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二、解答题：

1．浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？

1．（62.5％）

混合后酒精溶液重量为：

500+300=800（克），混合后纯酒精的含量：

500×

70％+300×

50％=350+150=500（克），混合液浓度为：

500÷

800=0.625=62.5％．

2．数一数图中共有三角形多少个？

2．（44个）

（1）首先观察里面的长方形，如图1，最小的三角形有8个，由二个小三角形组成的有4个；

由四个小三角形组成的三角形有4个，所以最里面的长方形中共有16个三角形．

（2）把里面的长方形扩展为图2，扩展部分用虚线添出，新增三角形中，最小的三角形有8个：

由二个小三角形组成的三角形有4个；

由四个小三角形组成的三角形有4个；

由八个小三角形组成的三角形有4个，所以新增28个．由

（1）、

（2）知，图中共有三角形：

16+28=44（个）．

3．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求出这个四位数．

答：

（1210和2020）

由四位数中数字0的个数与位置入手进行分析，由最高位非0，所以至少有一个数字0．若有三个数字0，第一个数字为3，则四位数的末尾一位非零，这样数字个数超过四个了．所以零的个数不能超过2个．

（1）只有一个0，则首位是1，第2位不能是0，也不能是1，；

若为2，就须再有一个1，这时由于已经有了2，第3个数字为1，末位是0；

第二个数大于2的数字不可能．

（2）恰有2个0，第一位只能是2，并且第三个数字不能是0，所以二、四位两个0，现在看第三个数字，由于第二个和第四个数字是0，所以它不能是1和3，更不能是3以上的数字，只能是2．

（0.239）

即0.2392…＜原式＜0.2397…．

奥数

（二）

1．用简便方法计算：

2．某工厂，三月比二月产量高20％，二月比一月产量高20％，则三月比一月高______％．

3．算式：

（121+122+…+170）-（41+42+…+98）的结果是______（填奇数或偶数）．

4．两个桶里共盛水40斤，若把第一桶里的水倒7斤到第2个桶里，两个桶里的水就一样多，则第一桶有______斤水．

5．20名乒乓球运动员参加单打比赛，两两配对进行淘汰赛，要决出冠军，一共要比赛______场．

6．一个六位数的各位数字都不相同，最左一位数字是3，且它能被11整除，这样的六位数中最小的是______．

7．一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上．则小圆的周长之和为______厘米．

8．某次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得8分，每做错一题倒扣5分．小宇最终得41分，他做对______题．

9．在下面16个6之间添上+、-、×

、÷

（），使下面的算式成立：

6666666666666666=1997

1．如图中，三角形的个数有多少？

2．某次大会安排代表住宿，若每间2人，则有12人没有床位；

若每间3人，则多出2个空床位．问宿舍共有几间？

代表共有几人？

3．现有10吨货物，分装在若干箱内，每箱不超过一吨，现调来若干货车，每车至多装3吨，问至少派出几辆车才能保证一次运走？

4．在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？

奥数

（二）答案

1．（1/5）

2．（44）

［1×

（1+20％）×

（1+20％）-1］÷

1×

100％=44％

3．（偶数）

在121+122+…+170中共有奇数（170+1-121）÷

2=25（个），所以121+122+…+170是25个奇数之和再加上一些偶数，其和为奇数，同理可求出在41+42+…+98中共有奇数29个，其和为奇数，所以奇数减奇数，其差为偶数．

4．（27）

（40+7×

2=27（斤）

5．（19）淘汰赛每赛一场就要淘汰运动员一名，而且只能淘汰一名．即淘汰掉多少名运动员就恰好进行了多少场比赛．即20名运动员要赛19场．

6．（301246）设这六位数是301240+a（a是个一位数），则301240+a=27385×

11+（5+a），这个数能被11整除，易知a=6．

7．（20）每个小圆的半径未知，但所有小圆直径加起来正好是大圆的直径。

所以所有小圆的周长之和等于大圆周长，即20厘米．

8．（7）假设小宇做对10题，最终得分10×

8=80分，比实际得分41分多80-41=39．这多得的39分，是把其中做错的题换成做对的题而得到的．故做错题39÷

（5+8）=3，做对的题10-3=7．

9．（6666÷

6+666+6×

6×

6+6-6÷

6-6÷

6=1997）．先用算式中前面一些6凑出一个比较接近1997的数，如6666÷

6+666=1777，还差220，而6×

6=216，这样6666÷

6=1993，需用余下的5个6出现4：

6=4，问题得以解决．

10．（110）

二、解答题

1．（22个）

根据图形特点把图中三角形分类，即一个面积的三角形，还有一类是四个面积的三角形，顶点朝上的有3个，由对称性知：

顶点朝下的也有3个，故图中共有三角形个数为16+3+3=22个．

2．（14间，40人）

（12+2）÷

（3-2）=14（间）14×

2+12=40（人）

3.

