7年级寒假班01实数的概念及数的开方教师版.docx

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7年级寒假班01实数的概念及数的开方教师版

教师

学生

课程编号

课题

初一数学寒假班（教师版）

日期

01              课型

实数的概念及数的开方

新课

教学目标

1.了解实数的意义，会按要求对实数进行分类

2.了解平方根与算数平方根的概念，理解负数没有平方根及非负数开平方的意义

3.了解立方根和开立方的概念

4.了解 n 次方根的概念和意义

教学重点

1.理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，

并能用根号加以表示

2.掌握开立方、立方根和平方根的区别

3.掌握 n 次方根基本的概念和性质

教学安排

版块时长

1

2

3

实数的概念和分类

数的开方

数的方根运算和应用

35

35

50

实数、数的开方

知识结构

模块一实数的概念和分类

知识精讲

知识点 1：

实数的概念

1、无限不循环的小数叫做无理数．

注意：

1）整数和分数统称为有理数；

2）圆周率 π是一个无理数．

2、无理数也有正、负之分．

如 2 、 π 、 0.101001000100001等这样的数叫做正无理数；

- 2 、 -π 、 -0.101001000100001这样的数叫做负无理数；

只有符号不同的两个无理数，如 2 与 - 2 ， π 与 -π ，称它们互为相反数．

3、有理数和无理数统称为实数．

（1）按定义分类

2

⎪有理数 ⎨   ⎬ 有限小数或无限循环小数

⎩无理数 → 无限不循环小数

实数 ⎨0

⎧⎧整数⎫⎪

实数 ⎨⎩分数⎪⎭

⎪

（2）按性质符号分类

⎧⎧正有理数

⎪正实数 ⎨

⎪⎩正无理数

⎪

⎪

⎪⎩负无理数

例题解析

【例1】 填空：

1、若一个数不是有理数，那这个数一定是

数；

2、 - 3正数，整数，

无理数；（填“是”或“不是”）

3、圆的周长与直径的比值

常数，

有理数，   无理数． （填“是”或“不

是”）

【难度】★

【答案】1、无理数；2、不是，不是，是；3、是，不是，是

【解析】1、实数不是无理数就是有理数；2、开方开不尽的数都是无理数；3、 π 是无限不

循环小数，为无理数．

【总结】考查实数的分类．

【例2】 已知四个命题，正确的有（）

（1）有理数与无理数之和是无理数；

（3）无理数与无理数之和是无理数；

（2）有理数与无理数之积是无理数；

（4）无理数与无理数之积是无理数．

A．1 个

B．2 个        C．3 个

D．4 个

【难度】★★

【答案】A

【解析】

（1）正确；

（2）错误，比如 0 乘以任何无理数得 0，结果为有理数；（3）错误，比

如 2 + - 2 = 0 ；（4）错误，比如 2 ⨯ 2 = 2

【总结】考查无理数与有理数的运算．

3

【例3】 判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示．

（1）实数不是有理数就是无理数．（）

（2）无理数都是无限不循环小数．（）

（3）带根号的数都是无理数．（）

（4）无理数都是无限小数．（）

（5）无理数一定都带根号．（）

（6）两个无理数之和一定是无理数．（）

（7）两个无理数之积不一定是无理数．（）

【难度】★

（（（（

【答案】

（1）√； 2）√； 3）×； 4）√； 5）×；（6）×；（7）√．

【解析】

（1）√； 2）√； 3）×，比如 4 ；（4）√ ； 5）×，比如 0.121221222；

（6）×，比如 2 + - 2 = 0 ；（7）√．

【总结】考查无理数与小数的关系，以及无理数与无理数的运算．

【例4】 把下列各数分别填到相应的数集里边．

3 27 ，2 ， -3.1415 ， π

