率Ωs。
xa（t）是带限信号，其频谱的正频部分在0≤Ω≤Ωh范围内，Ωh是可能的最高频率，其频谱称为基带频谱。
当Ωs≥2Ωh时，在采样信号频谱中基带频谱以及各次谐波调制频谱不会相互重叠，这时可用一个带宽为Ωs/2的理想低通滤波器取出原信号频谱Xa（jΩ）（差一个定标因子1/T），而滤掉它的各次谐波，恢复出原信号，采样不会造成信息丢失。
若T过大即Ωs＜2Ωh，或者Xa（jΩ）本身就不是有限带宽的，那么作周期延拓后，各次调制频谱就会相互交叠在一起，将要发生频域的“混叠（aliasing）”现象，以致一个周期中的
不等于Xa（jΩ）。
由此所产生的结果是我们将无法由
来恢复xa（t）。
由以上讨论可引出信号的抽样定理。
若连续信号x（t）是有限带宽的，其频谱的最高频率为fc，对抽样时，若保证抽样频率：
fs≥2fh（或Ωs≥2Ωh，Ts≤π/Ωh）
那么。
可由
即x（nT）来恢复出x（t），即x（nT）保留了x（t）的全部信息。
三、折叠频率和尼奎斯特Nyquist频率
抽样定理是由Nyquist和C.E.Shannon分别于1928年和1949年提出的，所以也称Nyquist抽样定理或Shannon抽样定理。
该定理给我们指出了对信号抽样时所必须遵循的基本规则。
在实际对x（t）作抽样时，首先要了解x（t）的最高截止频率fh，以确定应选取的采样频率fs，若x（t）不是有限带宽的，在抽样前应对x（t）作模拟滤波，以去掉fs＞fh的高频成分，这就是许多采样数据系统在采样前增加一个保护性的前置低通滤波器的原因，它可以在保证带限条件的同时避免频率高于fh的高频杂波进入采样器造成混叠。
这种用以防混叠的模拟滤波器又称“抗混叠（anti-aliasing）滤波器”。
而使频谱不发生混叠的最小抽样频率fs=2fh，又称“Nyquist频率”，f0=fs/2称为折叠频率。
因为信号频谱中任何大于f0的频谱分量都将以折叠频率为对称点被折叠回来，造成频谱的混叠。
满足抽样定理的采样信号，通过一个截止频率在fh和fs-fh之间的低通滤波器即可恢复出原始信号，但一方面不可能造出截止特性非常陡的低通滤波器，会需要在fh和fs-fh之间预留一个保护带；
另一方面，一般对频率上限fh也有技术约定，如半功率点的约定，当频谱稍高于fh时仍有一小部分信号分量存在，在fs=2fh时，经过采样所产生的副瓣频谱将有一小部分和有用的信号频带重叠造成失真，因此采样频率一般要略大于理想最小值，而取：
fs=（2.5—3）fh，（2-26）
一些常见信号的主要频率范围如下表，可供抽样时参考。
信号分类
常见信号
主频范围（Hz）
生理信号
心电图（ECG）
0～100
自发脑电图（EEG）
表面肌电图（EMG）
10～200
眼电图（EOG）
0～20
语言
100～4000
地震信号
风噪声
100～1000
地震勘探信号
10～100
地震及核爆炸信号
0.01～10
电磁信号
无线电信号
3×
104～3×
106
短波
106～3×
1010
雷达、卫星通讯
108～3×
远红外
1011～3×
1014
可见光
3.7×
1014～7.7×
紫外线
1015～3×
1016
γ射线和x射线
1017～3×
1018
四、信号的恢复与采样内插公式
以上讨论回答了如何使x（nT）保持x（t）全部信息的问题，现在从数学上讨论如何由x（nT）来恢复出xa（t）。
假定fs≥2fh，即没有发生混叠现象。
从频域看，设信号的最高频率不超过折叠频率f0=fs/2，则：
理想采样后的频谱就不会出现混叠，所以：
让采样信号
通过一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器，其响应频率是：
其特性如图。
因此滤波器只允许基带频谱通过，由图中可知；
