学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系212.docx

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学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点直线平面之间的位置关系212

2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系

学习目标

　1.了解空间中两条直线的位置关系.2.理解异面直线的概念、画法.3.理解并掌握公理4及等角定理.4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．

知识点一　空间两直线的位置关系

思考　在同一平面内，两条直线有几种位置关系？

观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？

答案　平行与相交．

教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.

梳理　异面直线的概念

（1）定义：

不同在任何一个平面内的两条直线．

（2）异面直线的画法（衬托平面法）

如图

（1）

（2）所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．

（3）判断两直线为异面直线的方法

①定义法；②两直线既不平行也不相交．

（4）空间两条直线的三种位置关系

①从是否有公共点的角度来分：

②从是否共面的角度来分：

知识点二　平行公理（公理4）

思考　在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c.该结论在空间中是否成立？

答案　成立．

梳理　平行公理的内容

（1）文字表述：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

（2）符号表示：

⇒a∥c.

知识点三　等角定理

思考　观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，

这两组角的大小关系如何？

答案　从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.

梳理　空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．

知识点四　异面直线所成的角

思考　在长方体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？

答案　相等．

梳理

定义

前提

两条异面直线a，b

作法

经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b

结论

我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）

范围

记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°.

特殊情况

当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.

类型一　异面直线的判断

例1　如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是（　　）

答案　C

解析　本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.

反思与感悟　判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．

跟踪训练1　如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？

分别是哪几对？

解　还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.

类型二　公理4及等角定理的应用

例2　已知E，E′分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点．

（1）求证：

四边形BB′E′E为平行四边形；

（2）求证：

∠BEC＝∠B′E′C′.

证明　

（1）如图所示，因为E，E′分别是AD，A′D′的中点，所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.

所以四边形AEE′A′是平行四边形．

所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.

又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′，

所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′.

所以四边形BEE′B′是平行四边形．

（2）由

（1）知，四边形BB′E′E为平行四边形，所以BE∥B′E′.

同理可证CE∥C′E′.

又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同，

所以∠BEC＝∠B′E′C′.

引申探究

本例2中取C′D′的中点G′，求证四边形ACG′E′为梯形．

证明　连接A′C′.

∵E′，G′分别为A′D′，C′D′的中点，

∴E′G′綊

A′C′.

∵AA′綊CC′，

∴四边形ACC′A′是平行四边形，

∴A′C′綊AC，∴E′G′綊

AC，

∴四边形ACG′E′是梯形．

反思与感悟　

（1）公理4的作用

公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．

（2）剖析“等角定理”

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．

②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．

③如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等．

跟踪训练2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：

△EFG∽△C1DA1.

证明　如图，连接B1C.

因为G，F分别为BC，BB1的中点，

所以GF綊

B1C.

又ABCD—A1B1C1D1为正方体，

所以CD綊AB，A1B1綊AB，

由公理4知CD綊A1B1，

所以四边形A1B1CD为平行四边形，

所以A1D綊B1C.又B1C∥FG，

由公理4知A1D∥FG.

同理可证：

A1C1∥EG，DC1∥EF.

又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，

所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.

所以△EFG∽△C1DA1.

类型三　求异面直线所成的角

例3　空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．

解　如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，

则EG綊

AB，GF綊

CD，

由AB＝CD知EG＝FG，

从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．

∵AB与CD所成角为30°，

∴∠EGF＝30°或150°，

由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，

当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，

当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，

故EF与AB所成角的大小为15°或75°.

反思与感悟　求两条异面直线所成的角的一般步骤

（1）构造角：

根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．

（2）计算角：

求角度，常利用三角形．

（3）确定角：

若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．

跟踪训练3　在空间四边形ABCD中，两条对边AB＝CD＝3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且

＝

＝

，EF＝

，求AB和CD所成角的大小．

解　如图，连接BD，过点E作AB的平行线交BD于O，连接OF.

因为EO∥AB，

所以

＝

＝

，

＝

＝

.

又因为AB＝3，所以EO＝2.

又

＝

，所以

＝

，

所以OF∥DC，所以OE与OF所成的角即为AB和CD的成的角，

＝

＝

.

因为DC＝3，所以OF＝1.

在△OEF中，OE2＋OF2＝5，EF2＝（

）2＝5，

所以OE2＋OF2＝EF2，∠EOF＝90°，

所以AB和CD所成的角为90°.

1．空间两条互相平行的直线指的是（　　）

A．在空间没有公共点的两条直线

B．分别在两个平面内的两条直线

C．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线

D．在同一平面内且没有公共点的两条直线

答案　D

解析　由平行直线的定义可得．

2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为（　　）

A．130°B．50°

C．130°或50°D．不能确定

答案　C

解析　根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.

3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（　　）

A．一定平行B．一定相交

C．一定异面D．相交或异面

答案　D

解析　画出图形，得到结论．

如图

（1），分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图

（2），分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知，应选D.