10          7

3 ， - 3 4 ， - 2 ， -0.201010010001 ，1.732 ， - 7

有理数{}；

无理数{}；

正数{}；

负数{}．

【难度】★★

【答案】有理数{

3

7

3 ， - 2 ，1.732 }；

无理数{ 2 ， π

2 ，

10

3 ，1.732 }；

7

2

【解析】因为 3 27=3 ，所以是有理数．

【总结】考查实数的分类，注意按照要求填空．

4

模块二：

数的开方

知识精讲

一、开平方：

1、定义：

求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方．

2、如果一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做 a 的平方根．这个数 a 叫做被开方数．

如 x2 = 1 ， x = ±1 ， 1的平方根是 ±1 ．

说明：

1）只有非负数才有平方根，负数没有平方根；

2）平方和开平方互为逆运算．

3、算术平方根：

正数 a 的两个平方根可以用“ ± a ”表示，其中 a 表示 a 的正平方根（又叫算术平方

根），读 作“根号 a ”； - a 表示 a 的负平方根，读作“负根号 a ”．

★注意：

1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是 0；

2） a = 2 a ，2 是被开方数的根指数，平方根的根指数为 2，书写上一般平方根的根指数

2 略写；

3）一个数的平方根是它本身，则这个数是 0．

二、开立方：

1、定义：

求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方．

2、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“ 3 a ”表示，读作“三次根

号 a ”， 3 a 中的 a 叫做被开方数，“3”叫做根指数．

★注意：

1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根；

2）零的立方根是 0；

3）一个数的立方根是它本身，则这个数是 0，1 和-1．

三、开 n 次方：

1、求一个数 a 的 n 次方根的运算叫做开 n 次方． a 叫做被开方数， n 叫做根指数．

2、如果一个数的 n 次方（ n 是大于 1 的整数）等于 a ，那么这个数叫做 a 的 n 次方根．

3、当 n 为奇数时，这个数为 a 的奇次方根；当 n 为偶数时，这个数为 a 的偶次方根．

★注意：

5

1）实数 a 的奇次方根有且只有一个，用“ n a ”表示．其中被开方数a 是任意一个数，根指

数 n 是大于 1 的奇数；

2）正数 a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“ n a ”表示，负 n 次方根用

“ - n a ”表示．其中被开方数 a > 0 ，根指数 n 是正偶数（当 n = 2 时，在 ± n a 中省略 n ）；

3）负数的偶次方根不存在；

4）零的 n 次方根等于零，表示为 n 0 = 0 ．

例题解析

【例5】 填空：

1、一个正方形的面积为 15，则它的边长是___________；

2、一个数的算术平方根为 3 ，这个数为___________；

3、如果 a 的平方根是 a ，则 a = ______；如果 a 的算术平方根是 a ，则 a = ______．

【难度】★

【答案】1、 15 ；2、3；（3）0，0 或 1．

【解析】3 小题中注意正数的平方根有两个，互为相反数，但是 1 的算术平方根还是 1．

【总结】考查平方根、算术平方根的定义．

【例6】 下列说法中正确的是（

A．4 是 8 的算术平方根

C． 6 是 6 的平方根

）

B．16 的平方根是 4

