初中数学竞赛辅导资料(23).doc

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初中数学竞赛辅导资料（23）

递推公式

甲内容提要

1．先看一例：

a1=b,a2=,a3=……　an+1=这里a1,a2,a3……an,an+1是对应于正整数1，2，3……n,n+1的有序的一列数（右下标的数字表示第几项），这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值。

例如:

若　a1=10,则a2==,a3=10,a4=,a5=10……　　

2.为了计算的方便，通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式，这可用经验归纳法。

例如：

把递推公式an+1=an+5改为用a1和n来表示

∵a2=a1+5,　∴a3=a2+5=（a1+5）+5=a1+2×5，a4=a3+5=（a1+2×5）+5=a1+3×5

……　　　　∴an=a1+（n-1）5

如果已知a1=10,求a20,显然代入这一公式方便。

A20=10+19×5=105

3.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。

乙例题

例1.已知：

a1=2,an=an-1+2（n-1）（n≥2）　　求：

a100的值

解：

a100=a99+2×99

=a98+2×98+2×99

=……

=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99

=2+2×=9902

又解：

a2=a1+2×1

a3=a2+2×2=（a1+2×1）+2×2

a4=a3+2×3=（a1+2×1+2×2）+2×3

……

a100=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×99

=2+2（1+2+3+……+99）=9902

例2.已知：

x1=97,对于自然数n>1,xn=　求：

x1x2x3·……·x8的值

解：

由递推公式xn=可知x1x2=x1=2x3x4=x3=4

x5x6=x5=6x7x8=x7=8　　∴x1x2x3·……·x8=2×4×6×8=384

例3.已知：

100个自然数a1,a2,a3……a100满足等式

（n-2）an－（n－1）an-1+1=0（2≤n≤100）并且a100=199

求：

a1＋a2＋a3＋……＋a100

分析：

已知等式是一个递推公式，用后项表示前项：

an-1=

可由a100求a99,a98……

解：

a99===197

a98===195

用同样方法求得a97=193,a96=191,……a1=1

∴a1＋a2＋a3＋……＋a100＝1＋3＋5＋……＋195＋197＋199

　　　　　　　　　　　＝＝104

丙练习23

1.已知　a1=1,a2=1,且an+2=an+1+an

那么　a3=___,a4=____,a5=_____,a6=_____,a7=_____

2.若a1=2m,an=　则a2=__,a3=__,a4=__,a5=__,a1989×a1990=___

3.n为正整数，有递推公式an+1=an－3，试用a1,n表示第n项an

4.已知　a1=10,an+1=2an求a10

5.已知　f

（2）=1,f（n+1）=f（n）+n,求f（10）

6.设x+y=a1,x2+y2=a2,……　xn+yn=an,xy=6,则a2=a12－2b,

有递推公式an+1=a1an－ban-1,试按本公式求出：

用a,b表示a3,a4,a5,a6

根据下列数据的特点，写出递推公式：

①a1=1,a2=4,a3=7,a4=10……an=＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿　　

②a1=1,a2=3,a3=6,a4=10……an=＿＿＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿＿

7.n名象棋选手进行单循环比赛（每人对其他各人各赛一场）试用递推公式表示比赛的场数。

8.平面内n条的直线两两相交，最多有几个交点？

试用递推公式表示。

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