人教版八年级数学下册专题复习讲义设计 第18章 特殊的平行四边形矩形菱形正方形含答案.docx

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人教版八年级数学下册专题复习讲义设计第18章特殊的平行四边形矩形菱形正方形含答案

特殊的平行四边形

【本讲主要内容】

特殊平行四边形：

矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定

【知识掌握】

【知识点精析】

平行四边形与各种特殊的平行四边形之间的联系和区别，是本章的难点，因为各种特殊平行四边形图形交错，概念容易混淆，常会出现“张冠李戴”的现象，也会出现用错、多用或少用条件的错误.突破这一难点的关键是学好概念，分清这些特殊平行四边形和一般平行四边形之间及特殊平行四边形之间的从属关系.

1.学概念：

抓“限制”，画树图

课本上，矩形、菱形、正方形都是在平行四边形的前提下定义的，也就是说，对平行四边形增加不同的限制条件、就分别产生了矩形、菱形和正方形的概念.下面我们把对平行四边形的限制，画成简明的“树图”（形状象树枝分杈那样的图），把矩形、菱形的定义、性质和判定条件都综合在树图上（而把矩形、菱形的定义、性质、判定条件综合起来，就得到正方形的定义、性质和判定条件），一目了然.

2.学性质：

抓“特性”，识共性

由于矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，所以它们具有平行四边形的一切性质（即共性），除此之外，还具有自己的特性.

矩形的特性

菱形的特性

由于正方形是特殊的矩形和特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的一切性质：

正方形的特性

这里提醒同学们注意：

学习矩形、菱形和正方形的性质时，要抓住“特性”，否则，就无法应用“特性”去解决矩形、菱形和正方形的问题，但也不要忽视了它们是平行四边形，仍具有一般平行四边形的性质（即共性），忘了“共性”，它们的性质也就不全了，如菱形的对角线性质，应是“特性+共性”；“对角线互相垂直平分，并且每一条对角平分一组对角”；如正方形的对角线的性质，由“特性+共性”，就得到：

“对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角”.在解题时，也要强调“共性”，否则容易造成思维障碍。

3.学判定：

抓“起点”，凑条件

矩形、菱形、正方形最基本的判定方法是它们各自的定义，其它的判定方法都是在定义的基础上推导出来的.因为矩形、菱形、正方形，作为特殊的平行四边形，它们可以在平行四边形的前提下定义，同时，矩形、菱形、正方形，也可以作为特殊的四边形，在四边形的前提下定义，不过，要把平行四边形的条件“溶化”进去.所以，矩形、菱形的判定方法由于“起点”不同可以分成两类：

一类的“起点”是平行四边形，另一类的“起点”是四边形，而正方形的“起点”有四个——矩形、菱形、平行四边形和四边形.在应用判定方法时切勿搞错了“起点”，而“起点”不同，判定所需的条件也不同.

（1）矩形的判定方法：

条件

结论

有一个角是直角

的平行四边形

（是）矩形

对角线相等

有三个角是直角的四边形

（2）菱形的判定方法：

条件

结论

有一组邻边相等

的平行四边形

（是）菱形

对角线互相垂直

四条边都相等

的四边形

对角线互相垂直平分

（3）正方形的判定方法：

条件

结论

有一组邻边相等

的矩形

（是）正方形

对角线互相垂直

有一个角是直角

的菱形

对角线相等

有一个角是直角，且有一组邻边相等

的平行四边形

对角线相等，且互相垂直

四条边都相等，且四个角都相等

的四边形

对角线相等且互相垂直平分

矩形、菱形、正方形的“掌中宝典”

矩形

菱形

正方形

定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

性质定理

①四个角都是直角；

②对角线相等；

③矩形是轴对称图形.

①四条边都相等；

②对角线互相垂直平分；

③每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形.

①四条边都相等；

②四个角都相等；

③对角线相等；

④对角线互相垂直平分；

⑤每一条对角线平分一组对角；

⑥正方形是轴对称图形.

判定定理

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有三个角是直角的四边形是矩形.

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四条边都相等的四边形是菱形；

（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；

（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（3）有一个角是直角的菱形是正方形；

（4）对角线相等的菱形是正方形.

判定定理的表述句型：

具有什么特殊性质的某大类图形，是这类图形.

典例分类剖析

（矩形）如图所示，延长矩形的边CB至E，使CE＝CA，F是AE的中点，求证：

BF⊥FD.

分析：

由∠ABE＝90°，F为AE中点，得BF＝

AE＝AF，易证△ADF≌△BCF，有∠AFD＝∠BFC，又CA＝CE，所以CF⊥AE，即可证得BF⊥FD.