D． -a 没有平方根

【难度】★

【答案】C

【解析】A 错误，4 是 16 的算术平方根；B 错误，16 的平方根为±4；D 错误，当a ≤ 0 时，

-a 有平方根．

【总结】考查平方根、算术平方根的定义．

【例7】 下列各式中错误的是（

）

A． ± 0.36 = ±0.6

B． 0.36 = 0.6  C． - 1.44 = -1.2

D． 1.44 = ±1.2

【难度】★

【答案】D

【解析】正确的应为 1.44 = 1.2 ．

【总结】考查开方运算的运用．

6

【例8】 若 x2 = （-0.7 ）2 ，则 x = （）

A．-0.7B．±0.7C．0.7D．0.49

【难度】★【答案】B

【解析】将 B 放入中可得等式成立．

【总结】本题实际上是求 0.49 的平方根，有两个互为相反数．

【例9】若实数 a 满足a

）

A．0B．1C．-1D． ±1

【难度】★

【答案】B

【解析】 a 为非负数且不能等于 0．

【总结】只有非负数才有算术平方根，两个数的商为 1，则说明这两个数相等．

【例10】若 -a 有意义，则 a -a 的值一定是（）

A．正数B．负数C．非正数D．非负数

【难度】★★

【答案】C

【解析】因为 -a ≥ 0 ，所以 a ≤ 0 ，所以 a -a ≤ 0 ．

【总结】本题一方面考查平方根有意义的条件，另一方面考查平方根的性质．

【例11】 

（1）若 x2 = 4 ， y2 = 9 ，则 x + y = _________；

（2） 25 的平方根是_____________，算术平方根是___________；

（3）若 x - 16 +2 y - 1 = 0 ，则 x 的平方根是．

【难度】★★

【答案】

（1）1 或 5；

（2） ± 5 ， 5 ；（3）±4．

【解析】

（1）由题意可得， x = ±2 ，y = ±3 ，∴ x + y = 1或5 ；

（2）∵ 25 = 5 ，∴ 25 的平方根是 ± 5 ，算术平方根是 5 ；

（3）由题意可得：

 ⎨1 ，所以 16 的平方根是±4．

⎩

7

【总结】本题主要考查平方根的运算和性质，注意题

（2）中实际上问的是 5 的平方根，而

不是 25 的平方根．

【例12】计算：

（I）求下列各数的平方根:

（1）0；⎛4 ⎫2（3） - 9 ；

⎝5 ⎭

（II）求下列各数的立方根：

3

（1）0.216；

（2） -3 ；

【难度】★★

【答案】（I）

（1）0；

（2） ± 9 ；

5

3

（II）

（1）0.6；

（2） - 3 ；  （3） ±5 ；

2

（4） 0.4 ．

【解析】（I）（4） （-0.25）-2 =

1

（II）（4） - （-0.064） = 0.064 ，故 0.064 的立方根是 0.4．

【总结】考查平方根、立方根的求法，注意任何一个非负数的平方根都有两个，任何一个实

数都有立方根．

【例13】

（1）若 a < 0 ，化简 a2 + 3 （-a ）3 + -a =__________________；

⎛1 ⎫2

⎝a ⎭

．

【难度】★★

1

- a

a

【答案】

（1） -3a ；

（2）．

【解析】

（1）∵ a < 0 ， ∴ a2 + 3 （-a ）3 + -a = a + （-a ） + （-a ） = （-a ） + （-a ） + （-a ） = -3a ；

（2）∵ a 是小于 1 的正数，∴ a -

1              1 2 1  1

a              a ⎭     a  a

【总结】考查平方根的运算，注意 x 2 = x 的运用．

【例14】 简答：

8

（1）已知某数的平方根是 3a - 1 与 a + 5 ，求这个数；

（2）已知 3a - 1 与 a + 5 是同一个数的平方根，求这个数．

【难度】★★

【答案】

（1）16；

（2）64 或 16.

