四边形综合自用专题训练Word文件下载.docx
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④当x=0或x=10时,都有△PQR∽△CBO;
⑤当x=
时,△PQR与△CBO一定相似.
正确的共有 .
三.解答题(共28小题)
3.(2014•临沂)
【问题情境】
如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)证明:
AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?
若成立,请给出证明;
若不成立,请说明理由.
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,探究展示
(1)、
(2)中的结论是否成立?
请分别作出判断,不需要证明.
4.(2014•成都)如图,矩形ABCD中,AD=2AB,E是AD边上一点,DE=
AD(n为大于2的整数),连接BE,作BE的垂直平分线分别交AD,BC于点F,G,FG与BE的交点为O,连接BF和EG.
(1)试判断四边形BFEG的形状,并说明理由;
(2)当AB=a(a为常数),n=3时,求FG的长;
(3)记四边形BFEG的面积为S1,矩形ABCD的面积为S2,当
=
时,求n的值.(直接写出结果,不必写出解答过程)
5.(2014•衢州)提出问题:
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,H分别在BC,AB上,若AE⊥DH于点O,求证:
AE=DH;
类比探究:
(2)如图2,在正方形ABCD中,点H,E,G,F分别在AB,BC,CD,DA上,若EF⊥HG于点O,探究线段EF与HG的数量关系,并说明理由;
综合运用:
(3)在
(2)问条件下,HF∥GE,如图3所示,已知BE=EC=2,EO=2FO,求图中阴影部分的面积.
6.(2014•南通)如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E为AB上一点,AE=1,M为射线AD上一动点,AM=a(a为大于0的常数),直线EM与直线CD交于点F,过点M作MG⊥EM,交直线BC于点G.
(1)若M为边AD中点,求证△EFG是等腰三角形;
(2)若点G与点C重合,求线段MG的长;
(3)请用含a的代数式表示△EFG的面积S,并指出S的最小整数值.
7.(2014•山西)课程学习:
正方形折纸中的数学.
动手操作:
如图1,四边形ABCD是一张正方形纸片,先将正方形ABCD对折,使BC与AD重合,折痕为EF,把这个正方形展平,然后沿直线CG折叠,使B点落在EF上,对应点为B′.
数学思考:
(1)求∠CB′F的度数;
(2)如图2,在图1的基础上,连接AB′,试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系,并说明理由;
解决问题:
(3)如图3,按以下步骤进行操作:
第一步:
先将正方形ABCD对折,使BC与AD重合,折痕为EF,把这个正方形展平,然后继续对折,使AB与DC重合,折痕为MN,再把这个正方形展平,设EF和MN相交于点O;
第二步:
沿直线CG折叠,使B点落在EF上,对应点为B′,再沿直线AH折叠,使D点落在EF上,对应点为D′;
第三步:
设CG、AH分别与MN相交于点P、Q,连接B′P、PD′、D′Q、QB′,试判断四边形B′PD′Q的形状,并证明你的结论.
8.(2014•潍坊)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE、BF,交点为G.
(1)求证:
AE⊥BF;
(2)将△BCF沿BF对折,得到△BPF(如图2),延长FP到BA的延长线于点Q,求sin∠BQP的值;
(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转,使边AB正好落在AE上,得到△AHM(如图3),若AM和BF相交于点N,当正方形ABCD的面积为4时,求四边形GHMN的面积.
9.(2014•咸宁)如图,正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上,点B的坐标为(﹣4,4).点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动;
点Q从点O同时出发,以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时,点Q也停止运动.连接BP,过P点作BP的垂线,与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E,连接PE.设点P运动的时间为t(s).
(1)∠PBD的度数为 ,点D的坐标为 (用t表示);
(2)当t为何值时,△PBE为等腰三角形?
(3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化?
若变化,说明理由;
若不变,试求这个定值.
10.(2014•盐城)
【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:
如图1,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.求证:
PD+PE=CF.
小军的证明思路是:
如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:
小俊的证明思路是:
如图2,过点P作PG⊥CF,垂足为G,可以证得:
PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF.
【变式探究】如图3,当点P在BC延长线上时,其余条件不变,求证:
PD﹣PE=CF;
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:
【结论运用】如图4,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值;
【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图.在四边形ABCD中,E为AB边上的一点,ED⊥AD,EC⊥CB,垂足分别为D、C,且AD•CE=DE•BC,AB=2
dm,AD=3dm,BD=
dm.M、N分别为AE、BE的中点,连接DM、CN,求△DEM与△CEN的周长之和.
11.(2014•烟台)在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.
