几种证明全等三角形添加辅助线的方法文档格式.docx
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通过学习全等三角形,提高学生观察能力和分析能力
教学过程
构造全等三角形几种方法
在几何解题中,常常需要添加辅助线构造全等三角形,以沟通题设与结论之间的联系。
现分类加以说明。
一、延长中线构造全等三角形
例1.如图1,AD是△ABC的中线,求证:
AB+AC>2AD。
证明:
延长AD至E,使AD=DE,连接CE。
如图2。
∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD。
又∵∠1=∠2,AD=DE,
∴△ABD≌△ECD(SAS)。
AB=CE。
∵在△ACE中,CE+AC>AE,
∴AB+AC>2AD。
二、沿角平分线翻折构造全等三角形
例2.如图3,在△ABC中,∠1=∠2,∠ABC=2∠C。
求证:
AB+BD=AC。
将△ABD沿AD翻折,点B落在AC上的E点处,即:
在AC上截取AE=AB,连接ED。
如图4。
∵∠1=∠2,AD=AD,AB=AE,
∴△ABD≌△AED(SAS)。
∴BD=ED,∠ABC=∠AED=2∠C。
而∠AED=∠C+∠EDC,
∴∠C=∠EDC。
所以EC=ED=BD。
∵AC=AE+EC,∴AB+BD=AC。
三、作平行线构造全等三角形
例3.如图5,△ABC中,AB=AC。
E是AB上异于A、B的任意一点,延长AC到D,使CD=BE,连接DE交BC于F。
EF=FD。
过E作EM∥AC交BC于M,如图6。
则∠EMB=∠ACB,∠MEF=∠CDF。
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB。
∴∠B=∠EMB。
故EM=BE。
∵BE=CD,∴EM=CD。
又∵∠EFM=∠DFC,∠MEF=∠CDF,
∴△EFM≌△DFC(AAS)。
四、作垂线构造全等三角形
例4.如图7,在△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC。
M是AC边的中点。
AD⊥BM交BC于D,交BM于E。
∠AMB=∠DMC。
作CF⊥AC交AD的延长线于F。
如图8。
∵∠BAC=90°
,AD⊥BM,
∴∠FAC=∠ABM=90°
-∠BAE。
∵AB=AC,∠BAM=∠ACF=90°
,
∴△ABM≌△CAF(ASA)。
∴∠F=∠AMB,AM=CF。
∵AM=CM,∴CF=CM。
∵∠MCD=∠FCD=45°
,CD=CD,
∴△MCD≌△FCD(SAS)。
所以∠F=∠DMC。
∴∠AMB=∠F=∠DMC。
五、沿高线翻折构造全等三角形
例5.如图9,在△ABC中,AD⊥BC于D,∠BAD>∠CAD。
AB>AC。
把△ADC沿高AD翻折,点C落在线段DB上的E点处,即:
在DB上截取DE=DC,连接AE。
如图10。
∴△ADC≌△ADE(SAS)。
AC=AE,∠C=∠AED。
∵∠AED>∠B,∴∠C>∠B。
从而AB>AC。
六、绕点旋转构造全等三角形
例6.如图11,正方形ABCD中,∠1=∠2,Q在DC上,P在BC上。
PA=PB+DQ。
将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°
,使AD与AB重合,得到△ABM,即:
延长CB到M,使BM=DQ,连接AM。
如图12。
∴△ABM≌△ADQ(SAS)。
∴∠4=∠2=∠1,∠M=∠AQD。
∵AB∥CD,∴∠AQD=∠BAQ=∠1+∠3=∠4+∠3=∠MAP。
∴∠M=∠MAP。
∴PA=PM=PB+BM=PB+DQ(因BM=DQ)。
【课堂练习】
1、如图,已知AD=AE,AB=AC.求证:
BF=FC
2、如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,取AB的中点E,连接CD和为CD中点求证:
CD=2CE
3、如图,△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2。
AB=AC+CD.
4、已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证:
∠B=∠C
A
B
C
D
5、已知:
如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE、CD交于点O,且AO平分∠BAC.求证:
OB=OC.
6、如图,已知C为线段AB上的一点,?
ACM和?
CBN都是等边三角形,AN和CM相交于F点,BM和CN交于E点。
?
CEF是等边三角形。
E
M
F
7、如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
8、如图10,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.
;
9、如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°
,D是斜边上AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H点,交AE于G.
BD=CG.
10、已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E。
(1)△BFC≌△DFC;
(2)AD=DE
11、已知:
BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
∠1=∠2
2
1
12、已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°
,求证:
AE=AD+BE
13、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
补充:
常见辅助线的作法有以下几种:
1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.
2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.
3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
1、如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;
AB=AC+BD
2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=
,AC=
,求AE、BE的长.
3、