H（jΩ）与Xs（jΩ）相乘的结果是截了Xs（jΩ）的一个周期，则：
从而得到原信号频谱，所以在滤波器输出端得到了恢复的原模拟信号y（t）=xa（t）。
由于理想低通滤波器H（jΩ）对应的单位抽样响应为：
这是一个sinc函数。
根据卷积定理，频域的相乘相当于时域的卷积，所以有：
（2-31）
其中
称为内插函数，代入上式，有：
因为Y（jΩ）=Xa（jΩ），所以y（t）也应等于xa（t）。
此式即为由抽样后的离散信号重建原始信号的公式，也称采样内插公式。
不难发现，这个插值公式，以sinc函数为插值函数，插值间距为T，权重为x（nT）。
只要满足抽样定理，那么，由无穷多加权sinc函数移位后的和即可重建出原始信号。
而在工程实际中，将离散信号变成模拟信号可以通过模/数转换器来实现。
应当注意内插函数
的特点是在采样点nT上，函数值为1，其它采样点上函数值都为零。
2-4离散时间系统
一个离散时间系统可抽象为一种变换或映射，即把输入序列x（n）变换为输出序列y（n）：
y（n）=T[x（n）]（2-34）
式中T[·
]代表变换，对它加上不同的约束条件可以定义各类离散时间系统。
因此，一个离散时间系统既可以是一个硬件装置，也可以是一个数学表达式，其输入、输出关系可以表示如图。
若输入单位抽样信号，输出序列就称为单位抽样响应h（n）=T[δ（n）]。
例1：
一个离散时间系统的输入、输出为：
y（n）=ay（n-1）+x（n），其中a为常数。
该系统表示，现时刻的输出y（n）等于上次输出y（n-1）乘以常数a在加上现时刻的输入x（n），这是一个一阶自回归差分方程，如图：
求该系统的单位抽样响应。
由定义可知：
h（n）=y（n）=ah（n-1）+δ（n）
给定初始条件h（-1）=0，有：
h（0）=0+δ（0）=1
h
（1）=ah（0）=a
h
（2）=ah
（1）=a2
…
h（n）=an。
即：
若|a|＞1，当n→∞，|h（n）|→∞，当|a|＜1时，有：
例2：
系统：
其中b（0），b
（1），b
（2）为常数。
这是一个三点加权平均器，若b（0）=b
（1）=b
（2）=1/3，则系统为一个三点平均器。
其信号流图如图所示。
解：
由定义，将x（n）换成δ（n），有：
h（n）=b（0）+δ（n）+b
（1）δ（n-1）+b
（2）δ（n-2）
所以，h（0）=b（0），h
（1）=b
（1），h
（2）=b
（2），且当n＜0或n＞2时，h（0）≡0
由上两例可以看出，三点平均器的单位抽样响应仅在n=0，1，2时有值，即为有限长的。
该类系统称为有限冲激响应系统（FiniteImpulseResponse，FIR）。
一阶自回归模型中由于包含了由输出到输入的反馈，因此其抽样响应是无限长的，该类系统称为无限冲激响应系统（InfiniteImpulseResponse，IIR）。
下面我们介绍几个有关离散系统的重要定义：
1．线性
设一个离散系统对x1（n）的响应是y1（n），对x2（n）的响应是y2（n），即：
y1（n）=T[x1（n）]；
y2（n）=T[x2（n）]
若该系统对αx1（n）+βx2（n）的响应是αy1（n）+βy2（n），即有：
y（n）=T[αx1（n）+βx2（n）]=αT[x1（n）]+βT[x2（n）]=αy1（n）+βy2（n）
则称该系统是线性的，式中α，β为任意常数。
显然线性系统在输入、输出之间满足叠加原理，如图。
2．移不变性
设一个离散时间系统对x（n）的响应是y（n），如果将x（n）延迟k个抽样周期，输出y（n）也相应地延迟了k个抽样周期，则称该系统具有移不变性，或称时不变性，即：
如：
T[x（n）]=y（n）；
则有：
T[x（n-k）]=y（n-k）