【解析】

（1）由题意可得：

 3a - 1 + a + 5 = 0 ，∴ a = -1 ，∴ 3a - 1 = -4 ，则这个数为 16．

（2）当 3a - 1 = a + 5 时，∴ a = 3 ，∴ 3a - 1 = 8 ，则这个数为 64；

当 3a - 1 + a + 5 = 0 时，∴ a = -1 ，∴ 3a - 1 = -4 ，则这个数是 16，

故这个数为 64 或 16．

【总结】本题主要考查平方根的概念和性质，要充分理解本题的两种说法的不同，对于

（2）

要注意分类讨论．

【例15】下列说法：

①16 的 4 次方根是 2；② 4 16 的运算结果是 ±2 ；

③当n为大于 1 的奇数时， n a 对任意实数有意义；

④当 n 为大于 1 的偶数时， n a 只有 a ≥ 0 时有意义．

其中正确的是（

A．①②③

）

B．②③④          C．②③        D．③④

【难度】★★【答案】D

【解析】①错误，正确应为±2；②错误，正确应为 2；③正确；④正确；故选 D．

【总结】考查开方运算，注意偶数指数幂开方结果为两个值且被开方数为非负数．

【例16】 求下列各式的值：

121⎛ 1 ⎫-2

⎝ 4 ⎭

【难度】★★

111

【答案】

（1） ±

142

12111

【解析】

（1） ±

19614

⎛ 1 ⎫-21

⎛ 1 ⎫51

⎝ 4 ⎭32

⎝ 2 ⎭2

1

32

；  （5）6 （-8）2 ．

（5） 6 （-8）2 =

6

（23 ） = 6 26 = 2 ．

9

【总结】本题主要考查开方的运算，注意符号的变化．

【例17】 比较大小：

1.73 _____ 3 ；- 125 _____ - 126 ； - 2 _____ -2 （填“>”“<”“=”）．

【难度】★★【答案】<，>，>．

【解析】 3 ≈ 1.732 ，绝对值大的负数反而小．

【总结】本题主要考查无理数的大小比较．

【例18】 填空：

（1） 72 的整数部分是______，小数部分是_______；

（2） - 5 的整数部分是______，小数部分是_______．

（3）适合于不等式 7 < x <27 的整数 x 有

．

【难度】★★★

【答案】

（1）8， 72 - 8 ；

（2） -3 ， 3 - 5 ；（3）3、4、5．

【解析】

（1）∵ 64 < 72 < 81 ，∴整数部分为 8，小数部分为 72 - 8 ；

（2）∵ - 9 < - 5 < - 4 ，∴整数部分为 -3 ，小数部分为 3 - 5 ；

（3）∵ 7 < 9 < x <25 <27 ，所以满足题意的整数为 3、4、5．

【总结】考查无理数比较大小的运用，注意常见的平方数，例如 4、9、16、25、36、49、

64、81 等．

【例19】 填空：

（1）已知 123 = 11.09 ， a = 1.109 ， b = 1109 ，则 a = ________， b = ________；

（2）已知 6.213 ≈ 2.493 ， 62.13 ≈ 7.882 ，则 621.3 ≈ ______ ， 0.6213 ≈ ________ ；

（3）已知 3 0.23 ≈ 0.6127 ， 3 2.3 ≈ 1.320 ， 3 23 ≈ 2.844 ，则 3 230 ≈ __________，

3 -23000 ≈ ___________．

【难度】★★★

【答案】

（1）1.23，1230000； 

（2）24.93，0.7882；（3）6.127， -28.44 ．

】  ）

【解析（1 11.09 往左移动一位小数点为 1.109，则 123 中 123 往左移动两位小数点为 1.23；

10

故 a = 1.23 ，同理可得：

 b = 1230000 ；

（2） 6.213 中 6.213 往右移动两位数为 621.3 ，则 2.493 往右边移动一位数为 24.93；

则

62.13 中 62.13 往左移动两位数为 0.6213 ， 7.882 往左边移动一位数为 0.7882；

（3） 3 0.23 中 0.23 往右移动三位数为 3 230 ，则 0.6127 往右边移动一位数为 6.127；

3

23 中 23 往右移动三位数为 3 23000 ，则 2.844 往左边移动一位数为 28.44；

则 3 -23000 ≈ -28.44

【总结】本题主要考查开方运算的运用，注意观察被开方数与方根之间的小数点移动的关系．

【例20】已知 a4 = 16 ，且 a = -a ，求 9 + 4a 的平方根．

【难度】★★★

【答案】±1．

【解析】∵ a4 = 16 ，∴ a = ±2 ．∵ a = -a ，∴ a = -2 ，∴ 9 + 4a = 1 ，

所以 9 + 4a 的平方根为±1．

【总结】本题主要考查平方根的运算及运用，注意符号的要求．

【例21】若 0 < a < 1 ，且 a +

【难度】★★★

【答案】 -2 ．

1 1

a             a

的值．

⎛

⎝

1 ⎫2

⎪ = a +

a ⎭

1

a

- 2 = 4 ，  ∴ a -

1

a

= ±2 ．

∵ 0 < a < 1 ，∴ a - 1

1

a = -2 ．

【总结】本题综合性较强，主要考查完全平方公式与平方根的综合运用，注意讨论取值范围．

模块三：

数的方根运算和应用

知识精讲

11

数的方根运算：

方根的混合运算，根据方根性质判断取值范围；

应用：

与整式、分式的综合应用．

例题解析

【例22】当 x 为什么数时，下列各式有意义．

（1） 3 x ；

（2） 5 - x ；（3） 4 x + 4 ；

（4） 4 （- x ）2 ；（5） 2n 4 - x ；（6） 6 3 - 2 x ．

【难度】★

【答案】

（1） x 为任意实数；

（2） x 为任意实数；（3） x ≥ -4 ；

（4） x 为任意实数；（5） x ≤ 4 ；（6） x ≤ 3

【解析】开奇数次方的被开方数为任意实数，开偶次方的被开方数为非负数．

【总结】考查开方运算的条件．

【例23】

（1）若 -m +1

（2） x 为何值时， 2 x - 3 - 3 x + 1 + 4 4 - 2 x 有意义?

