SARS 数学建模Word下载.docx
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4）忽略“非典病人的个体差异”，假设传染期为常数；
2早期模型建立：
假定初始时刻的病例数为N0，平均每位病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。
则在L天之内，病例数目的增长随时间t（单位天）的关系是：
N（t）=N0（1+K）t
如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。
考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。
我们采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。
为了简单起见，从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据定出）。
到达高峰期后，在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据。
二、早起模型的合理性和实用性的简评
A.早期模型的优点：
1.模型简明
本模型主要有三个参数N0、K、L，且都具有实际意义。
L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后失去传染能力，可能原因是被隔离、病愈或死去等等。
K表示某种社会条件下平均每位病人每天传播的人数（但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率）。
整个模型抓住了SARS传播过程中两个主要特征：
传染期L和传染率K，反映了SARS的传播过程。
使人很容易理解该模型。
2.模型灵活
通过调整N0、K、L值，就可以描述不同地区，不同环境下SARS的初期传播规律
3.预测准确
通过模型对北京、广东与香港的疫情进行了分析，得到的预测值与实际统计数据较接近。
可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。
B.早期模型的缺点：
1.对于如何确定对于三个参数N0、K、L，未给出一般的原则或算法，只能通过对于已发病地区的数据进行拟合得出。
按照作者的表述，K值是以病发高峰为界取各段的平均值作为传染概率，虽然简化了运算，但是在现实情况下，不同地区的K值是不同的。
在实际应用中，如果没有一定量的数据，是无法得出K值的。
在我们对该模型进行拟合事发现，对于N0、K、L作者未给出调整的标准和相关理论，所以我们很难重复该求解过程。
2.当需要对某一地区进行疫情分析时，还需考虑到该地区相对于北京、广州、香港这类人口密集，人员流动性大的城市之间的差异。
地域因素会造成不同地区的K值不同（如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，初期的K值会比人口密度和人口流动小的城市大，等等），而很难找到地域因素几乎相同的两城市。
所以此作法可能导致预测结果相差较大。
综上所述，该模型能较好的反映非典传染的特征性，具有一定的实际意义。
但是，参数的取值包含有一定的主观因素，且需要大量的数据进行拟合，且未给出调整的标准和相关理论，在实际应用中实用价值不大。
第二问，
模型一，
模型假设
1，在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，，也不考虑迁移。
人群分为易感染者和已感染者两类，时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记为s（t）和i（t）。
2，每个病人每天有效接触的平均人数是常数k，k称为日接触率。
当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染为病人。
问题分析
根据假设，可知，人群分为两类，一是健康者，二是病人，只要一类人群随时间的变化规律知道，这另一类人群也可马上求解。
由于传染病过程中通常取病人为研究对象，所以决定求解病人随时间的变化规律。
模型求解
对于t时刻，病人的增加率为Nisk，即
（1）
又因为
S（t）+i（t）=1
（2）
再令初始时刻的病人比例为i0，这
（3）
显然此为logistic模型，它的解为
（4）
参数的确定
通过对北京的累计病例数用spss进行曲线拟合，结果如下
模型汇总和参数估计值
因变量:
累计病例数
方程
模型汇总
参数估计值
R方
F
df1
df2
Sig.
常数
b1
Logistic
.926
1
63
.000
.001
.865
自变量为时间。
可得拟合的函数关系式为
，y=N*i
通过取一系列t来估计出相应的k值，结果如下
时间
20
30
40
50
60
k值大小
由图像可知，当t较大时，曲线拟合的数据与实际测量值越接近，所以就取t=60时所对应的k值，即。
此值可以近似看做当政府没有采取措施，即传染病的自然传染能力大小。
但同时根据附件1的求解方法，我们计算了4月20日到4月29日期间每日的k值大小，再求平均，得
=（消息内容请看附件1）。
对于k和
