数学建模竞赛获奖论文A题 油罐模型.docx
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数学建模竞赛获奖论文A题油罐模型
储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，通过预先标定的罐容表（即
罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油
量的变化情况。
题目要求用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标
定的问题。
本文通过了几何学、积分学、数值积分，最小二乘法等，针对三种不同情况
建立了如下模型。
模型一：
小椭圆油罐无变位情况下油容量V1与油位高度h1的关系。
2
111
11arcsin
2
hbhbhb
vabl
bbb
⎛-⎛-⎫⎛-⎫π⎫=ç-ç⎪+ç⎪+⎪
ç⎝⎭⎝⎭⎪
⎝⎭
模型二：
小椭圆油罐有变位情况下油容量V1与油位高度h的关系
2
1
1
1
（）
tan
h
h
VShdh
α
=⎰
模型三：
实际油罐有变位情况下油容量V与油位高度h以及变位参数的关系
1
（）（）（）
tan
aab
b
hhh
hrr
VShdhSydySydy
α--
=⎰+⎰+⎰
通过对模型一和模型二的比较，可得出在有变位的情况下，相同油位高度下，
无变位比有变位含有更多的油。
并在附录中给出罐容表标定值。
通过考察模型三，通过最小二乘法求得α=2.1,β=4.6（单位：
角度），并将
变位参数带入模型三中，经过附件2中数据进行检验，得出大多数误差在1L以
内。
关键词：
卧式储油罐体积标定数值积分最小二乘法多重积分
2
1.问题提出
1.1背景
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
图见附录。
用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
1.2问题
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体，见附录），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
2.条件假设
1）忽略油罐发生纵向位移以及横向位移时引起的油罐结构的变化
2）假设油罐发生变位角不会过大
3）假设油位探针、出油管以及进油管等设备对油罐内容积影响忽略不计
3
3.符号说明
4.问题分析
4.1问题一分析
问题一要求对小椭圆油罐建立模型研究罐体变位后对罐容表的影响，给出油位高度间隔差为1cm的罐容表标定值，并在附录中提供了实验数据。
对于问题一，本文对两种情况，即无变位和变位时，分别建立数学模型，对罐体变位后对罐容表的影响进行评估，而附录中提供的数据可以用于检验模型的精确性以及与实际的误差。
对于无变位的情况，可以利用几何学和积分学求得油罐中油的体积与油位高度的函数关系。
对于变位的情况，类似地也可求得油罐中油的体积与油位高度的函数关系。
对这两个函数关系进行考察即可。
最后，利用题目附录中提供的数据检验模型，比较两个函数关系即可得出罐体变位后对罐容表的影响。
利用油罐变位后的数学模型即可求得变位后油位高度间隔1cm时的罐容表标定值。
4.2问题二分析
问题二要求对于实际储油罐（如图一所示，见附录），建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，并根据实际检测数据确定变位参数。
首先数学模型即为罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。
在这里主要考虑变位参数的影响。
由问题一得出纵向倾斜角度α=4.1°时油罐内储油量与油位高度的关系。
将纵向倾斜角α一般化可类似地求得油罐内储油量与纵向倾斜角α的关系。
由于油罐是圆筒形，所以水平倾斜时只要考虑浮标所测的油位高度变化即可。
5.模型建立与求解
4
5.1问题一的解答
5.1.1模型建立
模型一：
无变位
由下图5.1.1.1，11v=S（h）l，即无变位时，储油量1v与浮标测定的高度1h
的关系，其中1S（h）是油位高度为1h时，油罐椭圆截面的面积。
2
111
1（）1arcsin
2
hbhbhb
Shab
bbb
⎛-⎛-⎫⎛-⎫π⎫=ç-ç⎪+ç⎪+⎪
ç⎝⎭⎝⎭⎪
⎝⎭
则
2
111
11arcsin
2
hbhbhb
vabl
bbb
⎛-⎛-⎫⎛-⎫π⎫=ç-ç⎪+ç⎪+⎪
ç⎝⎭⎝⎭⎪
⎝⎭
其中a=0.89m,b=0.6m,l=2.45m