4．（4个）

这个问题依据两个事实：

（1）除2之外，偶数都是合数；

（2）九个连续自然数中，一定含有5的倍数．以下分两种情况讨论：

①九个连续自然数中最小的大于5，这时其中至多有5个奇数，而这5个奇数中一定有一个是5的倍数，即其中质数的个数不超过4个，②九个连续的自然数中最小的数不超过5，有下面几种情况：

1，2，3，4，5，6，7，8，9

2，3，4，5，6，7，8，9，10

3，4，5，6，7，8，9。

10，11

4，5，6，7，8，9，10，11，12，

5，6，7，8，9，10，11，12，13

这几种情况中，其中质数个数均不超过4．

综上所述，在九个连续自然数中，至多有4个质数．

奥数（三）

1．用简便方法计算下列各题：

（2）1997×

19961996-1996×

19971997=______；

（3）100+99-98-97+…+4+3-2-1=______．

2．右面算式中A代表______，B代表______，C代表______，D代表______（A、B、C、D各代表一个数字，且互不相同）．

3．今年弟弟6岁，哥哥15岁，当两人的年龄和为65时，弟弟______岁．

4．在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间每隔2米插一面黄旗，应准备红旗______面，黄旗______面．

5．在乘积1×

2×

3×

…×

98×

99×

100中，末尾有______个零．

6．如图中，能看到的方砖有______块，看不到的方砖有______块．

7．右图是一个矩形，长为10厘米，宽为5厘米，则阴影部分面积为______平方厘米．

8．在已考的4次考试中，张明的平均成绩为90分（每次考试的满分是100分），为了使平均成绩尽快达到95分以上，他至少还要连考______次满分．

9．现有一叠纸币，分别是贰元和伍元的纸币．把它分成钱数相等的两堆．第一堆中伍元纸币张数与贰元张数相等；

第二堆中伍元与贰元的钱数相等．则这叠纸币至少有______元．

10．甲、乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行．甲每小时走3.5千米，乙每小时走2.5千米．与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，……这只狗就这样往返于甲、乙之间直到二人相遇而止，则相遇时这只狗共跑了______千米．

1．右图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸

（1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？

（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？

说明理由．

2．将1～3000的整数按照下表的方式排列．用一长方形框出九个数，要使九个数的和等于

（1）1997

（2）2160（3）2142能否办到？

若办不到，简单说明理由．若办得到，写出正方框里的最大数和最小数．

3．甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两人要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？

4．有四条弧线都是半径为3厘米的圆的一部分，它们成一个花瓶（如图）．请你把这个花瓶切成几块，再重新组成一个正方形，并求这个正方形的面积．

奥数（三）答案

1．

（1）（24）

（2）（0）

原式=1997×

（19960000+1996）-1996×

（19970000+1997）=1997×

19960000+1997×

1996-1996×

19970000-1996×

1997=0

（3）（100）

原式=（100-98）+（99-97）+…+（4-2）+（3-1）=2×

50=100

2．（1、0、9、8）

由于被减数的千位是A，而减数与差的千位是0，所以A=1，“ABCD”至少是“ABC”的10倍，所以“CDC”至少是ABC的9倍．于是C=9．再从个位数字看出D=8，十位数字B=0．

