7年级寒假班01实数的概念及数的开方教师版.docx
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7年级寒假班01实数的概念及数的开方教师版
教师
学生
课程编号
课题
初一数学寒假班(教师版)
日期
01 课型
实数的概念及数的开方
新课
教学目标
1.了解实数的意义,会按要求对实数进行分类
2.了解平方根与算数平方根的概念,理解负数没有平方根及非负数开平方的意义
3.了解立方根和开立方的概念
4.了解 n 次方根的概念和意义
教学重点
1.理解开平方与平方是一对互逆的运算,会用平方根的概念求某些数的平方根,
并能用根号加以表示
2.掌握开立方、立方根和平方根的区别
3.掌握 n 次方根基本的概念和性质
教学安排
版块时长
1
2
3
实数的概念和分类
数的开方
数的方根运算和应用
35
35
50
实数、数的开方
知识结构
模块一实数的概念和分类
知识精讲
知识点 1:
实数的概念
1、无限不循环的小数叫做无理数.
注意:
1)整数和分数统称为有理数;
2)圆周率 π是一个无理数.
2、无理数也有正、负之分.
如 2 、 π 、 0.101001000100001等这样的数叫做正无理数;
- 2 、 -π 、 -0.101001000100001这样的数叫做负无理数;
只有符号不同的两个无理数,如 2 与 - 2 , π 与 -π ,称它们互为相反数.
3、有理数和无理数统称为实数.
(1)按定义分类
2
⎪有理数 ⎨ ⎬ 有限小数或无限循环小数
⎩无理数 → 无限不循环小数
实数 ⎨0
⎧⎧整数⎫⎪
实数 ⎨⎩分数⎪⎭
⎪
(2)按性质符号分类
⎧⎧正有理数
⎪正实数 ⎨
⎪⎩正无理数
⎪
⎪
⎪⎩负无理数
例题解析
【例1】 填空:
1、若一个数不是有理数,那这个数一定是
数;
2、 - 3正数,整数,
无理数;(填“是”或“不是”)
3、圆的周长与直径的比值
常数,
有理数, 无理数. (填“是”或“不
是”)
【难度】★
【答案】1、无理数;2、不是,不是,是;3、是,不是,是
【解析】1、实数不是无理数就是有理数;2、开方开不尽的数都是无理数;3、 π 是无限不
循环小数,为无理数.
【总结】考查实数的分类.
【例2】 已知四个命题,正确的有()
(1)有理数与无理数之和是无理数;
(3)无理数与无理数之和是无理数;
(2)有理数与无理数之积是无理数;
(4)无理数与无理数之积是无理数.
A.1 个
B.2 个 C.3 个
D.4 个
【难度】★★
【答案】A
【解析】
(1)正确;
(2)错误,比如 0 乘以任何无理数得 0,结果为有理数;(3)错误,比
如 2 + - 2 = 0 ;(4)错误,比如 2 ⨯ 2 = 2
【总结】考查无理数与有理数的运算.
3
【例3】 判断正误,在后面的括号里对的用 “√”,错的记“×”表示.
(1)实数不是有理数就是无理数.()
(2)无理数都是无限不循环小数.()
(3)带根号的数都是无理数.()
(4)无理数都是无限小数.()
(5)无理数一定都带根号.()
(6)两个无理数之和一定是无理数.()
(7)两个无理数之积不一定是无理数.()
【难度】★
((((
【答案】
(1)√; 2)√; 3)×; 4)√; 5)×;(6)×;(7)√.
【解析】
(1)√; 2)√; 3)×,比如 4 ;(4)√ ; 5)×,比如 0.121221222;
(6)×,比如 2 + - 2 = 0 ;(7)√.
【总结】考查无理数与小数的关系,以及无理数与无理数的运算.
【例4】 把下列各数分别填到相应的数集里边.
3 27 ,2 , -3.1415 , π
10 7
3 , - 3 4 , - 2 , -0.201010010001 ,1.732 , - 7
有理数{};
无理数{};
正数{};
负数{}.
【难度】★★
【答案】有理数{
3
7
3 , - 2 ,1.732 };
无理数{ 2 , π
2 ,
10
3 ,1.732 };
7
2
【解析】因为 3 27=3 ,所以是有理数.
【总结】考查实数的分类,注意按照要求填空.
