用导数求切线方程的四种类型(精品).doc
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用导数求切线方程的四种类型
浙江 曾安雄
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率,其求法为:
设是曲线上的一点,则以的切点的切线方程为:
.若曲线在点的切线平行于轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为.
下面例析四种常见的类型及解法.
类型一:
已知切点,求曲线的切线方程
此类题较为简单,只须求出曲线的导数,并代入点斜式方程即可.
例1 曲线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
解:
由则在点处斜率,故所求的切线方程为,即,因而选B.
类型二:
已知斜率,求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决.
例2 与直线的平行的抛物线的切线方程是( )
A. B.
C. D.
解:
设为切点,则切点的斜率为.
.
由此得到切点.故切线方程为,即,故选D.
评注:
此题所给的曲线是抛物线,故也可利用法加以解决,即设切线方程为,代入,得,又因为,得,故选D.
类型三:
已知过曲线上一点,求切线方程
过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法.
例3求过曲线上的点的切线方程.
解:
设想为切点,则切线的斜率为.
切线方程为.
.
又知切线过点,把它代入上述方程,得.
解得,或.
故所求切线方程为,或,即,或.
评注:
可以发现直线并不以为切点,实际上是经过了点且以为切点的直线.这说明过曲线上一点的切线,该点未必是切点,解决此类问题可用待定切点法.
类型四:
已知过曲线外一点,求切线方程
此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解.
例4 求过点且与曲线相切的直线方程.
解:
设为切点,则切线的斜率为.
切线方程为,即.
又已知切线过点,把它代入上述方程,得.
解得,即.
评注:
点实际上是曲线外的一点,但在解答过程中却无需判断它的确切位置,充分反映出待定切点法的高效性.
例5 已知函数,过点作曲线的切线,求此切线方程.
解:
曲线方程为,点不在曲线上.
设切点为,
则点的坐标满足.
因,
故切线的方程为.
点在切线上,则有.
化简得,解得.
所以,切点为,切线方程为.
评注:
此类题的解题思路是,先判断点A是否在曲线上,若点A在曲线上,化为类型一或类型三;若点A不在曲线上,应先设出切点并求出切点.