模型二：
有变位[1]
有变位时，变位角α=4.1°时，油罐储油量与浮标所测定的高度1h的关系有
五种情况，下面分情况讨论
（1）.如下图5.1.1.2，由于有纵向倾角，但浮标显示是0时，油罐内实际并
不为零。
经过计算可得：
11当h=0时，V≤1.6743L;
5
（2）.如下图5.1.1.3，表示油罐内的油量的平面低于所示虚线，此时油罐的
正面示意图是三角形。
则有11当02
1
2
2
2
0.4tan1
tan
1
0
1
（）
hy
zba
b
by
a
b
Vhdxdydz
α
α
+--
-
--
=⎰⎰⎰
12
0.4tan
tan
02
21
h
zb
b
y
adydz
b
α
α
+-
-
=⎰⎰-
1
2
0.4
tan
0
tantantan
1arcsin
hzbzbzb
abdz
bbb
α+ααα⎡---⎤⎛⎫⎛⎫
=⎢-ç⎪+ç⎪⎥
⎢⎝⎭⎝⎭⎥
⎣⎦
⎰
ztan
b
b
α-
令u=
图5.1.1.2
图5.1.1.3
6
10.4tan
2
1
1arcsin
tan2
hb
bab
uuudu
απ
α
+-
-
⎛⎫
=ç-++⎪
⎝⎭原式⎰
3
2
0.4tan
1
tan3
abbhb
b
α
α
⎛⎫
ç⎡⎛+-⎫⎤⎪=-⎢-ç⎪⎥+ç⎢⎝⎭⎥⎪ç⎣⎦⎪
⎝⎭
2
10.4tan
1
tan
abhb
b
b
α
α
⎛+-⎫
-ç⎪+
⎝⎭
（）10.4tan
tan2
ab
hb
π
α
α
⎛⎫
ç+-⎪
⎝⎭
（3）.如下图5.1.1.4，油罐内油量的液面低于所示虚线，此时油没有完全覆
盖油罐的任意一个底面：
11当2.05tanα（）1
1
0.4tan
0.4tanarcsin
tan
abhb
hb
b
α
α
α
⎛+-⎫
ç+-⎪+
⎝⎭
图5.1.1.4
7
2
2
2
2
1.21tan
tan
11.2
2.451tan
（）
y
za
b
by
a
b
Vhdxdydz
α
α
α
-
----
=⎰⎰⎰
积分方法同上可得
3
2
1
1
2.05tan
（）1
tan3
abbhb
Vh
b
α
α
⎛⎫
ç⎡⎛--⎫⎤⎪=⎢-ç⎪⎥-ç⎢⎝⎭⎥⎪ç⎣⎦⎪
⎝⎭
3
2
10.4tan
1
tan3
abbhb
b
α
α
⎛⎫
ç⎡⎛+-⎫⎤⎪⎢-ç⎪⎥+ç⎢⎝⎭⎥⎪ç⎣⎦⎪
⎝⎭
（）1
1
0.4tan
0.4tanarcsin
tan
abhb
hb
b
α
α
α
⎡+-⎤
⎢+-⎥+
⎣⎦
2
10.4tan
1
tan
abhb
b
b
α
α
⎛+-⎫ç⎛⎫⎪-ç⎪-
ç⎝⎭⎪
⎝⎭
（）1
1
2.05tan
2.05tanarcsin
tan
abhb
hb
b
α
α
α
⎡--⎤
⎢--⎥-
⎣⎦
2
12.05tan
1
tan
abhb
b
b
α
α
⎛--⎫ç⎛⎫⎪-ç⎪+
ç⎝⎭⎪
⎝⎭
2.45tan
tan2
abπ
α
α
⎛⎫
ç⎪
⎝⎭
8
（4）.如下图5.1.1.5，油罐内油完全覆盖油罐的一个底面。
11当1.2-0.4tanα2
1
2
12
2
tan1
tan
1
2.051tan
（）
hy
zba
b
ahyb
a
b
VhVdxdydz
α
α
α
--
----
=+⎰⎰⎰
11.2
（0.4）,
tana
h
Vπab
α
-
其中=-
11.2
（0.4）
tan
h
πab
α
-
原式=-+
3
2
12.05tan
1
tan3
abbhb
b
α
α
⎛⎫
ç⎡⎛--⎫⎤⎪⎢-ç⎪⎥-ç⎢⎝⎭⎥⎪ç⎣⎦⎪
⎝⎭
（）1
1
2.05tan
2.05tanarcsin
tan
abhb
hb
b
α
α
α
⎡--⎤
⎢--⎥-
⎣⎦
2
12.05tan
1
tan
abhb
b
b
α
α
⎛--⎫ç⎛⎫⎪-ç⎪+
ç⎝⎭⎪
⎝⎭
（）132.05tan
tan2
ab
bh
π
α
α
⎡⎤
⎢-+⎥
⎣⎦
图5.1.1.5
9
（5）.如下图5.1.1.6，浮标测得的油位高度显示油罐为满，然而实际上并没
有满。
此时经计算得到：
11当h=1.2m时，4012.747≤V≤4110.146L
5.1.2模型求解及改进
首先对5.1.1中建立的模型，用题目附录中的数据进行检验。
对于无变位的模型，将题目附录中的提供的数据中的油位高度带入函数关系
式可求得相应的储油罐中的容量，然后与题目附录中的储油量高度进行比对，发
现相对误差维持在3.48%左右。
由于相对误差几乎保持不变，我们可以认为实际
测量过程存在系统误差。
可以对这个结果加以修正。
模型修正
对无变位的油罐模型进行修正。
在这里定义残差ε为实际测量值与模型所
得值的差，即ε=V-V（h）。
