7年级寒假班01实数的概念及数的开方教师版.docx

1、7年级寒假班01实数的概念及数的开方教师版教师学生课程编号课题初一数学寒假班（教师版）日期01课型实数的概念及数的开方新课教学目标1.了解实数的意义，会按要求对实数进行分类2.了解平方根与算数平方根的概念，理解负数没有平方根及非负数开平方的意义3.了解立方根和开立方的概念4.了解n次方根的概念和意义教学重点1.理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示2.掌握开立方、立方根和平方根的区别3.掌握n次方根基本的概念和性质教学安排版块 时长123实数的概念和分类数的开方数的方根运算和应用353550实数、数的开方知识结构模块一 实数的概念和分类知识精讲知

2、识点1：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数注意：1)整数和分数统称为有理数；2)圆周率是一个无理数2、无理数也有正、负之分如2、0.101001000100001 等这样的数叫做正无理数；-2、-、-0.101001000100001 这样的数叫做负无理数；只有符号不同的两个无理数，如2与-2，与-，称它们互为相反数3、有理数和无理数统称为实数（1）按定义分类2有理数 有限小数或无限循环小数无理数无限不循环小数实数0 整数实数 分数（2）按性质符号分类 正有理数正实数 正无理数 负无理数例题解析【例1】填空：1、若一个数不是有理数，那这个数一定是数；2、-3 正数， 整数，无理数；(填“

3、是”或“不是”)3、圆的周长与直径的比值常数，有理数，无理数(填“是”或“不是”)【难度】【答案】1、无理数；2、不是，不是，是；3、是，不是，是【解析】1、实数不是无理数就是有理数；2、开方开不尽的数都是无理数；3、是无限不循环小数，为无理数【总结】考查实数的分类【例2】已知四个命题，正确的有（ ）（1）有理数与无理数之和是无理数；（3）无理数与无理数之和是无理数；（2）有理数与无理数之积是无理数；（4）无理数与无理数之积是无理数A1个B2个C3个D4个【难度】【答案】A【解析】（1）正确；（2）错误，比如0乘以任何无理数得0，结果为有理数；（3）错误，比如2+-2=0；（4）错误，比如22

4、=2【总结】考查无理数与有理数的运算3【例3】判断正误，在后面的括号里对的用“”，错的记“”表示（1）实数不是有理数就是无理数 （ ）（2）无理数都是无限不循环小数 （ ）（3）带根号的数都是无理数 （ ）（4）无理数都是无限小数 （ ）（5）无理数一定都带根号 （ ）（6）两个无理数之和一定是无理数 （ ）（7）两个无理数之积不一定是无理数 （ ）【难度】（ （ （ （【答案】（1）；2）；3）；4）；5）；（6）；（7）【解析】（1）；2）；3），比如4；（4）；5），比如0.121221222 ；（6），比如2+-2=0； （7）【总结】考查无理数与小数的关系，以及无理数与无理数的运算【

5、例4】把下列各数分别填到相应的数集里边327， 2，-3.1415，1073，-34，-2，-0.201010010001，1.732，-7有理数 ；无理数 ；正数 ；负数 【难度】【答案】有理数373，-2，1.732；无理数2，2，103，1.732；72【解析】因为327=3，所以是有理数【总结】考查实数的分类，注意按照要求填空4模块二：数的开方知识精讲一、开平方：1、定义：求一个数a的平方根的运算叫做开平方2、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根这个数a叫做被开方数如x2=1，x=1，1的平方根是1说明：1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根；2)平方和开平方互为逆运算3

6、、算术平方根：正数a的两个平方根可以用“a”表示，其中a表示a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；-a表示a的负平方根，读作“负根号a”注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；2）a=2a，2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0二、开立方：1、定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方2、如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，用“3a”表示，读作“三次根号a”，3a中的a叫做被开方数，“3”叫做根指数注意：1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根；

7、2）零的立方根是0；3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1三、开n次方：1、求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方a叫做被开方数，n叫做根指数2、如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根3、当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根注意：51）实数a的奇次方根有且只有一个，用“na”表示其中被开方数a是任意一个数，根指数n是大于1的奇数；2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“na”表示，负n次方根用“-na”表示其中被开方数a0，根指数n是正偶数（当n=2时，在na中省略n）；3）负数的偶次方根不存在；4