证明：

因为四边形ABCD是矩形，所以∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝BC，

因为F是AE的中点，所以BF＝

AE＝AF，

所以∠BAF＝∠ABF，所以∠DAF＝∠CBF.

在△ADF和△BCF中，AD＝BC，∠DAF＝∠CBF，AF＝BF.

所以△ADF≌△BCF，所以∠AFD＝∠CFB，

又CA＝CE，AF＝BF，所以CF⊥AE，

所以∠AFD＋∠DFC＝90°，∠CFB＋∠DFC＝90°，所以BF⊥FD.

评析：

已知条件中有直角三角形斜边中点，要考虑运用直角三角形斜边中线等于斜边一半构成等腰三角形求解或证明.

（菱形）例.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3∶4，求菱形的面积．

分析：

如图所示，由菱形的性质可得△OAB是直角三角形，它的两条直角边之比等于菱形的两条对角线之比，再由勾股定理列方程求解．

解：

因为菱形ABCD的周长是40cm，所以AB＝10cm．

因为OA＝

AC，OB＝

BD，AC∶BD＝4∶3，所以OA∶OB＝4∶3．

设OA＝4x，OB＝3x，由勾股定理，得（4x）2＋（3x）2＝102，解得x＝2．

那么OA＝8，OB＝6．

所以AC＝16，BD＝12，S菱形ABCD＝

AC·BD＝

×16×12＝96cm2．

评析：

由四边形的两条对角线和一边组成的三角形（如图中△OAB）是我们经常考查的对象．特殊的四边形对应特殊的三角形．矩形、菱形、正方形对应的三角形分别是等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形．掌握这一点，对于解决四边形的问题是大有益处的．

（正方形）例.如图所示，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，菱形AEFC，EH⊥AC，垂足为H，求证：

EH＝

FC.

分析：

要证EH＝

FC，EH在矩形OBEH中，得EH＝OB＝

BD，而FC是菱形AEFC的边，CF＝AC＝BD，所以EH＝

FC，问题的关键是要证四边形OBEH是矩形.

证明：

由正方形ABCD得AC＝BD，AC⊥BD，∠BOC＝90°.

又因为EH⊥AC，所以EH∥OB.

又因为四边形AEFC是菱形，得AC＝CF，AC∥EF，所以OH∥BE.

因此四边形OBEH是矩形，因此EH＝OB＝

BD＝

AC＝

FC.

评析：

综合考查了正方形、菱形的性质和矩形的判定方法.

【解题方法指导】例1.已知：

△ABC中，AB=AC，M为BC的中点，MG⊥AB，MD⊥AC，GF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为G、D、F、E，GF、DE相交于H.试判断四边形HGMD的形状，并证明你的结论.解：

如图所示，∵MG⊥AB，DE⊥AB

∴MG//DE同理MD//GF∴四边形HGMD为平行四边形

又∵AB=AC，M为BC的中点，∴∠B=∠C，BM=CM

∴MG=MD∴四边形HGMD是菱形.

例2.在四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点.求证：

EF⊥GH.证明：

如图所示，连结EG、GF、FH、HE.

∵在△ABD中，E、G分别为AD、BD的中点，

∴EG//AB，

（三角形中位线定理）

同理HF//AB，

∴EG//HF，EG=HF∴四边形EGFH是平行四边形.

∵

∴EG=GF，

∴平行四边形EGFH是菱形.∴EF⊥GH（菱形的对角线互相垂直）.

注意：

画图时，不要把一般四边形ABCD画成特殊四边形.

例3.已知两边长为a的正方形ABCD、OKPQ，O为正方形ABCD的中心.

求证：

不论OKPQ在什么位置，两正方形重叠部分为定值.

分析：

既然要证明重叠部分面积与OKPQ位置无关，可将OKPQ绕O点旋转至特殊位置，求出定值后再证明其面积与在一般位置时面积相等即可.

证明：

将正方形OKPQ绕O点旋转至图中正方形OMSH位置，

正方形OMSH与正方形ABCD重叠部分为△OBC，S△OBC=

，

又∠OBE=∠OCF，∠BOE=90°－∠EOC=∠COF，OB=OC，

，

，

即正方形OKPQ与正方形ABCD重叠部分面积为

.

点评：

本例是从事物的联系、变化中探索不变量，找到解决问题的关键，使问题迎刃而解，基本思路是“一般问题→特殊化→探索解法→解决问题”.

【考点突破】

【考点指要】

特殊平行四边形的定义、性质和判定在中考说明中是C级知识点，它常与平行四边形、梯形、全等三角形综合在一起以选择题、填空题、解答题和论证题等题型出现在中考题中，大约占有4—8分左右，近几年，这部分的考题从以往的论证题转向动手操作、发现、猜想和探究的开放题.

