最新贝塞尔公式.docx

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最新贝塞尔公式

[最新]贝塞尔公式

样本标准差的表示公式

数学表达式:

S-标准偏差（%）

n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个

i-物料中某成分的各次测量值，1,n;[编辑]

标准偏差的使用方法

在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。

如果价格保持平稳，这个指标值不高。

在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。

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标准偏差的计算步骤

标准偏差的计算步骤是:

2步骤一、（每个样本数据,样本全部数据之平均值）。

步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。

步骤三、把步骤二的结果除以（n-1）（“n”指样本数目）。

步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。

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[1]六个计算标准偏差的公式[编辑]

标准偏差的理论计算公式

设对真值为X的某量进行一组等精度测量,其测得值为l、l、„„l。

令12n测得值l与该量真值X之差为真差占σ,则有σ=l?

X1i

σ=l?

X22

„„

σ=l?

Xnn

我们定义标准偏差（也称标准差）σ为

（1）

由于真值X都是不可知的,因此真差σ占也就无法求得,故式只有理论意义而无实用价值。

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标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式

由于真值是不可知的,在实际应用中,我们常用n次测量的算术平均值

来代表真值。

理论上也证明,随着测量次数的增多,算术平均值最接近真值,当时,算术平均值就是真值。

于是我们用测得值l与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V来代ii替真差σ,即

设一组等精度测量值为l、l、„„l12n

则

„„

通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为

将上式代入式

（1）有

（2）

式

（2）就是著名的贝塞尔公式（Bessel）。

它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。

由于当时，

可见贝塞尔公式与σ的定义式

（1）是完全一致的。

应该指出,在n有限时,用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。

它不是总体标准偏差σ。

因此,我们称式

（2）为标准偏差σ的常用估计。

为

了强调这一点,我们将σ的估计值用“S”表示。

于是,将式

（2）改写为

（2'）

在求S时,为免去求算术平均值的麻烦,经数学推导（过程从略）有

于是,式（2'）可写为

（2"）

按式（2"）求S时,只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺,即可。

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标准偏差σ的无偏估计

2数理统计中定义S为样本方差

222数学上已经证明S是总体方差σ的无偏估计。

即在大量重复试验中,S围2绕σ散布,它们之间没有系统误差。

而式（2'）在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计,也就是说S和σ之间存在系统误差。

概率统计告诉我们,对于服从正态分布的正态总体,总体标准偏差σ的无偏估计值为

（3）

令

则

即S和S仅相差一个系数K,K是与样本个数测量次数有关的一个系数,K1σσ

值见表。

σ

计算K时用到σ

Γ（n+1）=nΓ（n）

Γ

（1）=1

由表1知,当n>30时,。

因此,当n>30时,式（3'）和式（2'）之间的差异可略而不计。

在n=30,50时,最宜用贝塞尔公式求标准偏差。

当n<10时,由于K值的影响已不可忽略,宜用式（3'）,求标准偏差。

这时σ

再用贝塞尔公式显然是不妥的。

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标准偏差的最大似然估计

将σ的定义式

（1）中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到

（4）

式（4）适用于n>50时的情况,当n>50时,n和（n-1）对计算结果的影响就很小了。

2.5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大,不宜现场采用,而极差估计的方法则有运算简便,计算量小宜于现场采用的特点。

极差用"R"表示。

所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。

若对某量作次等精度测量测得l、，且它们服从正态分布,则1

R=l?

lmaxmin

概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为

（5）

S称为标准偏差σ的无偏极差估计,d为与样本个数n（测得值个数）有关的32

无偏极差系数,其值见表2

由表2知,当n?

15时,,因此,标准偏差σ更粗略的估计值为

（5'）

还可以看出,当200?

n?

1000时，因而又有

（5"）

显然,不需查表利用式（5'）和（5"）了即可对标准偏差值作出快速估计,用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。

应指出,式（5）的准确度比用其他公式的准确度要低,但当5?

n?

15时,式（5）不仅大大提高了计算速度,而且还颇为准确。

当n>10时,由于舍去数据信息较多,因此误差较大,为了提高准确度,这时应将测得值分成四个或五个一组,先求出各组的极差R、,再由各组极差求出极差平均值。

1

极差平均值和总体标准偏差的关系为

需指出,此时d大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N（=nK）去查2

表2。

再则,分组时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。

编辑][

标准偏差σ的平均误差估计

平均误差的定义为

误差理论给出

（A）

可以证明与的关系为

（证明从略）

于是（B）

由式（A）和式（B）得

从而有

式（6）就是佩特斯（C.A.F.Peters.1856）公式。

用该公式估计δ值,由于\right|V\right|不需平方,故计算较为简便。

但该式的准确度不如贝塞尔公式。

该式使用条件与贝塞尔公式相似。

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[1]标准偏差的应用实例

对标称值R=0.160$\mu m$ 的一块粗糙度样块进行检定,a$$

顺次测得以下15个数

据:

1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1

.74和1.63μm,试求该样块R的平均值和标准偏差并判断其合格否。

n

解:

1）先求平均值

2）再求标准偏差S

若用无偏极差估计公式式（5）计算,首先将测得的,15个数据按原顺序分为三组,每组五个,见表3。

表3

组号l_1l_5R

11.481.651.601.671.520.19

21.461.721.691.771.640.31

31.561.501.641.741.630.24

因每组为5个数据,按n=5由表2查得

故

若按常用估计即贝塞尔公式式（2'）,则

若按无偏估计公式即式（3'）计算,因n=15，由表1查得K=1.018,则δ

若按最大似然估计公式即式（4'）计算,则

=0.09296（$\mu m$ ）$$

若按平均误差估计公式即式（6）,则

现在用式（5'）对以上计算进行校核

可见以上算得的S、S、S、S和S没有粗大误差。

1234

由以上计算结果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062

即<

可见,最大似然估计值最小,常用估计值S稍大,无偏估计值S又大,平1均误差估计值S再大,极差估计值S最大。

纵观这几个值,它们相当接近,最43

。

从理论上讲,用无偏估计值和常用估计比较合适,在大差值仅为0.01324μm

本例中,它们仅相差0.0017μ、、和之m。

可以相信,随着的增大,S、SSSS1234间的差别会越来越小。

就本例而言,无偏极差估计值S和无偏估计值S仅相差0.0083μm,这说明31

无偏极差估计是既可以保证一定准确度计算又简便的一种好方法。

JJG102-89《表面粗糙度比较样块》规定R的平均值对其标称值的偏离不应a

超过+12%,17%,标准偏差应在标称值的4%,12%之间。

已得本样块二产,产均在规定范围之内,故该样块合格。

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标准偏差与标准差的区别

标准差（StandardDeviation）各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离差平方和平均后的方根。

用σ表示。

因此，标准差也是一种平均数。

标准差是方差的算术平方根。

标准差能反映一个数据集的离散程度。

平均数相同的，标准差未必相同。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。

这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

标准偏差（StdDev,StandardDeviation）-统计学名词。

一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。

标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。

标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。