4
模块二:
数的开方
知识精讲
一、开平方:
1、定义:
求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方.
2、如果一个数的平方等于 a ,那么这个数叫做 a 的平方根.这个数 a 叫做被开方数.
如 x2 = 1 , x = ±1 , 1的平方根是 ±1 .
说明:
1)只有非负数才有平方根,负数没有平方根;
2)平方和开平方互为逆运算.
3、算术平方根:
正数 a 的两个平方根可以用“ ± a ”表示,其中 a 表示 a 的正平方根(又叫算术平方
根),读 作“根号 a ”; - a 表示 a 的负平方根,读作“负根号 a ”.
★注意:
1)一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;零的平方根是 0;
2) a = 2 a ,2 是被开方数的根指数,平方根的根指数为 2,书写上一般平方根的根指数
2 略写;
3)一个数的平方根是它本身,则这个数是 0.
二、开立方:
1、定义:
求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方.
2、如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根,用“ 3 a ”表示,读作“三次根
号 a ”, 3 a 中的 a 叫做被开方数,“3”叫做根指数.
★注意:
1)任意一个实数都有立方根,而且只有一个立方根;负数有立方根;
2)零的立方根是 0;
3)一个数的立方根是它本身,则这个数是 0,1 和-1.
三、开 n 次方:
1、求一个数 a 的 n 次方根的运算叫做开 n 次方. a 叫做被开方数, n 叫做根指数.
2、如果一个数的 n 次方( n 是大于 1 的整数)等于 a ,那么这个数叫做 a 的 n 次方根.
3、当 n 为奇数时,这个数为 a 的奇次方根;当 n 为偶数时,这个数为 a 的偶次方根.
★注意:
5
1)实数 a 的奇次方根有且只有一个,用“ n a ”表示.其中被开方数a 是任意一个数,根指
数 n 是大于 1 的奇数;
2)正数 a 的偶次方根有两个,它们互为相反数,正次方根用“ n a ”表示,负 n 次方根用
“ - n a ”表示.其中被开方数 a > 0 ,根指数 n 是正偶数(当 n = 2 时,在 ± n a 中省略 n );
3)负数的偶次方根不存在;
4)零的 n 次方根等于零,表示为 n 0 = 0 .
例题解析
【例5】 填空:
1、一个正方形的面积为 15,则它的边长是___________;
2、一个数的算术平方根为 3 ,这个数为___________;
3、如果 a 的平方根是 a ,则 a = ______;如果 a 的算术平方根是 a ,则 a = ______.
【难度】★
【答案】1、 15 ;2、3;(3)0,0 或 1.
【解析】3 小题中注意正数的平方根有两个,互为相反数,但是 1 的算术平方根还是 1.
【总结】考查平方根、算术平方根的定义.
【例6】 下列说法中正确的是(
A.4 是 8 的算术平方根
C. 6 是 6 的平方根
)
B.16 的平方根是 4
D. -a 没有平方根
【难度】★
【答案】C
【解析】A 错误,4 是 16 的算术平方根;B 错误,16 的平方根为±4;D 错误,当a ≤ 0 时,
-a 有平方根.
【总结】考查平方根、算术平方根的定义.
【例7】 下列各式中错误的是(
)
A. ± 0.36 = ±0.6
B. 0.36 = 0.6 C. - 1.44 = -1.2
D. 1.44 = ±1.2
【难度】★
【答案】D
【解析】正确的应为 1.44 = 1.2 .
【总结】考查开方运算的运用.
6
【例8】 若 x2 = (-0.7 )2 ,则 x = ()
A.-0.7B.±0.7C.0.7D.0.49
【难度】★【答案】B
【解析】将 B 放入中可得等式成立.
【总结】本题实际上是求 0.49 的平方根,有两个互为相反数.
【例9】若实数 a 满足a
)
A.0B.1C.-1D. ±1
【难度】★
【答案】B
【解析】 a 为非负数且不能等于 0.
【总结】只有非负数才有算术平方根,两个数的商为 1,则说明这两个数相等.
【例10】若 -a 有意义,则 a -a 的值一定是()
A.正数B.负数C.非正数D.非负数
【难度】★★
【答案】C
【解析】因为 -a ≥ 0 ,所以 a ≤ 0 ,所以 a -a ≤ 0 .