【典型例题分析】

例1.如图所示，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF//AE交DG于F，

（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

（2）求证：

AE=FC+EF.

（1）

证明：

∵四边形ABCD是正方形∴AD=DC，∠ADC=90°

又∵AE⊥DG，CF//AE∴∠AED=∠DFC=90°

∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°∴∠EAD=∠FDC

（2）

∵DF=DE+EF∴AE=FC+EF

例2.已知：

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG//DB交CB的延长线于G.

（1）求证：

；

（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？

并证明你的结论.

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD

∵点E、F分别是AB、CD的中点，

（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形.

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC

∵AG//BD∴四边形AGBD是平行四边形

∵四边形BEDF是菱形∴DE=BE

∵AE=BE∴AE=BE=DE∴∠1=∠2，∠3=∠4

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°∴2∠2+2∠3=180°∴∠2+∠3=90°

即∠ADB=90°∴四边形AGBD是矩形.

例3.

如图所示，四边形OABC与ODEF均为正方形，CF交OA于P，交DA于Q.

（1）求证：

AD=CF.

（2）AD与CF垂直吗？

说说你的理由.

（3）当正方形ODEF绕O点在平面内旋转时，

（1），

（2）的结论是否有变化（不需说明理由）.

（1）证明：

∵四边形OABC与ODEF均为正方形

∴AO=CO，DO=FO，∠AOC=∠DOF=90°

∴∠DOF+∠FOA=∠AOC+∠FOA

即：

∠AOD=∠COF

∴AD=CF

（2）AD⊥CF，理由为：

∴∠OCF=∠OAD

∴∠APQ+∠OAD=∠OCF+∠CPO=90°∴∠AQP=90°即：

AD⊥CF

（3）当正方形ODEF绕O点在平面内旋转时，

（1）

（2）的结论不会变化.

【综合测试】

一、选择题：

1.菱形的两条对角线长分别为12和16，则其周长为（）

A.20B.25C.40D.60

2.顺次连接矩形四边中点所成的四边形是（）

A.菱形B.正方形C.矩形D.等腰梯形

3.已知正方形的边长为2a，则它的对角线长是（）

A.2aB.

C.

D.

4.能够判定一个四边形是矩形的条件是（）

A.对角线相等B.对角线互相垂直

C.对角线相等且互相平分D.对角线互相垂直平分

5.一个四边形的对角线互相垂直，顺次连结它各边中点所得的四边形是（）

A.平行四边形B.菱形

C.矩形D.正方形

二、填空题：

1.已知矩形的面积为8cm，一边长为2cm，则矩形的对角线长为_________.

2.若一个正方形的对角线的长为2，则它的面积是_________.

3.菱形两条对角线之比为3：

4，周长为20，则面积是_________.

4.菱形是轴对称图形，它的对称轴有_________条.

5.两条对角线_________的平行四边形是矩形.

三、判断题（正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”）

（1）一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形.（）

（2）两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形.（）

（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（）

（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形.（）

（5）等边三角形是中心对称图形.（）

四、

已知：

如图，正方形ABCD和正方形AEFG.请你在图中已标明字母的点中，连结出两条新的相等线段，并证明你的结论.

（1）连结__________，则__________=__________；

（2）证明：

五、

将图

（1）中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图

（2）中的△

，除△ADC与△

全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？

请选择其中一对加以证明.

六、已知：

如图所示，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，AC上有一点E，过点A作AG⊥EB于G，AG交BD于F.

（1）求证：

OE=OF；

（2）若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？

如果成立，请给以证明；如果不成立，请说明理由.

【综合测试答案】

一、选择题：

1.C2.A3.D4.C5.C

二、填空题：

1.

cm2.23.244.25.相等

三、判断题：

1.×2.√3.√4.√5.×

四、

（1）连结BE和DG，则BE=DG

（2）证明：

在正方形ABCD和正方形AEFG中，

AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°

∴∠1=∠3

在△ABE和△ADG中

五、答：

证明：

∵四边形ABCD是矩形

∠DAC=∠BCA

由平移的性质可知：

又∵∠A=

，

六、

（1）证明：

如图所示

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO

又AG⊥EB

∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3

∴∠1=∠2

∴Rt△BOE

Rt△AOF

∴OE=OF

（2）答：

OE=OF仍然成立.

证明：

如图所示

∵四边形ABCD是正方形

∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO

又AG⊥EB

∴∠OEB+∠EAF

=∠OFA+∠FAE=90°

∴∠OEB=∠OFA

∴Rt△BOE

Rt△AOF

∴OE=OF