8、）零的n次方根等于零，表示为n0=0例题解析【例5】填空：1、一个正方形的面积为15，则它的边长是_；2、一个数的算术平方根为3，这个数为_；3、如果a的平方根是a，则a=_；如果a的算术平方根是a，则a=_【难度】【答案】1、15；2、3；（3）0，0或1【解析】3小题中注意正数的平方根有两个，互为相反数，但是1的算术平方根还是1【总结】考查平方根、算术平方根的定义【例6】下列说法中正确的是（A4是8的算术平方根C6是6的平方根）B16的平方根是4D-a没有平方根【难度】【答案】C【解析】A错误，4是16的算术平方根；B错误，16的平方根为4；D错误，当a0时，-a有平方根【总结】考查平方根

9、、算术平方根的定义【例7】下列各式中错误的是（）A0.36=0.6B0.36=0.6C-1.44=-1.2D1.44=1.2【难度】【答案】D【解析】正确的应为1.44=1.2【总结】考查开方运算的运用6【例8】若x2=(-0.7)2，则x=（ ）A-0.7 B0.7 C0.7 D0.49【难度】【答案】B【解析】将B放入中可得等式成立【总结】本题实际上是求0.49的平方根，有两个互为相反数【例9】 若实数a满足 a）A0 B1 C-1 D1【难度】【答案】B【解析】a为非负数且不能等于0【总结】只有非负数才有算术平方根，两个数的商为1，则说明这两个数相等【例10】若-a有意义，则a-a的值一

10、定是（ ）A正数 B负数 C非正数 D非负数【难度】【答案】C【解析】因为-a0，所以a0，所以a-a0【总结】本题一方面考查平方根有意义的条件，另一方面考查平方根的性质【例11】（1）若x2=4，y2=9，则x+y=_；（2）25的平方根是_，算术平方根是_；（3）若x-16+ 2y-1=0，则x的平方根是 【难度】【答案】（1）1或5；（2）5，5；（3）4【解析】（1）由题意可得，x=2，y=3，x+y=1或5；（2）25=5，25的平方根是5，算术平方根是5；（3）由题意可得： 1，所以16的平方根是47【总结】本题主要考查平方根的运算和性质，注意题（2）中实际上问的是5的平方根，而不

11、是25的平方根【例12】计算：（I）求下列各数的平方根: (1)0； 42 (3)-9； 5（II）求下列各数的立方根：3(1)0.216； (2)-3；【难度】【答案】（I）(1)0；(2)9；53（II）(1)0.6；(2)-3；(3)5；2(4)0.4【解析】（I）（4）(-0.25)-2=1（II）（4）-(-0.064)=0.064，故0.064的立方根是0.4【总结】考查平方根、立方根的求法，注意任何一个非负数的平方根都有两个，任何一个实数都有立方根【例13】（1）若a0，化简a2+3(-a)3+-a=_； 12 a【难度】1-aa【答案】（1）-3a； （2） 【解析】（1）a”

12、“”“=”）【难度】【答案】，【解析】31.732，绝对值大的负数反而小【总结】本题主要考查无理数的大小比较【例18】填空：（1）72的整数部分是_，小数部分是_；（2）-5的整数部分是_，小数部分是_（3）适合于不等式7x 27的整数x有【难度】【答案】（1）8，72-8；（2）-3，3-5；（3）3、4、5【解析】（1）647281，整数部分为8，小数部分为72-8；（2）-9-5-4，整数部分为-3，小数部分为3-5；（3）79x 25 27，所以满足题意的整数为3、4、5【总结】考查无理数比较大小的运用，注意常见的平方数，例如4、9、16、25、36、49、64、81等【例19】填空：

13、（1）已知123=11.09，a=1.109，b=1109，则a=_，b=_；（2）已知6.2132.493，62.137.882，则621.3_，0.6213_；（3）已知30.230.6127，32.31.320，3232.844，则3230_，3-23000_【难度】【答案】（1）1.23，1230000；（2）24.93，0.7882； （3）6.127，-28.44】）【解析（111.09往左移动一位小数点为1.109，则123中123往左移动两位小数点为1.23；10故a=1.23，同理可得：b=1230000；（2）6.213中6.213往右移动两位数为621.3，则2.493往

