解答题专项训练6文档格式.docx
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(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.
因此,事件M发生的概率P(M)=
=
.
2.某学校对学生的考试成绩作抽样调查,得到成绩的频率分布直方图如图所示,其中[70,80)对应的数值被污损,记为x.
(1)求x的值.
(2)记[90,100]为A组,[80,90)为B组,[70,80)为C组,用分层抽样的方法从[90,100],[80,90),[70,80)三个分数段的学生中抽出6人参加比赛,从中任选3人为正选队员,求正选队员中有A组学生的概率.
(1)因为(0.01×
3+0.02×
2+x)×
10=1,所以x=0.03.
(2)设从[90,100]分数段的学生中抽出m人,依题意:
m+2m+3m=6,所以m=1.所以从[80,90)中抽出的学生人数为2人,从[70,80)中抽出的学生人数为3人.
记从[90,100]中抽出的学生为a,从[80,90)中抽出的学生为b,c,从[70,80)中抽出的学生为d,e,f,
从6人中抽出3人共有:
abc,abd,abe,abf,acd,ace,acf,ade,adf,aef,bcd,bce,bcf,bde,bdf,bef,cde,cdf,cef,def,共20种,含有a的共有:
abc,abd,abe,abf,acd,ace,acf,ade,adf,aef,共10种,
所以正选队员中有A组学生的概率P=
3.[2015·
临汾模拟]某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试.这25名学生的考分编成如图所示的茎叶图,其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了(这里暂用x来表示),但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同.
(1)求这两个班学生成绩的中位数及x的值;
(2)如果将这些成绩分为优秀(得分在175分以上,包括175分)和过关,若学校再从这两个班获得优秀成绩的学生中选出3名代表学校参加比赛,求这3人中甲班至多有一人入选的概率.
(1)甲班参加测试的人数为12,其中位数为
(154+160)=157.
乙班参加测试的人数为13,
又中位数正好是150+x,故x=7.
(2)用A表示事件“甲班至多有一人入选”.
设甲班2位优秀学生为A1,A2,乙班3位优秀学生为B1,B2,B3,则从5人中选出3人有:
(A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A2,B3),(A1,B1,B2),(A1,B1,B3),(A1,B2,B3),(A2,B1,B2),(A2,B1,B3),(A2,B2,B3),(B1,B2,B3),
共10种情况,其中至多有一名甲班学生的情况有7种.
故P(A)=
4.[2015·
粤西北九校联考]某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13s与18s之间,将测试结果按如下方式分成五组:
第一组[13,14);
第二组[14,15),…,第五组[17,18].下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)若成绩大于或等于14s且小于16s认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数;
(2)设m,n表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知m,n∈[13,14)∪[17,18],求事件“|m-n|>
1”的概率.
(1)由直方图知,成绩在[14,16)内的人数为50×
0.16+50×
0.38=27(人).
∴该班在这次百米测试中成绩良好的人数为27人.
(2)由直方图知,成绩在[13,14)的人数为50×
0.06=3(人),
设x,y,z;
成绩在[17,18]的人数为50×
0.08=4(人),
设为A,B,C,D.
当m,n∈[13,14)时,有xy,xz,yz这3种情况;
当m,n∈[17,18]时,有AB,AC,AD,BC,BD,CD这6种情况;
若m,n分别在[13,14)和[17,18]内时,有下列12种情况:
D
x
xA
xB
xC
xD
y
yA
yB
yC
yD
z
zA
zB
zC
zD
∴基本事件总数为21种.记事件“|m-n|>
1”为事件E,则事件E所包含的基本事件个数有12种.(m,n分别在两组).
∴P(E)=
即事件“|m-n|>
1”的概率为
5.[2014·
广东高考]某车间20名工人年龄数据如下表:
(1)求这20名工人年龄的众数与极差;
(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;
(3)求这20名工人年龄的方差.
(1)由题表中的数据易知,这20名工人年龄的众数是30,极差为40-19=21.