之间的差异，这是由于模型1并未考虑到政府控制前和控制后k值将改变，且k1>
k2。
所以由于
只考虑控制前，所以比k要略大，我们考虑传染病的每天平均自然传染人数时，取值为
=。
但由于此模型未考虑到病人会被治愈而成为健康者，所以在模型1的基础上进行改进，建立了模型2。
模型2
在模型1的假设条件下增加的条件为，
3，每天被治愈的病人数或死于该传染病人数占病人总数的比例为常数p。
病人治愈后由于获得了免疫能力，同时也由于心理作用，更加保护自己，所以可以假设治愈后再次感染的几率为0，且该种人群在总人群中所占有的比例为u（t）。
不难看出，考虑到假设3，模型1中的
（1）式应修改为
（5）
而且对于健康者，其增加率为
（6）
对于移出者而言，其增加率为
（7）
由于人群只由健康者，病人和移出者组成，所以
S（t）+i（t）+u（t）=1（8）
模型求解
查资料，得到2003年北京市市区总人口数目为万人
从而可以得到初始条件i0=339/（*10^（-4））=*10^（-5），s0=0.（取4月20号为初始条件）
同时根据附件2中的死亡累计和治愈累计，求得每日的移出率p，在求平均值得到
在模型一中求得
=；
将上述参数代入（5）式和（6））式，求得数值解和绘制的图像（详细内容见附件1）
由图像可得i（t）随时间的推移先逐渐变大，之后变小，趋向于0，s（t）随时间的推移而逐渐减小，根据常识，一种传染病中的病人比例最终是为0，由此模型2还是比较符合客观事实的，但从图像中大致可以判断i（t）=0时大约要经过225多天。
这与实际过程中大约经过100多天北京的sars就平息存在较大误差，仔细分析，我们发现该模型忽略了sars的潜伏期，实际上健康人与sars患者接触后虽然被感染了，但还处于潜伏期，没有传染能力。
所以将模型2进行改进，得到模型3。
模型3
1，将人群分为四类，分别为健康人群，能感染的sars病人，sars潜伏者和移出者（包括sars的死亡者和治愈者），他们在人群中的比重分别为s（t）,i（t）,w（t）,u（t）;
其中已确诊病人和sars潜伏者统称为sars病毒携带者，记为x1（t）,表示其t时刻的人数，人口总人数为N。
2，每个病人每天有效接触的平均人数是常数k，k称为日接触率。
3，sars潜伏者无传染能力，但最终会成为病人，具有传染能力。
该模型比起模型2更为复杂，在该模型中还必须将sars病毒携带者分为两类，显然增加了计算难度，在此中还应该考虑潜伏周期T。
在t时刻sars病毒携带者x1（t）=Ni（t）+Nw（t）（9）
sars病毒携带者的增长率为
（10）
健康人的增长率为
（11）
移出者的增长率为
（12）
潜伏者的增长率为
（13）
确诊病人的增长率为
（14）
除此之外，还有一条公式，为
S（t）+i（t）+w（t）+u（t）=1（15）
由（9）到（16）式联立，可得到
（16）
将（14）和（17）式联立，可得
（17）
将t-T用t代替，可得
（18）
在对（16）式两边对t进行求导，可得
（19）
结合（11），（12），（18）可求得
（20）
最终对（11），（18），（20）联立的方程组进行数值求解，可得图像如下
从图像中我们可以观察到在300多天时i（t）会接近于0，这比模型2还要久，，因此，我们还把政府的干预考虑进来，也就得到了模型4。
由于时间限制，模型4中考虑的因素更多，所以一时没能解决，也就导致了第二问实际上还不能完全解决，但是我们已经有了思路，即再引入一类人群，就是隔离人群，通过引入该人群，实际上是改变了病人的有效接触人数k，我们根据北京4月29日之后的实际数据，求得每日的k值，再求平均，得
我们想采用分段函数，即确定一个时刻t，为
值改变的时刻，在这个时刻前与后都可以适用模型3。
只是在考虑t时刻后，它的初始条件为4月29日的数据。
通过t的改变，可以解决第二问中政府早五天调控和晚五天调控的差别。
第三问
附件3：
北京市接待海外旅游人数（单位：
万人）
年
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
1997
1998
1999
21
2000
26
23
2001
28
2002
29
2003
表格1-1
建立灰色预测模型GM（1,1）
由附件3，建立1997—2002年的矩阵,计算每年的年平均值，记为
求得级比σ（i）=/（i）
对
=,=（i=2,3…6），
记
求均值数列
（k=2,3…6），
即=（…）.于是建立灰色微分方程为
（k）+a=b
1-1
相应的白化微分方程为
1-2
记u=,=,B=,则由最小二乘法，求得达到最小值的=.
于是求解方程1-1，得
则
1-3
由1-2式可以得到2003年的平均值为x，则观测2004年的总产值为X=12·
x.根据历史数据，可以统计计算出2003年第i个月的指标值占全年总值的比例为u，即
1-4
则,于是可得2003年每一个月的指标值为Y=X·
u
模型的求解：
由表格1-1的数据，可以求得年平均值、一次累加值分别为
，，，，，）
=（，，，，，）
可求得的所有级比为（,,,,）
也就是说的所有级比都在可容区域,内
取参数α=求得均值数列=（，，，，）
由1-1式进行最小二乘法拟合可得
从而得到：
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