届高三数学一轮复习 第7章 第3节 空间点直线平面之间的位置关系Word格式.docx

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1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．（　　）

（2）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．（　　）

（3）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．（　　）

（4）若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．（　　）

[答案]　

（1）×

（2）√　（3）×

　（4）×

2．（教材改编）如图731所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为（　　）

图731

A．30°

　　　　　　B.45°

C．60°

D.90°

C　[连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，

故∠D1B1C为所求的角，

又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°

.]

3．在下列命题中，不是公理的是（　　）

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

A　[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；

B，C，D是平面的基本性质公理．]

4．（2016·

山东高考）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；

反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.]

5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．

b与α相交或b⊂α或b∥α

平面的基本性质

　如图732，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

图732

（1）E，C，D1，F四点共面；

（2）CE，D1F，DA三线共点．

【导学号：

01772249】

[证明]　

（1）如图，连接EF，CD1，A1B.

∵E，F分别是AB，AA1的中点，

∴EF∥BA1.2分

又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面.5分

（2）∵EF∥CD1，EF<

CD1，

∴CE与D1F必相交，设交点为P，

则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，

得P∈平面ABCD.8分

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.12分

[规律方法]　1.证明线共面或点共面的常用方法：

（1）直接法：

证明直线平行或相交，从而证明线共面．

（2）纳入平面法：

先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．

（3）辅助平面法：

先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．

2．证明点共线问题的常用方法：

（1）基本性质法：

一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．

（2）纳入直线法：

选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．

[变式训练1]　

如图733所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊

AD，BE綊

FA，G，H分别为FA，FD的中点．

图733

（1）证明：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C，D，F，E四点是否共面？

为什么？

[解]　

（1）证明：

由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊

AD.2分

又BC綊

AD，

∴GH綊BC，∴四边形BCHG是平行四边形.5分

（2）C，D，F，E四点共面，理由如下：

由BE綊

AF，G为FA的中点知BE綊GF，

∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.8分

由

（1）知BG∥CH，∴EF∥CH，

∴EF与CH共面．

又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.12分

空间直线的位置关系

（1）（2015·

广东高考）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）

【导学号：

01772250】

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

（2）（2017·

郑州模拟）在图734中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________（填上所有正确答案的序号）．

①　　　　　②　　　　③　　　　④

图734

（1）D　

（2）②④　[

（1）由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．

（2）图①中，直线GH∥MN；

图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；

图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；

图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]

[规律方法]　1.异面直线的判定方法：

（1）反证法：

先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．

（2）定理：

平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．

[变式训练2]　（2017·

烟台质检）a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：

①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；

②若b⊂M，a∥b，则a∥M；

③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；

④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为（　　）

A．①④　　　　　　　B.②③

C．③④D.①②

A　[对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b⊂M，a∥b，则a∥M或a⊂M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．]

异面直线所成的角

（1）如图735，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　）

图735

A.

　　B.

C.

　　D.

（2）（2016·

全国卷Ⅰ）平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为（　　）

A.

B.

C.

D.

（1）D　

（2）A　[

（1）连接BC1，易证BC1∥AD1，

则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．

连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，

则A1C1＝

，A1B＝BC1＝

，

在△A1BC1中，由余弦定理得

cos∠A1BC1＝

＝

（2）设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.

∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.

又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，

∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.

∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，

且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，

同理可证CD1∥n.

因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即∠CD1B1为m，n所成的角．

在正方体ABCDA1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，

故直线B1D1与CD1所成角为60°

，其正弦值为

[规律方法]　1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：

利用图中已有的平行线平移；

利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；

补形平移．

2．求异面直线所成角的三个步骤：

（1）作：

通过作平行线，得到相交直线的夹角．

（2）证：

证明相交直线夹角为异面直线所成的角．

（3）求：

解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

[变式训练3]　

如图736，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．

图736

　[取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，

则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，

所以AD∥BC，

所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，

所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.

因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，

所以C1D＝

所以直线AC1与AD所成角的正切值为

所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为

[思想与方法]

1．主要题型的解题方法

（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．

（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上．

2．判定空间两条直线是异面直线的方法

（1）判定定理：

（2）反证法：

证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了转化与化归思想．

[易错与防范]

1．异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．

2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．

3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．