【总结】本题一方面考查平方根有意义的条件,另一方面考查平方根的性质.
【例11】
(1)若 x2 = 4 , y2 = 9 ,则 x + y = _________;
(2) 25 的平方根是_____________,算术平方根是___________;
(3)若 x - 16 +2 y - 1 = 0 ,则 x 的平方根是.
【难度】★★
【答案】
(1)1 或 5;
(2) ± 5 , 5 ;(3)±4.
【解析】
(1)由题意可得, x = ±2 ,y = ±3 ,∴ x + y = 1或5 ;
(2)∵ 25 = 5 ,∴ 25 的平方根是 ± 5 ,算术平方根是 5 ;
(3)由题意可得:
⎨1 ,所以 16 的平方根是±4.
⎩
7
【总结】本题主要考查平方根的运算和性质,注意题
(2)中实际上问的是 5 的平方根,而
不是 25 的平方根.
【例12】计算:
(I)求下列各数的平方根:
(1)0;⎛4 ⎫2(3) - 9 ;
⎝5 ⎭
(II)求下列各数的立方根:
3
(1)0.216;
(2) -3 ;
【难度】★★
【答案】(I)
(1)0;
(2) ± 9 ;
5
3
(II)
(1)0.6;
(2) - 3 ; (3) ±5 ;
2
(4) 0.4 .
【解析】(I)(4) (-0.25)-2 =
1
(II)(4) - (-0.064) = 0.064 ,故 0.064 的立方根是 0.4.
【总结】考查平方根、立方根的求法,注意任何一个非负数的平方根都有两个,任何一个实
数都有立方根.
【例13】
(1)若 a < 0 ,化简 a2 + 3 (-a )3 + -a =__________________;
⎛1 ⎫2
⎝a ⎭
.
【难度】★★
1
- a
a
【答案】
(1) -3a ;
(2).
【解析】
(1)∵ a < 0 , ∴ a2 + 3 (-a )3 + -a = a + (-a ) + (-a ) = (-a ) + (-a ) + (-a ) = -3a ;
(2)∵ a 是小于 1 的正数,∴ a -
1 1 2 1 1
a a ⎭ a a
【总结】考查平方根的运算,注意 x 2 = x 的运用.
【例14】 简答:
8
(1)已知某数的平方根是 3a - 1 与 a + 5 ,求这个数;
(2)已知 3a - 1 与 a + 5 是同一个数的平方根,求这个数.
【难度】★★
【答案】
(1)16;
(2)64 或 16.
【解析】
(1)由题意可得:
3a - 1 + a + 5 = 0 ,∴ a = -1 ,∴ 3a - 1 = -4 ,则这个数为 16.
(2)当 3a - 1 = a + 5 时,∴ a = 3 ,∴ 3a - 1 = 8 ,则这个数为 64;
当 3a - 1 + a + 5 = 0 时,∴ a = -1 ,∴ 3a - 1 = -4 ,则这个数是 16,
故这个数为 64 或 16.
【总结】本题主要考查平方根的概念和性质,要充分理解本题的两种说法的不同,对于
(2)
要注意分类讨论.
【例15】下列说法:
①16 的 4 次方根是 2;② 4 16 的运算结果是 ±2 ;
③当n为大于 1 的奇数时, n a 对任意实数有意义;
④当 n 为大于 1 的偶数时, n a 只有 a ≥ 0 时有意义.
其中正确的是(
A.①②③
)
B.②③④ C.②③ D.③④
【难度】★★【答案】D
【解析】①错误,正确应为±2;②错误,正确应为 2;③正确;④正确;故选 D.
【总结】考查开方运算,注意偶数指数幂开方结果为两个值且被开方数为非负数.
【例16】 求下列各式的值:
121⎛ 1 ⎫-2
⎝ 4 ⎭
【难度】★★
111
【答案】
(1) ±
142
12111
【解析】
(1) ±
19614
⎛ 1 ⎫-21
⎛ 1 ⎫51
⎝ 4 ⎭32
⎝ 2 ⎭2
1
32
; (5)6 (-8)2 .
(5) 6 (-8)2 =
6
(23 ) = 6 26 = 2 .
9
【总结】本题主要考查开方的运算,注意符号的变化.
