初中数学专题复习《数学探究性问题的探索》精品资料Word文件下载.docx

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这本次探究性活动，它的研究方法很象是学习圆和圆的位置关系，只是把一个圆变成正方形，由学生通过自己的操作、试验、观察得到几个特殊的结论，在由这几个特殊的结论继续探究出更复杂和全面结论。

让学生在操作、观察、试验、分析中得到发展。

五、“猜测、推断”型探究性问题：

这本次探究性活动，它是借助“勾股定理”做为知识基础和研究背景，先通过特殊正方形、半圆、等边三角形得到共同的结论，在拓展为一般性的结论，最后，教师给出“希波克拉蒂月牙问题”和“勾股树”让学生在数学美的氛围中思维升华。

【教学目标】

1、知识与技能目标：

（1）对基本题目进行一题多变，初步向学生渗透动态的观念，让学生渐渐的习惯于用运动的眼光看待数学问题，培养学生的发散性思维和创造性思维的能力。

（2）通过对基本题目进行挖掘与引申，使学生在探究性的学习过程中，学会解题的策略方法；

学会将知识纳入已有的知识结构中，自主地进行知识的自我建构。

2、过程与方法目标：

以相互关联的知识为主线，探究性问题为载体，渗透特殊与一般、化归的数学思想方法。

3、情感与态度目标：

使学生通过学习提高自己的数学思维能力，学会对面临的问题进行数学的思考，逐渐的提高自己的数学素养，注重培养学生合作交流的能力。

【教学策略】

根据本节课的内容特点及学生的认知特点，为使课堂生动、有趣、高效，我采用启发式教学、循序渐进的原则，采取类比、观察、讨论、归纳等方法，注重创设问题情景，充分暴露思维过程，发展学生的思维能力。

注意师生之间的情感交流，并教给学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习方法。

向学生提供更多的活动机会和空间，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。

促使学生在教师的指导下，生动活泼地、主动地、富有个性地学习。

”

【教学媒体】

本节课主要采取以学生为主体，教师为主导，课件为辅助的互动式教学模式，并借助多媒体课件《几何画板》辅助教学。

《几何画板》打破了传统的用尺规教学的方法。

它具有动态直观、数形结合、色彩鲜艳、变化无穷的特点，能极大的增强学生的学习兴趣，对成绩较差的学生更是如此。

对开发学生的智力，提高思维能力很有帮助。

特别是《几何画板》为我们创设了一个数学实验室，提供了一个理想的做数学的环境。

学生可从“听”数学转变到“做”数学，即以研究者的方式，参与包括发现、探索在内的获得知识的全过程。

【教学过程】（第一课时）

基本题目：

已知如图AB∥CD，P为任意一点，请用一个等式来表示，∠B、∠D、∠P之间的数量关系，并说明你们的理由。

变化1：

让点P动起来

在刚才的基本题目“已知AB∥CD，P为任意一点，请用一个等式来表示，∠B、∠D、∠P之间的数量关系”中，有一句话“P为任意一点”，你是怎样理解的？

引导学生，找点P的不同位置，最终可以归纳为以下几种位置：

然后学生进行分小组合作，每个小组选择一种点P的位置进行研究，然后进行成果展示。

这样做可以节省出很多时间，避免不必要的重复，可以得到事半功倍的效果。

这是一个小组交流和成果展示的过程，学生吸纳别人的优点，弥补自己的不足，在交流、认识和体验中获得知识和方法。

同时，初步向学生渗透动态的观念，让学生渐渐的习惯于用运动的眼光看待数学问题，看待实际问题，看待周围的事情。

变化2：

让点P多起来

在刚才让点P动起来的探究基础上，再对基本题目进行挖掘与引申，让点P多起来，让点P由1个变为2个，再由2个变为3个，再由3个变为4个，……逐渐增加到n个，再次让学生进行探究性学习，进一步培养和发展“探究意识”。