(1)如图①,当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由;
(2)如图②,当E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,
(1)中的结论还成立吗?
(请你直接回答“是”或“否”,不须证明)
(3)如图③,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,
(1)中的结论还成立吗?
请说明理由;
(4)如图④,当E,F分别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最小值.
12.(2014•威海)猜想与证明:
如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B、C、G三点在一条直线上,CE在边CD上,连接AF,若M为AF的中点,连接DM、ME,试猜想DM与ME的关系,并证明你的结论.
拓展与延伸:
(1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM和ME的关系为 .
(2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上,点M仍为AF的中点,试证明
(1)中的结论仍然成立.
13.(2014•绥化)在菱形ABCD和正三角形BGF中,∠ABC=60°
,P是DF的中点,连接PG、PC.
(1)如图1,当点G在BC边上时,易证:
PG=
PC.(不必证明)
(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,线段PC、PG有怎样的数量关系,写出你的猜想,并给与证明;
(3)如图3,当点F在CB的延长线上时,线段PC、PG又有怎样的数量关系,写出你的猜想(不必证明).
14.(2014•温州)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(0,6).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点C从点B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动,以CP,CO为邻边构造▱PCOD,在线段OP延长线上取点E,使PE=AO,设点P运动的时间为t秒.
(1)当点C运动到线段OB的中点时,求t的值及点E的坐标;
(2)当点C在线段OB上时,求证:
四边形ADEC为平行四边形;
(3)在线段PE上取点F,使PF=1,过点F作MN⊥PE,截取FM=2,FN=1,且点M,N分别在一,四象限,在运动过程中,设▱PCOD的面积为S.
①当点M,N中有一点落在四边形ADEC的边上时,求出所有满足条件的t的值;
②若点M,N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部(不包括边界)时,直接写出S的取值范围.
15.(2014•青岛)已知:
如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=12cm,BD=16cm.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;
同时,直线EF从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为1cm/s,EF⊥BD,且与AD,BD,CD分别交于点E,Q,F;
当直线EF停止运动时,点P也停止运动.连接PF,设运动时间为t(s)(0<t<8).解答下列问题:
(1)当t为何值时,四边形APFD是平行四边形?
(2)设四边形APFE的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使S四边形APFE:
S菱形ABCD=17:
40?
若存在,求出t的值,并求出此时P,E两点间的距离;
若不存在,请说明理由.
16.(2014•日照一模)已知,如图1,矩形ABCD中,AD=6,DC=8,矩形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上,AH=2,连接CF.
(1)如图2,当四边形EFGH为正方形时,求CF的长和△FCG的面积;
(2)如图1,设AE=x,三角形FCG的面积=y,求与x之间的函数关系式与y的最大值;
(3)当△CGF是直角三角形时,求x和y值.
17.(2014•福州模拟)如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°
,AB=7,AD=4,CA=5,动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;
同时点P以相同的速度,从点C沿折线C→D→A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD,与线段CD交于点E,与折线A﹣C﹣B的交点为Q,设点M的运动时间为t.
(1)当点P在线段CD上时,CE= ,CQ= ;
(用含t的代数式表示);
(2)在
(1)的条件下,如果以C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形,求t的值;
(3)当点P运动到线段AD上时,PQ与AC交于点G,若S△PCG:
S△CQG=1:
3,求t的值.
18.(2014•温岭市模拟)如图1,点P为四边形ABCD所在平面上的点,如果∠PAD=∠PBC,则称点P为四边形ABCD关于A、B的等角点,以点C为坐标原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,点B的横坐标为﹣6.
(1)如图2,若A、D两点的坐标分别为A(﹣6,4)、D(0,4),点P在DC边上,且点P为四边形ABCD关于A、B的等角点,则点P的坐标为 ;
(2)如图3,若A、D两点的坐标分别为A(﹣2,4)、D(0,4).
①若P在DC边上时,则四边形ABCD关于A、B的等角点P的坐标为 ;
②在①的条件下,将PB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<6)得到线段P′B′,连接P′D,B′D,试用含m的式子表示P′D2+B′D2,并求出使P′D2+B′D2取得最小值时点P′的坐标;
③如图4,若点P为四边形ABCD关于A、B的等角点,且点P坐标为(1,t),求t的值;
④以四边形ABCD的一边为边画四边形,所画的四边形与四边形ABCD有公共部分,若在所画的四边形内存在一点P,使点P分别是各相邻两顶点的等角点,且四对等角都相等,请直接写出所有满足条件的点P的坐标.