【例17】 比较大小:
1.73 _____ 3 ;- 125 _____ - 126 ; - 2 _____ -2 (填“>”“<”“=”).
【难度】★★【答案】<,>,>.
【解析】 3 ≈ 1.732 ,绝对值大的负数反而小.
【总结】本题主要考查无理数的大小比较.
【例18】 填空:
(1) 72 的整数部分是______,小数部分是_______;
(2) - 5 的整数部分是______,小数部分是_______.
(3)适合于不等式 7 < x <27 的整数 x 有
.
【难度】★★★
【答案】
(1)8, 72 - 8 ;
(2) -3 , 3 - 5 ;(3)3、4、5.
【解析】
(1)∵ 64 < 72 < 81 ,∴整数部分为 8,小数部分为 72 - 8 ;
(2)∵ - 9 < - 5 < - 4 ,∴整数部分为 -3 ,小数部分为 3 - 5 ;
(3)∵ 7 < 9 < x <25 <27 ,所以满足题意的整数为 3、4、5.
【总结】考查无理数比较大小的运用,注意常见的平方数,例如 4、9、16、25、36、49、
64、81 等.
【例19】 填空:
(1)已知 123 = 11.09 , a = 1.109 , b = 1109 ,则 a = ________, b = ________;
(2)已知 6.213 ≈ 2.493 , 62.13 ≈ 7.882 ,则 621.3 ≈ ______ , 0.6213 ≈ ________ ;
(3)已知 3 0.23 ≈ 0.6127 , 3 2.3 ≈ 1.320 , 3 23 ≈ 2.844 ,则 3 230 ≈ __________,
3 -23000 ≈ ___________.
【难度】★★★
【答案】
(1)1.23,1230000;
(2)24.93,0.7882;(3)6.127, -28.44 .
】 )
【解析(1 11.09 往左移动一位小数点为 1.109,则 123 中 123 往左移动两位小数点为 1.23;
10
故 a = 1.23 ,同理可得:
b = 1230000 ;
(2) 6.213 中 6.213 往右移动两位数为 621.3 ,则 2.493 往右边移动一位数为 24.93;
则
62.13 中 62.13 往左移动两位数为 0.6213 , 7.882 往左边移动一位数为 0.7882;
(3) 3 0.23 中 0.23 往右移动三位数为 3 230 ,则 0.6127 往右边移动一位数为 6.127;
3
23 中 23 往右移动三位数为 3 23000 ,则 2.844 往左边移动一位数为 28.44;
则 3 -23000 ≈ -28.44
【总结】本题主要考查开方运算的运用,注意观察被开方数与方根之间的小数点移动的关系.
【例20】已知 a4 = 16 ,且 a = -a ,求 9 + 4a 的平方根.
【难度】★★★
【答案】±1.
【解析】∵ a4 = 16 ,∴ a = ±2 .∵ a = -a ,∴ a = -2 ,∴ 9 + 4a = 1 ,
所以 9 + 4a 的平方根为±1.
【总结】本题主要考查平方根的运算及运用,注意符号的要求.
【例21】若 0 < a < 1 ,且 a +
【难度】★★★
【答案】 -2 .
1 1
a a
的值.
⎛
⎝
1 ⎫2
⎪ = a +
a ⎭
1
a
- 2 = 4 , ∴ a -
1
a
= ±2 .
∵ 0 < a < 1 ,∴ a - 1
1
a = -2 .
【总结】本题综合性较强,主要考查完全平方公式与平方根的综合运用,注意讨论取值范围.
模块三:
数的方根运算和应用
知识精讲
11
数的方根运算:
方根的混合运算,根据方根性质判断取值范围;
应用:
与整式、分式的综合应用.
例题解析
【例22】当 x 为什么数时,下列各式有意义.
(1) 3 x ;
(2) 5 - x ;(3) 4 x + 4 ;
(4) 4 (- x )2 ;(5) 2n 4 - x ;(6) 6 3 - 2 x .
【难度】★
【答案】
(1) x 为任意实数;
(2) x 为任意实数;(3) x ≥ -4 ;
(4) x 为任意实数;(5) x ≤ 4 ;(6) x ≤ 3
【解析】开奇数次方的被开方数为任意实数,开偶次方的被开方数为非负数.
【总结】考查开方运算的条件.