已知AB∥CD，P1、、P2、P3、P4、……Pn为任意n点，请用一个等式来表示，∠B、∠D、∠P1、、∠P2、∠P3、∠P4、……∠Pn之间的数量关系。

刚才的n个点都是在两线的内部，如果都在外部，情况又会怎样？

新的问题，新的挑战又摆在了学生面前。

在此过程中，使学生在探究性的学习过程中，以相互关联的知识为主线，以探究性问题为载体，学会探索规律，进行归纳，渗透特殊到一般的数学思想方法。

学会解题的策略方法；

如果上面的n个点P，一内一外交替摆放，情况又会怎样？

（本问题将作为学生的课后作业继续探究。

）

一维形数：

第1项

第2项

第3项

第4项

第5项

…

第n项

1

2

3

4

5

n

对应点组：

二维形数：

6

10

15

由此你能够看出“一维形数”与“二维形数”的内在联系吗？

三维形数：

20

35

由此你能够看出“一维形数”、“二维形数”、“三维形数”的内在联系吗？

下面又给出另一组“一维形数”：

7

9

2n－1

16

25

14

30

55

对于形数问题你有了什么更深刻的理解？

根据上面的研究，再给你一组“一维形数”，你能够得到对应的点组以及相关的“二维形数”、“三维形数”及其对应点组吗？

试一试！

４

７

１０

１３

３n－２

根据上面的研究，你对于“形数问题”有什么理解和看法，请发表一下自己的见解。

（如发展到４维、５维、…、n维；

数形结合的思想方法）

“聪明线”的定义：

如果一条线段，经过多边形的一个顶点，并且把这个多边形的面积二等分，我们就把这样的线段叫作这个多边形的“聪明线”。

如：

AD是△ABC的中线，则△ABD与△ACD等底等高，因此△ABD与△ACD的面积相等，线段AD就是△ABC的“聪明线”。

又如：

四边形ABCD，连接对角线AC，过点B作AC边的平行线交DC的延长线于点E，△ABC与△AEC等底等高，因此△ABC与△AEC的面积相等，这样四边形ABCD的面积就等于△AED的面积，再作△AED的中线AP，那么线段AP就是四边形ABCD的“聪明线”。

探究问题1：

请仿照上面找出五边形ABCDE的一条“聪明线”。

探究问题2：

请仿照上面找出六边形ABCDEF的一条“聪明线”。

探究问题3：

你能够找到n边形的一条“聪明线”吗？

你是怎么做的，请说一说。

“自由聪明线”：

点M是△ABC边上的任意一点，MN把△ABC的面积二等分，我们把这样的线段叫作△ABC的“自由聪明线”。

你知道△ABC的“自由聪明线”MN是怎样找到的吗？

对于四边形ABCD，AP是它的一条“聪明线”你能够找出四边形ABCD的一条“自由聪明线”

对于五边形ABCDE，你能够找出它的一条“自由聪明线”吗？

六边形、七边形、n边形呢？

（第二课时）

设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d．

（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：

d、a、r之间关系

公共点的个数

d＞a＋r

d＝a＋r

a－r＜d＜a＋r

d＝a－r

d＜a－r

所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有　　　　　　　　　个；

（2）如图②，当r＝a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：

a≤d＜a＋r

d＜a

所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有　　　　　　　　个；

（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r＝

a；

拓展与延伸：

经过对本题

（1）和

（2）的解决，以及（3）的铺垫，

（4）就r＞a的情形，请你仿照“当……时，⊙O与正方形的公共点个数可能有

　　个”的形式，至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论．

如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？

（1）分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？

（2）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；

（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与

（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？

证明你的结论；

（4）类比

（1）、

（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论.

（５）将原题“生长”一次，如图：

你会得到什么结论？

再“生长”一次呢？

一棵美丽的“勾股树”

（６）古希腊“希波克拉蒂月牙问题”　：

分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，围成两个月牙，那么这两个月牙的面积和等于什么？

五、感悟与收获：

由学生谈体会、说感想、讲收获，学生相互补充，自我反思。

（这里包括具体知识、解题方法、思考方式、行为习惯、研究态度、观点信念等）

【课后留疑】

１、如果上面的n个点P，一内一外交替摆放，情况又会怎样？

（注意奇偶性）

这样做的主要目的是，让学生带着问题来，带着问题走，也是本节课探究性学习的一种延伸和继续。

留给学生课下自主探究的空间。

2、问题背景：

某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：

1如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°

，则BM=CN.

2

如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°

则BM=CN.

然后运用类比的思想提出了如下的命题：

3

如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°

，则BM=CN.

任务要求

（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；

（2）请你继续完成下面的探索：

1如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立？

（不要求证明）

2如图5，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当∠BON=108°

时，请问结论BM=CN是否还成立？

若成立，请给予证明；

若不成立，请说明理由.

3、如图⑴凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点。

1在图⑶正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β。

2在图⑷四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出做法）。

3若四边形ABCD有二个半等角点P1、P2（如图⑵），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点。

D

C

A

４．仿照例题，填写下表，并且给出相应的图形表示：

5.对于五边形ABCDE，你能够找出它的一条“自由聪明线”吗？