（其中V表示实验测得的油罐内油容量，V（h）表示当
油位高度为h时，由模型求得的油罐内油的容量）。
建立关系ε--V（h），ε关于
油位高度V（h）的拟合图像如下。
y=0.0337x-0.0012
R2=1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
010002000300040005000
系列1
线性（系列1）
图5.1.1.6
图5.1.2.1
10
函数关系为ε=0.0337V（h）-0.0012，对原无变位模型进行修正得1V=v+ε。
此时利用附件中的数据对其进行验证得绝对误差绝对值在0.01L以内，相对误差
在510-数量级或者更小。
具体图表见附录中表2。
对于油罐变位后的模型，与无变位的检验同理。
得到相对误差在1%～5%以
内。
在可容许的范围内，因此我们认为此模型有效。
油罐变位后对罐容表的影响可以通过比较无变位和有变位的数学模型得出。
利用MATLAB[2]在一定区间内对两个模型作图于同一个坐标系中。
程序见附件。
图形如下图5.1.2.1。
由图可看出在一定区间内，变位后相同油位高度的情况下实际储油量要比无
变位的储油罐在相同油位高度下的储油量要少，且差值保持在一定值左右波动。
这一点也可以从题目附录中的数据得到验证。
在高度相同的情况下，无变位与变
位的油罐模型油量差值保持在200L左右。
当然，由5.1.1.1的变位模型的第一种情况可知，变位后的油罐在浮标测得
高度之前就可能已含有油，即由于倾角的影响，浮标显示油位高度为0，而变位
油罐可能并不是空的。
同理知5.1.1.1的变位模型第五种，当浮标显示油位高度
为满的时候，由于倾角的影响，油罐实际上的储油量可能并不是满的。
考虑到在
现实情况下，纵向倾角不可能太大，所以变位油罐模型的第一种和第五种情况不
做过多讨论。
图5.1.2.2
11
另外，罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值可以由模型得到，结果如下：
罐体变位后罐容表标定值
高度0.00mmV<=1.67L
高度10.00mmV=3.53L
高度20.00mmV=6.26L
高度30.00mmV=9.97L
高度40.00mmV=14.76L
高度50.00mmV=20.69L
高度60.00mmV=27.85L
高度70.00mmV=36.32L
高度80.00mmV=46.14L
高度90.00mmV=57.39L
高度100.00mmV=70.13L
高度110.00mmV=84.40L
高度120.00mmV=100.25L
高度130.00mmV=117.75L
高度140.00mmV=136.92L
高度150.00mmV=157.82L
高度160.00mmV=180.26L
高度170.00mmV=204.00L
高度180.00mmV=228.91L
高度190.00mmV=254.88L
高度200.00mmV=281.86L
高度210.00mmV=309.76L
高度220.00mmV=338.54L
高度230.00mmV=368.14L
高度240.00mmV=398.53L
高度250.00mmV=429.66L
高度260.00mmV=461.49L
高度270.00mmV=494.00L
高度280.00mmV=527.14L
高度290.00mmV=560.90L
高度300.00mmV=595.25L
高度310.00mmV=630.15L
高度320.00mmV=665.58L
高度330.00mmV=701.53L
高度340.00mmV=737.96L
高度350.00mmV=774.86L
高度360.00mmV=812.20L
高度370.00mmV=849.97L
高度380.00mmV=888.15L
高度390.00mmV=926.72L
12
高度400.00mmV=965.66L
高度410.00mmV=1004.95L
高度420.00mmV=1044.58L
高度430.00mmV=1084.53L
高度440.00mmV=1124.79L
高度450.00mmV=1165.34L
高度460.00mmV=1206.16L
高度470.00mmV=1247.23L
高度480.00mmV=1288.56L
高度490.00mmV=1330.11L
高度500.00mmV=1371.88L
高度510.00mmV=1413.85L
高度520.00mmV=1456.02L
高度530.00mmV=1498.35L
高度540.00mmV=1540.85L
