双十字相乘法.doc

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双十字相乘法

分解形如ax^2＋bxy＋cy^2＋dx＋ey＋f的二次六项式在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。

则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）

　　例：

3x^2＋5xy－2y^2＋x＋9y－4＝（x＋2y－1）（3x－y＋4）

　　因为3＝1×3，－2＝2×（－1），－4＝（－1）×4，

　　而1×（－1）＋3×2＝5，2×4＋（－1）（－1）＝9，1×4＋3×（－1）＝1

双十字相乘的迁移

分解二次五项式

　　要诀：

把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，

　　例：

ab＋b^2＋a－b－2

　　＝0×1×a^2＋ab＋b^2＋a－b－2

　　＝（0×a＋b＋1）（a＋b－2）

　　＝（b＋1）（a＋b－2）

分解四次五项式

　　提示：

设x^2＝y，用拆项法把cx^2拆成mx^2与ny之和。

　　例：

2x^4＋13x^3＋20x^2＋11x＋2

　　＝2y^2＋13xy＋15x^2＋5y＋11x＋2

　　＝（2y＋3x＋1）（y＋5x＋2）

　　＝（2x^2＋3x＋1）（x^2＋5x＋2）

　　＝（x+1）（2x+1）（x^2＋5x＋2）

　　简单来说：

　　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式．

　　例如，分解因式2x^2-7xy-22y^2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

　　2x^2-（5+7y）x-（22y^2-35y+3），

　　可以看作是关于x的二次三项式．

　　对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

　　即

　　-22y^2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．

　　再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

　　所以

　　原式=〔x+（2y-3）〕〔2x+（-11y+1）〕

　　=（x+2y-3）（2x-11y+1）．

　　（x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2；

　　（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；

　　（2y-3）（-11y+1）=-22y^2+35y-3．

　　这就是所谓的双十字相乘法．

　　用双十字相乘法对多项式ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

（1）用十字相乘法分解ax^2+bxy+cy^2，得到一个十字相乘图（有两列）；

（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

　　2．求根法

　　我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f（x），g（x），…等记号表示，如

　　f（x）=x^2-3x+2，g（x）=x^5+x^2+6，…，

　　当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示．如对上面的多项式f（x）

　　f

（1）=12-3×1+2=0；

　　f（-2）=（-2）^2-3×（-2）+2=12．

　　若f（a）=0，则称a为多项式f（x）的一个根．

　　定理1（因式定理）若a是一元多项式f（x）的根，即f（a）=0成立，则多项式f（x）有一个因式x-a．

　　根据因式定理，找出一元多项式f（x）的一次因式的关键是求多项式f（x）的根．对于任意多项式f（x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f（x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根