14、右边移动一位数为24.93；则62.13中62.13往左移动两位数为0.6213，7.882往左边移动一位数为0.7882；（3）30.23中0.23往右移动三位数为3230，则0.6127往右边移动一位数为6.127；323中23往右移动三位数为323000，则2.844往左边移动一位数为28.44；则3-23000-28.44【总结】本题主要考查开方运算的运用，注意观察被开方数与方根之间的小数点移动的关系【例20】已知a4=16，且a=-a，求9+4a的平方根【难度】【答案】1【解析】a4=16，a=2a=-a，a=-2，9+4a=1，所以9+4a的平方根为1【总结】本题主要考查平方根的运

15、算及运用，注意符号的要求【例21】若0a1，且a+【难度】【答案】-211aa的值12=a+a1a-2=4，a-1a=20a1，a-11a=-2【总结】本题综合性较强，主要考查完全平方公式与平方根的综合运用，注意讨论取值范围模块三：数的方根运算和应用知识精讲11数的方根运算：方根的混合运算，根据方根性质判断取值范围；应用：与整式、分式的综合应用例题解析【例22】当x为什么数时，下列各式有意义（1）3x； （2）5-x； （3）4x+4；（4）4(-x)2； （5）2n4-x； （6）63-2x【难度】【答案】（1）x为任意实数；（2）x为任意实数；（3）x-4；（4）x为任意实数；（5）x4；

16、（6）x3【解析】开奇数次方的被开方数为任意实数，开偶次方的被开方数为非负数【总结】考查开方运算的条件【例23】（1）若-m+ 1（2）x为何值时，2x-3-3x+1+44-2x有意义?；（3）使得 6-2x【难度】【答案】（1）m0且m-1；（2）3【解析】（1）-m0且m+10，m0且m-1；（2）2x-30且4-2x0，3（3）6-2x0且x-20，x3且x2【总结】考查分式有意义的条件和开方运算有意义的条件的综合运用【例24】填空：（1）-8的立方根与16的平方根之和为 ；（2）若(2x-5)2与 y+4互为相反数，则2x+y的平方根为 12【难度】【答案】（1）-4或0；（2）1【解

17、析】（1）-8的立方根是-2，16的平方根是2，两者之和为-4或0；（2）(2x-5)2+ y+4=0，2x-5=0且y+4=0，x=52，y=-4，2x+y=1，故2x+y的平方根为11【总结】本题主要考查平方根、立方根的求法和性质，注意题（）中16=4，实质上是求4的平方根，而非16；题（2）主要是考查非负数的和为零的基本模型【例25】已知A=a-2a-2b+1是a-2b+1的算术平方根，B=b+1a+2b是a+2b的立方根，求A+B的值【难度】【答案】3【解析】由题意有：a-2=2，b+1=3，则a=4，b=2，a-2b+1=1，a+2b=8所以A为1，B为2，A+B=1+2=3【总结】

18、本题主要考查平方根、立方根的综合运用【例26】已知16-m2+7(2n+m)2m+4=0，求mn的值【难度】【答案】14【解析】由题意可得：16-m2+7(2n+m)2=0且m+40，m=4，n=-2，mn=4-2=14x-20【总结】本题一方面考查平方根的性质，另一方面考查分式值为零的条件，解题时注意从多个角度去考虑【例27】若y= x2-4+4-x2+16，求x2+ y的立方根x-2【难度】【答案】2x2-40【解析】由题意，可得：4-x20，x=-2，y=16，x2+ y=(-2)2+16=8，所以x2+ y的立方根为213【总结】本题主要考查平方根有意义的条件及求立方根的运算的综合运用

19、【例28】已知a，b分别是484，784的算术平方根，而c是-343的立方根，试求代数式a2+b2+c2-2ab+2bc-2ac的值【难度】【答案】1【解析】由题意可得：a=22，b=28，c=-7，a2+b2+c2-2ab+2bc-2ac=(a-b-c)2=1【总结】考查平方根和立方根的求法，以及公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac的综合运用一、填空题：检测【习题1】数3.14，2，0.323232（ ），1，9，2+1中，无理数的个数为7A2个B3个C4个D5个【难度】【答案】B【解析】2，2+1是无理数【总结】考查无理数的概念【习题2】填空：（1）81的平方是_，81的平方根是_；（2）(-3)2的平方根是_，36的平方根是_；（3）38的立方根是_，3(-3)2的立方是_；（4）_