【例23】
(1)若 -m +1
(2) x 为何值时, 2 x - 3 - 3 x + 1 + 4 4 - 2 x 有意义?
;
(3)使得6 - 2x
.
【难度】★【答案】
(1) m ≤ 0 且 m ≠ -1 ;
(2) 3
【解析】
(1)∵ -m ≥ 0 且 m + 1 ≠ 0 ,∴ m ≤ 0 且 m ≠ -1 ;
(2)∵ 2x - 3 ≥ 0 且 4 - 2x ≥ 0 ,∴ 3
(3)∵ 6 - 2x ≥ 0 且 x - 2 ≠ 0 ,∴ x ≤ 3 且 x ≠ ±2 .
【总结】考查分式有意义的条件和开方运算有意义的条件的综合运用.
【例24】填空:
(1) -8 的立方根与 16 的平方根之和为;
(2)若 (2 x - 5)2 与y + 4 互为相反数,则 2x + y 的平方根为.
12
【难度】★★【答案】
(1) -4 或 0;
(2)±1.
【解析】
(1) -8 的立方根是 -2 , 16 的平方根是±2,两者之和为 -4 或 0;
(2)∵ (2 x - 5)2 +y + 4 =0, ∴ 2x - 5 = 0 且 y + 4 = 0 , ∴ x =
5
2
, y = -4 ,
∴ 2x + y = 1 ,故 2x + y 的平方根为±1.
1
【总结】本题主要考查平方根、立方根的求法和性质,注意题()中 16 = 4 ,实质上是求
4 的平方根,而非 16;题
(2)主要是考查非负数的和为零的基本模型.
【例25】已知 A = a-2 a - 2b + 1 是 a - 2b + 1 的算术平方根, B = b+1 a + 2b 是 a + 2b 的立方根,
求 A + B 的值.
【难度】★★【答案】3.
【解析】由题意有:
a - 2 = 2 , b + 1 = 3 ,则 a = 4 , b = 2 , ∴ a - 2b + 1 = 1 , a + 2b = 8 .
所以 A 为 1,B 为 2,∴ A + B = 1 + 2 = 3 .
【总结】本题主要考查平方根、立方根的综合运用.
【例26】已知
16 - m2 + 7(2 n + m)2
m + 4
= 0 ,求 m n 的值.
【难度】★★【答案】 1 .
4
【解析】由题意可得:
16 - m2 + 7(2n + m)2 = 0且 m + 4 ≠ 0 ,
∴ m = 4 , n = -2 ,∴ mn = 4-2 = 1
4
.
⎪ x - 2 ≠ 0
【总结】本题一方面考查平方根的性质,另一方面考查分式值为零的条件,解题时注意从多
个角度去考虑.
【例27】若 y =x2 - 4 + 4 - x2 + 16 ,求 x2 +y 的立方根.
x - 2
【难度】★★★【答案】2.
⎧x 2 - 4 ≥ 0
⎪
【解析】由题意,可得:
⎨4 - x 2 ≥ 0 , ∴ x = -2 , y = 16 ,
⎩
∴ x2 +y = (-2)2 + 16 = 8 ,所以 x2 +y 的立方根为 2.
13
【总结】本题主要考查平方根有意义的条件及求立方根的运算的综合运用.
【例28】已知 a ,b 分别是 484,784 的算术平方根,而 c 是-343 的立方根,试求代数式
a2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ac 的值.
【难度】★★★【答案】1
【解析】由题意可得:
a = 22 , b = 28 , c = -7 ,
∴ a 2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ac = (a - b - c )2 = 1 .
【总结】考查平方根和立方根的求法,以及公式 (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac 的
综合运用.
一、填空题:
检测
【习题1】 数 3.14 , 2 , π , 0.323232
()
, 1 , 9 , 2 + 1 中,无理数的个数为
7
A.2 个
B.3 个 C.4 个 D.5 个
【难度】★ 【答案】B
【解析】 2 , π , 2 + 1 是无理数.
【总结】考查无理数的概念.
【习题2】 填空:
(1) 81 的平方是_________, 81 的平方根是_________;
(2) (-3)2的平方根是_________, 36 的平方根是_________;
(3) 3 8 的立方根是_________, 3 (-3)2 的立方是_________;
(4)_______