由前面单位抽样响应的定义，h（n）=T[δ（n）]，对于移不变系统，必有h（n-k）=T[δ（n-k）]，因此完全可以从单位抽样响应或称冲激响应h（n）的行为判断系统是否具有移不变性，如图。
同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变离散时间系统（LinearShiftInvariant，LSI）。
本课程中研究的系统一般都是LSI系统。
例3：
试判断给定系统：
（1）y（n）=nx（n）；
（2）y（n）-ay（n-1）=x（n），y（-1）=0，n≥0是否是线性的、移不变的。
（1）给定输入x1（n）和x2（n），由定义：
y1（n）=T[x1（n）]=nx1（n）；
y2（n）=T[x2（n）]=nx2（n）
令x（n）=αx1（n）+βx2（n），系统对x（n）的响应y（n）=T[x（n）]=n[αx1（n）+βx2（n）]=αnx1（n）+βnx2（n）=αy1（n）+βy2（n）
该式右边正是y1（n）和y2（n）的叠加，故系统
（1）是线性的。
由于y（n）=T[x（n）]=nx（n），则系统对x（n-k）的响应yk（n）是：
yk（n）=T[x（n-k）]=nx（n-k），由上式得：
y（n-k）=（n-k）x（n-k），
所以，y（n-k）≠T[x（n-k）]=yk（n）。
（2）令x1（n）=δ（n），由例1有：
y1（n）=T[x1（n）]=anu（n），式中u（n）为单位阶跃序列。
令x2（n）=δ（n-1），同样由例1有：
y2（n）=T[x1（n）]=an-1u（n-1），再令x（n）=αx1（n）+βx2（n），代入原方程，有：
y（n）=ay（n-1）+αδ（n）+βδ（n-1）
递推此方程，得：
y（n）=T[x（n）]=αanu（n）+βan-1u（n-1）=αy1（n）+βy2（n），
所以，系统是线性的，当然不难发现，该系统也是移不变的。
3．因果性（Causality）
如果一个LSI系统在任一时刻n的输出只决定于现在时刻和过去时刻的输入（x（n），x（n-1），…），而和将来的输入无关，则称该系统为因果系统，这样的数据输入方式称为序贯数据（sequentialdata）方式。
对非实时的情况，输入数据的全体是已知的，可以实现非因果系统。
我们称已记录的数据为快数据（blockdata）。
上例均为因果系统，而y（n）=x（n+1），y（n）=x（n2）为非因果系统。
y（n）=x（-n）也是非因果系统，因为n＜0时的输出决定于n＞0时的将来输入。
线性移不变离散系统具有因果性的充要条件是：
h（n）=0，n＜0。
4．稳定性
一个信号x（n），若存在一个实数R，使得对所有n都满足|x（n）|≤R，则称x（n）有界。
一个输入和输出均有界的LSI系统，是稳定的。
而稳定性是系统能否正常工作的先决条件。
5.线性卷积
一个连续的线性时不变系统，其输入x（t）和输出y（t）之间的关系可以用一个常系数线性微分方程描述系统的动态特性，与此类似，一个线性移不变离散时间系统则可以用一个常系数线性差分方程描述：
式中a（k），k=1，2，…，N，b（r），r=0，1，…，M是方程的系数。
给定输入信号x（n）及系统的初始条件，可求出该差分方程的解，即得到系统的输出。
差分方程具体解法我们将在下一章介绍，这里我们将讨论LSI系统输入、输出之间的一个重要关系——线性卷积（linearconvolution）。
由于输入的离散信号x（n）可表示为δ（n）及其位移的线性组合，即：
当输入为δ（n）时，输出y（n）=h（n），由系统的LSI性质：
输出x（0）h（n）
x
（1）h（n-1）
x（-1）h（n+1）
┇
x（k）h（n-k）
输入x（0）δ（n）