4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

（4）直线AB与直线B1C的位置关系是________．

答案　

（1）平行　

（2）异面　（3）相交　（4）异面

解析　

（1）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.

（2）直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．

（3）直线D1D与直线D1C相交于点D1.

（4）直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．

5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．

（1）求A1C1与B1C所成角的大小；

（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

解　

（1）如图所示，连接AC，AB1.

由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，

∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．

在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，

可知∠B1CA＝60°，

即A1C1与B1C所成的角为60°.

（2）如图所示，连接BD.

由

（1）知AC∥A1C1，

∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．

∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.

又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，

即A1C1与EF所成的角为90°.

1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．

2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为（0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．

作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

①直接平移法（可利用图中已有的平行线）；②中位线平移法；③补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）．

课时作业

一、选择题

1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（　　）

A．异面或平行

B．异面或相交

C．异面

D．相交、平行或异面

答案　D

解析　异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示．

2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（　　）

A．全等B．不相似

C．仅有一个角相等D．相似

答案　D

解析　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.

3．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定（　　）

A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交

C．至少与a，b中的一条相交

D．与a，b都平行

答案　C

解析　若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，故选C.

4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是（　　）

A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形

答案　B

解析　如图，易证四边形EFGH为平行四边形．

又∵E，F分别为AB，BC的中点，

∴EF∥AC.

又FG∥BD，

∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．

而AC与BD所成的角为90°，

∴∠EFG＝90°，

故四边形EFGH为矩形．

5．如图是无盖正方体纸盒的平面展开图，则直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（　　）

A．平行B．相交且垂直

C．异面D．相交成60°角

答案　D

解析　如图，连接AC，得正三角形ABC，∴AB，CD在原正方体中相交成60°角．

6.如图所示，已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定正确的是（　　）

A．l与AD平行

B．l与AB异面

C．l与CD所成角为30°

D．l与BD垂直

答案　B

解析　由l与AB既不平行也不相交，故l与AB一定互为异面直线．

7．下列四个结论中假命题的个数是（　　）

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；

②平行于同一直线的两直线平行；

③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；

④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．

A．1B．2C．3D．4

答案　B

解析　①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．

④如图甲，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；

当点A在直线l1上运动（其余三点不动）时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．

8．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

答案　C

解析　如图，连接BC1，A1C1.

∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．

在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，

∴∠A1BC1＝60°.

故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.

9.如图，在三棱锥D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于（　　）

A．30°B．45°

C．60°D．90°

答案　B

解析　如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.

∵E，F分别是为CD，AB的中点，

∴FG∥AC，EG∥BD，

且FG＝

AC，EG＝

BD.

又∵AC＝BD，∴FG＝EG，

∴∠EFG为EF与AC所成的角或其补角．

∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，

∴△EFG为等腰直角三角形，

∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.

二、填空题

10．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有______对．

答案　3

解析　PA与BC，PB与AC，PC与AB互为异面直线．∴共3对．

11．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．

答案　②④

解析　

（1）中HG∥MN，（3）中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．

12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

（1）AC与DD1所成的角为________；

（2）AC与D1C1所成的角为________．

答案　

（1）90°　

（2）45°

解析　

（1）DD1和AC是异面直线，因为AA1∥DD1，所以∠A1AC为DD1和AC所成的角．因为AA1⊥AC，所以∠A1AC＝90°，所以DD1和AC所成的角是90°.

（2）因为DC∥D1C1，所以∠ACD是AC和D1C1所成的角．又∠ACD＝45°，所以AC和D1C1所成的角是45°.

三、解答题

13．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝

，求AD与BC所成角的大小．

解　如图，取BD的中点G，连接GE，GF.

因为BE＝EA，BG＝GD，

所以GE∥AD，GE＝

AD＝1.

因为DF＝FC，DG＝GB，

所以GF∥BC，GF＝

BC＝1.

所以∠EGF（或其补角）是异面直线AD与BC所成的角．

在△GEF中，GE＝1，GF＝1，EF＝

（如图），

取EF的中点O，连接GO，

则GO⊥EF，EO＝

EF＝

.

所以sin∠EGO＝

＝

，所以∠EGO＝60°，所以∠EGF＝2∠EGO＝120°，

所以异面直线AD与BC所成的角是180°－120°＝60°.

四、探究与拓展

14．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（　　）

A．30°B．45°C．90°D．60°

答案　D

解析　连接AD1，D1C，BC1.因为M，N分别为BC和CC1的中点，所以C1B∥MN，又C1B∥AD1，所以AD1∥MN，所以∠D1AC即为异面直线AC和MN所成的角．又△D1AC是等边三角形，所以∠D1AC＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.

15.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊

AD，BE綊

FA，G、H分别为FA、FD的中点．

（1）证明：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）判断C、D、F、E四点是否共面？

为什么？

（1）证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，

可得GH綊

AD.又BC綊

AD，∴GH綊BC，

∴四边形BCHG为平行四边形．

（2）解　由BE綊

AF，G为FA的中点知，BE綊FG，

∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.

由

（1）知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．

又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．