；

（3）使得6 - 2x

．

【难度】★【答案】

（1） m ≤ 0 且 m ≠ -1 ；

（2） 3

【解析】

（1）∵ -m ≥ 0 且 m + 1 ≠ 0 ，∴ m ≤ 0 且 m ≠ -1 ；

（2）∵ 2x - 3 ≥ 0 且 4 - 2x ≥ 0 ，∴ 3

（3）∵ 6 - 2x ≥ 0 且 x - 2 ≠ 0 ，∴ x ≤ 3 且 x ≠ ±2 ．

【总结】考查分式有意义的条件和开方运算有意义的条件的综合运用．

【例24】填空：

（1） -8 的立方根与 16 的平方根之和为；

（2）若 （2 x - 5）2 与y + 4 互为相反数，则 2x + y 的平方根为．

12

【难度】★★【答案】

（1） -4 或 0；

（2）±1．

【解析】

（1） -8 的立方根是 -2 ， 16 的平方根是±2，两者之和为 -4 或 0；

（2）∵ （2 x - 5）2 +y + 4 =0， ∴ 2x - 5 = 0 且 y + 4 = 0 ， ∴ x =

5

2

， y = -4 ，

∴ 2x + y = 1 ，故 2x + y 的平方根为±1．

1

【总结】本题主要考查平方根、立方根的求法和性质，注意题（）中 16 = 4 ，实质上是求

4 的平方根，而非 16；题

（2）主要是考查非负数的和为零的基本模型．

【例25】已知 A = a-2 a - 2b + 1 是 a - 2b + 1 的算术平方根， B = b+1 a + 2b 是 a + 2b 的立方根，

求 A + B 的值．

【难度】★★【答案】3．

【解析】由题意有：

 a - 2 = 2 ， b + 1 = 3 ，则 a = 4 ， b = 2 ， ∴ a - 2b + 1 = 1 ， a + 2b = 8 ．

所以 A 为 1，B 为 2，∴ A + B = 1 + 2 = 3 ．

【总结】本题主要考查平方根、立方根的综合运用．

【例26】已知

16 - m2 + 7（2 n + m）2

m + 4

= 0 ，求 m n 的值．

【难度】★★【答案】 1 ．

4

【解析】由题意可得：

 16 - m2 + 7（2n + m）2 = 0且 m + 4 ≠ 0 ，

∴ m = 4 ， n = -2 ，∴ mn = 4-2 = 1

4

．

⎪ x - 2 ≠ 0

【总结】本题一方面考查平方根的性质，另一方面考查分式值为零的条件，解题时注意从多

个角度去考虑．

【例27】若 y =x2 - 4 + 4 - x2 + 16 ，求 x2 +y 的立方根．

x - 2

【难度】★★★【答案】2．

⎧x 2 - 4 ≥ 0

⎪

【解析】由题意，可得：

 ⎨4 - x 2 ≥ 0 ， ∴ x = -2 ， y = 16 ，

⎩

∴ x2 +y = （-2）2 + 16 = 8 ，所以 x2 +y 的立方根为 2．

13

【总结】本题主要考查平方根有意义的条件及求立方根的运算的综合运用．

【例28】已知 a ，b 分别是 484，784 的算术平方根，而 c 是-343 的立方根，试求代数式

a2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ac 的值．

【难度】★★★【答案】1

【解析】由题意可得：

 a = 22 ， b = 28 ， c = -7 ，

∴ a 2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ac = （a - b - c ）2 = 1 ．

【总结】考查平方根和立方根的求法，以及公式 （a + b + c）2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac 的

综合运用．

一、填空题：

 检测

【习题1】 数 3.14 ， 2 ， π ， 0.323232

（）

， 1 ， 9 ， 2 + 1 中，无理数的个数为

7

A．2 个

B．3 个        C．4 个       D．5 个

【难度】★ 【答案】B

【解析】 2 ， π ， 2 + 1 是无理数．

【总结】考查无理数的概念．

【习题2】 填空：

（1） 81 的平方是_________， 81 的平方根是_________；

（2） （-3）2的平方根是_________， 36 的平方根是_________；

（3） 3 8 的立方根是_________， 3 （-3）2 的立方是_________；

（4）_______