高度550.00mmV=1583.50L
高度560.00mmV=1626.28L
高度570.00mmV=1669.19L
高度580.00mmV=1712.21L
高度590.00mmV=1755.32L
高度600.00mmV=1798.52L
高度610.00mmV=1841.80L
高度620.00mmV=1885.13L
高度630.00mmV=1928.51L
高度640.00mmV=1971.93L
高度650.00mmV=2015.37L
高度660.00mmV=2058.82L
高度670.00mmV=2102.28L
高度680.00mmV=2145.71L
高度690.00mmV=2189.13L
高度700.00mmV=2232.50L
高度710.00mmV=2275.82L
高度720.00mmV=2319.09L
高度730.00mmV=2362.27L
高度740.00mmV=2405.37L
高度750.00mmV=2448.37L
高度760.00mmV=2491.26L
高度770.00mmV=2534.02L
高度780.00mmV=2576.64L
高度790.00mmV=2619.12L
高度800.00mmV=2661.42L
高度810.00mmV=2703.55L
高度820.00mmV=2745.49L
高度830.00mmV=2787.22L
13
高度840.00mmV=2828.74L
高度850.00mmV=2870.02L
高度860.00mmV=2911.06L
高度870.00mmV=2951.83L
高度880.00mmV=2992.33L
高度890.00mmV=3032.53L
高度900.00mmV=3072.43L
高度910.00mmV=3112.00L
高度920.00mmV=3151.23L
高度930.00mmV=3190.11L
高度940.00mmV=3228.61L
高度950.00mmV=3266.72L
高度960.00mmV=3304.42L
高度970.00mmV=3341.69L
高度980.00mmV=3378.51L
高度990.00mmV=3414.86L
高度1000.00mmV=3450.72L
高度1010.00mmV=3486.06L
高度1020.00mmV=3520.87L
高度1030.00mmV=3555.11L
高度1040.00mmV=3588.77L
高度1050.00mmV=3621.81L
高度1060.00mmV=3654.20L
高度1070.00mmV=3685.91L
高度1080.00mmV=3716.92L
高度1090.00mmV=3747.17L
高度1100.00mmV=3776.64L
高度1110.00mmV=3805.27L
高度1120.00mmV=3833.01L
高度1130.00mmV=3859.82L
高度1140.00mmV=3885.62L
高度1150.00mmV=3910.33L
高度1160.00mmV=3933.86L
高度1170.00mmV=3956.06L
高度1180.00mmV=3976.66L
高度1190.00mmV=3995.54L
高度1200.00mm4012.74L<=V<=4110.15L
5.2问题二的解答
5.2.1模型建立
问题二要求建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，并根据附件中的实验检
14
测数据确定变位参数。
首先建立数学模型。
油罐的示意图如下，先考虑只有纵向位移
两条虚线为水平线，倾角为α，则油罐内容积为
V=V1+V2+V3。
其中1V为油罐中间部分体积，23V,V分别为两球冠的体积。
下面分别利用几何学，以及积分分别求解123V,V,V。
5.2.2模型求解
5.2.2.1求解1V
1V的情况与第一问类似，需要分五种情况进行讨论，由于有些情况比较类似，
在这里主要讨论一般情况，如下图所示。
先考虑只存在纵向倾角
由三角形的相关性质可得：
1112+tan,tanabh=hlαh=h-lα，
S为图b所示部分的面积，可推出
15
2
2（）=1arcsin
hrhrhr
SShr
rrr
⎛---⎫ç⎛⎫⎪=-ç⎪+
ç⎝⎭⎪
⎝⎭
，
其中r为截面圆的半径，则
1
1
（）
tan
a
b
h
h
VShdh
α
=⎰
（）（）（）（）
2
33
2222
122221112111arcsin1arcsin1
tan332
rrr
xxrxxxxxxxxr
π
α
⎡⎤
=⎢---++----+-⎥
⎣⎦
其
升级会员 