x
（1）δ（n-1）
x（-1）δ（n+1）
x（k）δ（n-k）
因此，系统对x（n）的响应y（n）是上面右边一列的相加：
此式即LSI系统的线性卷积，可简记为y（n）=x（n）*h（n）。
当然，上式也可表示为：
并满足以下运算性质：
y（n）=[x1（n）+x2（n）]*h（n）=x1（n）*h（n）+x2（n）*h（n）
若h（n）对应的是因果系统，即n＜0时，h（n）≡0，则式：
可改写为：
其输出y（n）也是因果信号。
若x（n）是一个M点的序列，那么卷积的结果y（n）将是（N+M-1）点序列。
如下例所示。
线性卷积运算的一般步骤：
令h（n）={h（0），h
（1）}={1，1}，x（n）={x（0），…，x（3）}={1，2，3，4}，试求x（n）和h（n）的卷积。
步骤一，将x（n）和h（n）的下标都换成k，如图中（a）、（b）所示。
步骤二，将h（k）或x（k）翻转得h（-k）或x（-k），如图中（c）所示。
步骤三，n=0时，将x（k）和h（-k）对应相乘，k=-∞～+∞，但实际上只有k=0时二者才有重合部分，因此y（0）=x（0）h（0）=1×
1=1。
步骤四，将h（-k）右移一个抽样点，即令n=1，得h（1-k），如图中（d）所示，令x（k）和h（1-k）对应相乘，得：
y
（1）=x（0）h
（1）+x
（1）h（0）=3
步骤五，不断移动h（-k），可得到不同的h（n-k），并重复上述对应相乘过程，得：
y
（2）=x
（1）h
（1）+x
（2）h（0）=5
y（3）=x
（2）h
（1）+x（3）h（0）=7
y（4）=x（3）h
（1）=4
当n＞5时，y（n）≡0。
由于h（n）是二点序列，x（n）是四点序列，所以y（n）是五点序列。
如图中（e）所示。
令x（n）=bnu（n），h（n）=anu（n），求系统的输出y（n）。
由定义有：
式中第一个求和号k取值范围是泛指，而后面的取值范围是具体值。
由几何级数求和公式，有：
已知输入为：
x（n）=u（n）-u（n-N），系统单位抽样响应为：
h（n）=anu（n），其中0＜a＜1，求系统的输出。
解；
同样可以用图解法求线性卷积：
步骤一，将x（n）和h（n）的下标都换成哑元坐标k。
步骤二，将h（k）或x（k）翻转得h（-k）或x（-k）。
步骤三，n=0时，将x（-k）和h（-k）对应相乘，k=-∞～+∞，并将所有对应点的乘积叠加起来得到y（0）。
步骤四，将h（-k）右移n个抽样点，得h（n-k），并和x（k）对应相乘，将各项乘积叠加得到y（n）。
步骤五，改变n的值，即可得到整个y（n）序列。
此外，我们还可以用解析法求线性卷积。
将x（k）称为固定序列，将h（n-k）称为移动序列。
根据两序列的特征，先划分几段别考虑。
对于每段再分别考虑其卷积的上下限，取两序列非零值上限中的小者为上限，下限中的大的作下限。
应当注意h（n-k）的上下限一直在变动。
对于本题，分为三个区间：
n＜0，0≤n＜N，n≥N。
当n＜0时，固定序列x（k）是在k=0到N-1各点处均为1，其余各点均为零的有限长序列，h（-k）是k＞0时全为零的左半边序列，而n＜0时，h（n-k）会进一步向左移|n|个点，两序列没有重叠之处，因此，乘积和输出均为零，即y（n）=0。
当0≤n＜N时，h（n-k）的右边n+1个点和x（k）由k=0到k=n的n+1个点是非零对应。
序列相乘再求和后即得该点输出y（n）。
按等比求和公式可得：
n≥N时，因为k≥N后x（k）=0，和最右边的一个非零x（k）=x（N-1）=1对应的值为：
an-（N-1）=an-N+1。
然后向左
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