数学必修3人教A版习题章末评估验收.docx
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数学必修3人教A版习题章末评估验收
章末评估验收（三）
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：
①在明年运动会上，可能获冠军，也可能不获冠军；②李凯不一定被抽到；③任取一张不一定为1号签；故①②③均是随机事件．
答案：
D
2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件B．互斥但不对立事件
C．不可能事件D．必然事件
解析：
根据题意，把黑、红、白3种纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
答案：
B
3．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是（ ）
A.B.C.D.
解析：
给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P＝＝.
答案：
B
4．在区间[－2，1]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为（ ）
A.B.C.D.
解析：
由几何概型的概率计算公式可知x∈[0，1]的概率P＝＝.
答案：
A
5．某人从甲地去乙地共走了500m，途中要过一条宽为xm的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为，则河宽为（ ）
A．100mB．80m
C．50mD．40m
解析：
设河宽为xm，则1－＝，所以x＝100.
答案：
A
6．一个球形容器的半径为3cm，里面装满纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取1mL水含有感冒病毒的概率为（ ）
A.B.C.D.
解析：
纯净水的体积为π×33＝36π（cm3）＝36π（mL），
任取1mL水含有感冒病毒的概率P＝.
答案：
C
7．将区间[0，1]内的均匀随机数x1转化为区间[－2，2]内的均匀随机数x，需要实施的变换为（ ）
A．x＝x1*2B．x＝x1*4
C．x＝x1*2－2D．x＝x1*4－2
解析：
由题意可知x＝x1*（2＋2）－2＝x1*4－2.
答案：
D
8．手表实际上是个转盘，一天24小时，分针指到哪个数字的概率最大（ ）
A．12B．6C．1D．12个数字概率相等
解析：
手表设计的转盘是等分的，即分针指到1，2，3，…，12中每个数字的机会都一样．
答案：
D
9．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A.B.C.D.
解析：
任意找两人玩这个游戏，其有6×6＝36种猜数字结果，其中满足|a－b|≤1的有如下情形：
①若a＝1，则b＝1，2；②若a＝2，则b＝1，2，3；③若a＝3，则b＝2，3，4；④若a＝4，则b＝3，4，5；⑤若a＝5，则b＝4，5，6；⑥若a＝6，则b＝5，6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.
答案：
D
10．袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套3只，白色手套2只．现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．则甲、乙获胜的机会是（ ）
A．一样多B．甲多
C．乙多D．不能确定
解析：
乙获胜的概率为，甲获胜的概率为，乙获胜的概率大于甲获胜的概率．
答案：
C
11．（2014·湖北卷）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（ ）
A．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3
C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p2
解析：
随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种．事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）共10种，其概率p1＝＝.事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p2＝.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p3＝.故p1＜p3＜p2.
答案：
C
12．设l是过点A（1，2）且斜率为k的直线，其中k等可能地从－1，－，0，，，，2，3中取值，则原点到直线l的距离大于1的概率为（ ）
A.B.C.D.
解析：
l：
y－2＝k（x－1），即kx－y－k＋2＝0，由题意得>1，所以k2－4k＋4>1＋k2，所以k<，即当k<时，事件“原点到直线l的距离大于1”发生，所以P＝.
答案：
B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．
13.如图所示的矩形，长为5m，宽为2m，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138粒，则我们可以估计出阴影部分的面积为________m2.
解析：
由题意得：
＝，S阴＝.
答案：
14．（2014·课标全国Ⅱ卷）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
解析：
甲、乙两名运动员选择运动服颜色有（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，白），（白，红），（白，蓝），（蓝，蓝），（蓝，白），（蓝，红），共9种．而同色的有（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3种．所以所求概率P＝＝.
答案：
15．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是______．
解析：
由题意可知从甲、乙两组中各随机选取一名同学，共有9种选法，其中这两名同学的成绩相同的选法只有1种，故所求概率P＝.
答案：
16．如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．
解析：
设OA＝OB＝2R，连接AB，设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，连接CD，OC.
如图所示，由对称性可得，阴影的面积等于直角扇形的拱形面积，S阴影＝π（2R）2－×（2R）2＝（π－2）R2，S扇＝πR2，故所求的概率是＝1－.
答案：
1－
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：
分数段
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
概率
0.02
0.04
0.17
0.36
0.25
0.15
（1）求该班成绩在[80，100]内的概率；
（2）求该班成绩在[60，100]内的概率．
解：
记该班的测试成绩在[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]内依次为事件A，B，C，D，由题意知事件A，B，C，D是彼此互斥的．
（1）该班成绩在[80，100]内的概率是P（C∪D）＝P（C）＋P（D）＝0.25＋0.15＝0.4.
（2）该班成绩在[60，100]内的概率是P（A∪B∪C∪D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.17＋0.36＋0.25＋0.15＝0.93.
18．（本小题满分12分）（2015·湖南卷）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：
从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（2）有人认为：
两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？
请说明理由．
解：
（1）所有可能的摸出结果是：
{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．
（2）不正确．理由如下：
由
（1）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝>，故这种说法不正确．
19．（本小题满分12分）某医院一天内派出下乡医疗的医生人数及其概率如下：
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
（1）若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
（2）若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值．
解：
（1）由派出医生不超过2人的概率为0.56，
得0.1＋0.16＋x＝0.56，
所以x＝0.3.
（2）由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，所以z＝0.04.
由派出医生最少3人的概率为0.44，得
y＋0.2＋z＝0.44，
所以y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.
20．（本小题满分12分）（2015·安徽卷）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
[40，50），[50，60），…，[80，90），[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50）的概率．
解：
（1）因为（0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028）×10＝1，所以a＝0.006.
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022＋0.018）×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
（3）受访职工中评分在[50，60）的有：
50×0.006×10＝3（人），记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40，50）的有：
50×0.004×10＝2（人），记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为.
21．（本小题满分12分）已知集合Z＝{（x，y）|x∈[0，2]，y∈[－1，1]}．
（1）若x，y∈Z，求x＋y≥0的概率；
（2）若x，y∈R，求x＋y≥0的概率．
解：
（1）设“x＋y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x＝0，1，2；y∈[－1，1]，即y＝－1，0，1.
则基本事件有：
（0，－1），（0，0），（0，1），（1，－1），（1，0），（1，1），（2，－1），（2，0），（2，1）共9个．其中满足“x＋y≥0”的基本事件有8个，所以P（A）＝.
故x，y∈Z，x＋y≥0的概率为.
（2）设“x＋y≥0，x，y∈R”为事件B，
因为x∈[0，2]，y∈[－1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．
所以P（B）＝＝＝＝，故x，y∈R，x＋y≥0的概率为.
22．（本小题满分12分）（2015·陕西卷）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下；
赔付金额/元
0
1000
2000
3000
4000
车辆数/辆
500
130
100
150
120
（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
解：
（1）设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得
P（A）＝＝0.15，P（B）＝＝0.12.
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为：
P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.
（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100（辆），而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24（辆），所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P（C）＝0.24.
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