3．（28）

（65-9）÷

2=28

4．（50、150）

40O÷

8=50，8÷

2-1=3

50=150

5．（24）

由2×

5=10，所以要计算末尾的零只需数清前100个自然数中含质因数2和5的个数，而其中2的个数远远大于5的个数，所以含5的因数个数等于末尾零的个数．

6．（36，55）

由图观察发现：

第一层能看到：

1块，第二层能看到：

2-1=3块，第三层：

2-1=5块．上面六层共能看到方砖：

1+3+5+7+9+11=36块．

而上面六层共有：

1+4+9+16+25+36=91块，所以看不到的方砖有91-36=55块．

7．（25）

8．（5）

考虑已失分情况。

要使平均成绩达到95分以上，也就是每次平均失分不多于5分．

（100-90）×

4÷

5=8（次）8-4=4次，即再考4次满分平均分可达到95，要达到95以上即需4+1=5次．

9．（280）

第一堆中钱数必为5+2=7元的倍数；

第二堆钱必为20元的倍数（因至少需5个贰元与2个伍元才能有相等的钱数）．但两堆钱数相等，所以两堆钱数都应是7×

20=140元的倍数．所以至少有2×

140=280元．

10．（25）

转换一个角度思考：

当甲、乙相会时，甲、乙和狗走路的时间都是一样的．

30÷

（3.5+2.5）=5（小时）

5×

5=25（千米）

1．

（1）在水中．

连结AP，与曲线交点数是奇数．

（2）在岸上．

从水中经过一次岸进到水中，脱鞋与穿鞋次数和为2．由于A点在水中，所以不管怎么走，走在水中时，穿鞋、脱鞋次数和为偶数，则B点必在岸上．

2．1997不可能，2160不可能．2142能．

这样框出的九个数的和一定是被框出的九个数的中间的那个数的9倍，即九个数的和能被9整除．但1997数字和不能被9整除，所以

（1）不可能．

又左右两边两列的数不能作为框出的九个数的中间一个数，即能被15整除或被15除余数是1的数，不能作为中间一个数．2160÷

9=240，又240÷

15=16，余数是零．所以

（2）不可能．

3．（0场）

四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：

甲胜1场或甲胜2场．若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，所以只可能是甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败．也就是胜0场．

4．只切两刀，分成三块重新拼合即可．

正方形面积为（2R）2=（2×

3）2=36（cm2）

奥数（四）

　　1．41.2×

8.1+11×

9.25+537×

0.19=______．

　　2．在下边乘法算式中，被乘数是______．

　　3．小惠今年6岁，爸爸今年年龄是她的5倍，______年后，爸爸年龄是小惠的3倍．

　　4．图中多边形的周长是______厘米．

　　5．甲、乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450．若它们的差最小，则两个数为______和______．

　　6．鸡与兔共有60只，鸡的脚数比兔的脚数多30只，则鸡有______只，兔有______只．

　　7．师徒加工同一种零件，各人把产品放在自己的筐中，师傅产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只筐中．徒弟产品放在2只筐中，每只筐都标明了产品数量：

78，94，86，77，92，80．其中数量为______和______2只筐的产品是徒弟制造的．

　　8．一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，每隔10分钟有一辆公共汽车超过行人，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人．如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔______分发一辆公共汽车．

　　9．一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果1997，则这个被加了两次的页码是______．

　　10．四个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有两个是奇数，两个是偶数，而且两个分母是奇数的分数之和等于两个分母是偶数的分数之和．这样的两个偶数之和至少为______．

　　1．把任意三角形分成三个小三角形，使它们的面积的比是2∶3∶5．

　　2．如图，把四边形ABCD的各边延长，使得AB=BA′，BC=CB′CD=DC′，DAAD′，得到一个大的四边形A′B′C′D′，若四边形ABCD的面积是1，求四边形A′B′C′D′的面积．

　　3．如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？

　　4．

（1）图

（1）是一个表面涂满了红颜色的立方体，在它的面上等距离地横竖各切两刀，共得到27个相等的小立方块．问：

在这27个小立方块中，三面红色、两面红色、一面红色，各面都没有颜色的立方块各有多少？

（2）在图

（2）中，要想按

（1）的方式切出120块大小一样、各面都没有颜色的小立方块，至少应当在这个立方体的各面上切几刀（各面切的刀数一样）？

　　（3）要想产生53块仅有一面涂有红色的小方块，至少应在各面上切几刀？

以下答案为网友提供，仅供参考:

　一、填空题

　　1．（537.5）

　　原式=412×

0.81+537×

0.19+11×

9.25=412×

0.81+（412+125）×

9.25

　　=412×

（0.81+0.19）+1.25×

19+11×

（1.25+8）

　　=412+1.25×

（19+11）+88=537.5

　　2．（5283）

　　从*×

9，尾数为7入手依次推进即可．

　　3．（6年）

　　爸爸比小惠大：

5-6=24（岁），爸爸年龄是小惠的3倍，也就是比她多2倍，则一倍量为：

24÷

2=12（岁），12-6=6（年）．

　　4．（14厘米）．

　　2+2+5+5=14（厘米）．

　　5．（225，150）

　　因450÷

75=6，所以最大公约数为75，最小公倍数450的两整数有75×

6，75×

1和75×

3，75×

2两组，经比较后一种差较小，即225和150为所求．

　　6．（45，15）

　　假设60只全是鸡，脚总数为60×

2=120．此时兔脚数为0，鸡脚比兔脚多120只，而实际只多30，因此差数比实际多了120-30=90

　　（只）．这因为把其中的兔换成了鸡．每把一只兔换成鸡．鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只，那么鸡脚与兔脚的差数增加了2+4=6（只），所以换成鸡的兔子有90÷