(2)这20名工人年龄的茎叶图如下:
(3)这20名工人年龄的平均数
(19×
1+28×
3+29×
3+30×
5+31×
4+32×
3+40×
1)=30,
故方差s2=
[1×
(19-30)2+3×
(28-30)2+3×
(29-30)2+5×
(30-30)2+4×
(31-30)2+3×
(32-30)2+1×
(40-30)2]=
×
(121+12+3+0+4+12+100)=12.6.
6.[2015·
苏州模拟]如图是一城市某区域的街道示意图,横向、纵向分别有3、4条街道,某学校的四个大门分布在东南西北四个不同的方向(每侧街道的正中位置),A、B分别为政府和体育馆所在地.该市拟在“五一”这天举行长跑比赛:
起点A、终点B,方向为向东或向北(路线自选),王宇准备参加这次比赛.
(1)求王宇经过学校(所选路线与学校周边“有交点”即认为“经过”)的概率;
(2)求王宇恰好经过学校的两个大门的概率.
(1)依题意从A到B的任意一条路径均需完成五次位移,其中有两次向北,包含的基本事件有“A→D→B”,“A→H→J→B”,“A→H→E→G→B”,“A→H→I→F→B”,“A→K→G→B”,“A→K→E→I→F→B”,“A→K→E→J→B”,“A→L→F→B”,“A→L→I→J→B”,“A→C→B”,共10种,又“王宇不经过学校”,即“途经点C”,按“A→C→B”即可,
所以王宇经过学校的概率P1=
=0.9.
(2)因为“王宇恰好经过学校的两个大门”,则必须同时经过E、F两点.
由
(1)知事件“王宇恰好经过学校的两个大门”包含4个基本事件,
所以王宇恰好经过学校的两个大门的概率P2=
=0.4.
7.[2015·
湖南调研]某航空公司在2015年年初招收了20名空乘人员(服务员与空警),其中男性空乘人员6名,女性空乘人员14名,并对他们的身高进行了测量,他们的身高(单位:
cm)的茎叶图如图所示.公司决定:
身高在170cm以上(包含170cm)进入“国际航班”做空乘人员,身高在170cm以下进入“国内航班”做空乘人员.
(1)求“女性空乘人员”身高的中位数,“男性空乘人员”身高的方差(精确到0.01);
(2)如果用分层抽样的方法从“国际航班”和“国内航班”的空乘人员中选取5人组成反恐培训班,再从这5人中选取2人担任空警,那么空警至少有1名是来自“国内航班”的空乘人员的概率是多少?
(1)由题意知,“女性空乘人员”身高的中位数为
=172.5,
“男性空乘人员”身高的平均数为
=175+
=176,
所以“男性空乘人员”身高的方差为
s2=
(167-176)2+
(169-176)2+
(175-176)2+
(177-176)2+
(183-176)2+
(185-176)2=
(92+72+12+12+72+92)≈43.67.
(2)由题意知,每名空乘人员被抽到的概率为
,根据茎叶图知,“国际航班”的空乘人员有12人,“国内航班”的空乘人员有8人,所以反恐培训班从“国际航班”的空乘人员中抽取12×
=3人;
从“国内航班”的空乘人员中抽取8×
=2人,
记从“国际航班”的空乘人员中抽取的3人分别为A1,A2,A3,从“国内航班”的空乘人员中抽取的2人分别为B1,B2,则从这5人中选取2人的所有可能事件为(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种.
记“空警至少有1名是来自‘国内航班’的空乘人员”为事件A,则
事件A包括(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共7种情况.所以P(A)=
8.[2013·
福建高考]某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:
[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×
2列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
(附:
K2=
)
(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名.
所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有60×
0.05=3(人),记为A1,A2,A3;
25周岁以下组工人有40×
0.05=2(人),记为B1,B2.
从中随机抽取2名工人,所有的可能结果共有10种,它们是:
(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).
其中,至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率P=
(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手有60×
0.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手有40×
0.375=15(人),据此可得2×
2列联表如下:
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
25
40
30
70
100
所以得K2=
≈1.79.
因为1.79<
2.706,所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.