初中数学竞赛辅导资料(23).doc

1、初中数学竞赛辅导资料(23)递推公式甲内容提要1 先看一例：a1=b,a2=,a3=an+1=这里a1,a2,a3an,an+1是对应于正整数1，2，3n,n+1 的有序的一列数（右下标的数字表示第几项），这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值。例如: 若a1=10, 则a2=,a3=10,a4=,a5=102. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式，这可用经验归纳法。 例如：把递推公式an+1=an+5改为用a1 和n来表示a2=a1+5,a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+25， a4=a3+5=(a1+25)+5=a1+35an=a1+(n-1)5如

2、果 已知a1=10, 求a20,显然代入这一公式方便。A20=10+195=1053.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。乙例题例1.已知：a1=2, an=an-1+2(n-1) (n2) 求：a100的值 解：a100=a99+299 =a98+298+299 = =a1+21+22+23+298+299 =2+2=9902 又解：a2=a1+21 a3=a2+2 2=(a1+21)+22 a4=a3+23=(a1+21+22)+23 a100=a1+21+22+23+299 =2+2(1+2+3+99)=9902例2.已知：x1=97, 对于自然数n1, xn

3、= 求：x1x2x3x8的值 解：由递推公式xn=可知 x1x2=x1=2 x3x4=x3=4 x5x6=x5=6 x7x8=x7=8x1x2x3x8=246 8=384例3.已知：100个自然数a1,a2,a3a100满足等式(n-2)an（n1）an-1+1=0 (2n100)并且a100=199 求：a1a2a3a100分析：已知等式是一个递推公式，用后项表示前项：an-1= 可由a100求a99,a98解：a99=197 a98=195用同样方法求得a97=193, a96=191,a1=1a1a2a3a100135195197199104丙练习231. 已知a1=1, a2=1, 且

4、an+2=an+1+an 那么a3=_,a4=_,a5=_,a6=_,a7=_2. 若a1=2m, an=则a2=_,a3=_,a4=_,a5=_,a1989a1990=_3. n为正整数，有递推公式an+1=an3，试用a1,n表示第n项an4. 已知a1=10, an+1=2an 求a105. 已知f(2)=1, f(n+1)=f(n)+n, 求 f(10)6. 设x+y=a1, x2+y2=a2, xn+yn=an, xy=6, 则a2=a122b,有递推公式an+1=a1anban-1, 试按本公式求出：用a,b表示a3, a4, a5, a6根据下列数据的特点，写出递推公式： a1=1, a2=4, a3=7, a4=10an=,an+1 a1=1, a2=3, a3=6, a4=10an=,an+17. n名象棋选手进行单循环比赛（每人对其他各人各赛一场）试用递推公式表示比赛的场数。8. 平面内n条的直线两两相交，最多有几个交点？试用递推公式表示。返回目录 参考答案 上一页 下一页61