6=15（只），鸡有60-15=45（只）．

　　7．（77，92）

　　由师傅产量是徒弟产量的2倍，所以师傅产量数总是偶数．利用整数加法的奇偶性可知标明“77”的筐中的产品是徒弟制造的．利用“和倍问题”方法．徒弟加工零件是

　　（78+94+86+77+92+80）÷

（2+1）=169（只）

　　∴169-77=92（只）

　　8．（8分）

　　紧邻两辆车间的距离不变，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公汽与步行人间的距离，就是汽车间隔距离．当一辆汽车超过行人时，下一辆汽车要用10分才能追上步行人．即追及距离=（汽车速度-步行速度）×

10．对汽车超过骑车人的情形作同样分析，再由倍速关系可得汽车间隔时间等于汽车间隔距离除以5倍的步行速度．即

　　10×

4×

步行速度÷

（5×

步行速度）=8（分）

　　9．（44）

　　10．（16）

　　满足条件的偶数和奇数的可能很多，要求的是使两个偶数之和最小的那

仍为偶数，所求的这两个偶数之和一定是8的倍数．经试验，和不能是8，

　　二、解答题：

EC，则△CDE、△ACE，△ADB的面积比就是2∶3∶5．如图．

　　2．（5）

　　连结AC′，AC，A′C考虑△C′D′D的面积，由已知DA=D′A，所以S△C′D′D=2S△C′AD．同理S△C′D′D=2S△ACD，S△A′B′B=2S△ABC，而S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，所以S△C′D′D+SS△A′B′B=2S四边形ABCD．同样可得S△A′D′A+S△B′C′C=2S四边形ABCD，所以S四边形A′B′C′D′=5S四边形ABCD．

　　3．（14，10，35）

　　用甲齿、乙齿、丙齿代表三个齿轮的齿数．甲乙丙三个齿轮转数比为5∶7∶2，根据齿数与转数成反比例的关系．

　　甲齿∶乙齿=7∶5=14∶10，

　　乙齿∶丙齿=2∶7=10∶35，所以

　　甲齿∶乙齿∶丙齿=14∶10∶35

　　由于14，10，35三个数互质，且齿数需是自然数，所以甲、乙、丙三个齿轮齿数最少应分别是14，10，35．

　　4．

（1）三面红色的小方块只能在立方体的角上，故共有8块．

　　两面红色的小方块只能在立方体的棱上（除去八个角），故共有12块．

　　一面红色的小方块只能在立方体的面内（除去靠边的那些小方格），故共有6块．

（2）各面都没有颜色的小方块不可能在立方体的各面上．设大立方体被分成n3个小方块，除去位于表面上的（因而必有含红色的面）方块外，共有（n-2）3个各面均是白色的小方块．因为53=125＞120，43=64＜120，所以n-2=5，从而，n=7，因此，各面至少要切6刀．

（3）由于一面为红色的小方块只能在表面上，且要除去边上的那些方块，设立方体被分成n3个小方块，则每一个表面含有n2个小方块，其中仅涂一面红色的小方块有（n-2）2块，6面共6×

（n-2）2个仅涂一面红色的小方块．因为6×

32=54＞53，6×

22=24＜53，所以n-2=3，即n=5，故各面至少要切4刀．

奥数（五）

　　1．一个学生用计算器算题，在最后一步应除以10，错误的乘以10了，因此得出的错误答数500，正确答案应是______．

　　2．把0，1，2，…，9十个数字填入下面的小方格中，使三个算式都成立：

　　□+□=□

　　□-□=□

　　□×

□=□□

　　3．两个两位自然数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是96，这两个自然数的和是______．

　　4．一本数学辞典售价a元，利润是成本的20％，如果把利润提高到30％，那么应提高售价______元．

　　5．图中有______个梯形．

　　6．小莉8点整出门，步行去12千米远的同学家，她步行速度是每小时3千米，但她每走50分钟就要休息10分钟．则她______时到达．

　　7．一天甲、乙、丙三个同学做数学题．已知甲比乙多做了6道，丙做的是甲的2倍，比乙多22道，则他们一共做了______道数学题．

　　8．在右图的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）的面积为______．

　　9．有a、b两条绳，第一次剪去a的2/5，b的2/3；

第二次剪去a绳剩下的2/3，b绳剩下的2/5；

第三次剪去a绳剩下的2/5，b绳的剩下部分的2/3，最后a剩下的长度与b剩下的长度之比为2∶1，则原来两绳长度的比为______．

　　10．有黑、白、黄色袜子各10只，不用眼睛看，任意地取出袜子来，使得至少有两双袜子不同色，那么至少要取出______只袜子．

　　1．字母A、