19.(2014•江干区一模)如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E、F分别从C、A两点同时出发,以相同的速度作直线运动.已知点E沿射线CB运动,点F沿边BA的延长线运动,连结DF、DE、EF,EF与对角线AC所在的直线交于点M,DE交AC于点N.
DE⊥DF;
(2)设CE=x,△AMF的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)随着点E在射线CB上运动,NA•MC的值是否会发生变化?
若不变,请求出NA•MC的值;
若变化,请说明理由.
20.(2014•南平模拟)在四边形ABCD中,点M、N分别在AB、BC上,且MN=AM+CN,
(1)如图1,若四边形ABCD为正方形,通过测量、推理、猜想:
∠MDN= °
;
(2)如图2,若AB∥CD,AD=DC,∠A=∠B,探究:
∠MDN与∠ADC之间有怎样的数量关系?
请说明理由:
;
(3)如图3,若AB与CD不平行,AD=DC,要使得
(2)中的结论仍然成立,∠A与∠C之间应满足什么条件?
(直接回答,不需证明)
21.(2014•平房区三模)等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°
,BC=2AB,P是BC的中点,∠MPN=60°
,PM与直线AB交于点M,与直线AD交于点N.
(1)如图一,当点M、N分别在线段AB、AD上时,求证:
AM+AN=
BC.
(2)如图二,当点M、N分别在线段AB、AD的延长线上时,请直接写出线段AM、AN、BC的关系式.
(3)在
(2)的条件下,MP交AD于点E,PN交CD于点F,连结EF,若AE:
DE=1:
2,EF=2
,求BN的长.
22.(2014•长宁区二模)在△ABC中,已知BA=BC,点P在边AB上,联结CP,以PA、PC为邻边作平行四边形APCD,AC与PD交于点E,∠ABC=∠AEP=α(0°
<α<90°
).
(1)如图
(1),求证:
∠EAP=∠EPA;
(2)如图
(2),若点F是BC中点,点M、N分别在PA、FP延长线上,且∠MEN=∠AEP,判断EM和EN之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图(3),若DC=1,CP=3,在线段CP上任取一点Q,联结DQ,将△DCQ沿直线DQ翻折,点C落在四边形APCD外的点C′处,设CQ=x,△DC′Q与四边形APCD重合部分的面积为y,写出y与x的函数关系式及定义域.
23.(2013•天门模拟)如图1,P为正方形ABCD边BC上任一点,BG⊥AP于点G,在AP的延长线上取点E,使AG=GE,连接BE,CE.
BE=BC;
(2)如图2,∠CBE的平分线交AE于N点,连接DN,求证:
BN+DN=
AN.
24.(2013•西青区二模)将矩形纸片ABCD放在平面直角坐标系中,点A在y轴正半轴上,点B与点O重合(O为原点),点C在x轴正半轴上.若将矩形纸片折叠,使B落在边AD(含端点)上,落点记为E,这时折痕与边BC或者边CD(含端点)交于F,然后展开铺平,则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.
(Ⅰ)如图
(1),根据“折痕三角形”的定义请你判断矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”的形状(不需要证明);
(Ⅱ)如图
(2),在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时,画出这个“折痕△BEF”,并求出点F的坐标;
(Ⅲ)如图(3),在矩形ABCD中,AB=2,BC=4.该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”?
若存在,说明理由,并求出此时点E的坐标;
若不存在,也请你说明理由.
25.(2013•怀柔区二模)如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,连结AM、CM.
(1)当M点在何处时,AM+CM的值最小;
(2)当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为
时,求正方形的边长.
26.(2011秋•城阳区期末)如图,在直角梯形ABCD中,CD⊥AD,BC∥AD,AD=AB=10cm,BC=4cm.点P自点D出发以每秒1cm的速度沿DA向点A移动,点Q自点A出发以每秒
cm的速度沿AB向点B移动,点P、Q同时出发,当点P到达点A时,点Q随之停止.设点P、Q运动的时间为t(s)(o≤t≤10).
(1)求CD的长;
(2)在点P、Q的运动过程中,设△PAQ的面积为y,求y与t的函数关系式;
(3)在运动过程中,△PAQ的面积能否是梯形ABCD面积的
?
若能,求出t的值;
若不能,请说明理由;
(4)t为何值时,△PAQ是直角三角形.
27.(2014春•铜陵期末)如图,在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG(BE<AB),连接EG并延长交DC于点M,作MN⊥AB,垂足为N,MN交BD于点P,设正方形ABCD的边长为1.
四边形MPBG是平行四边形;
(2)设BE=x,四边形MNBG的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)如果按题设作出的四边形BGMP是菱形,求BE的长.
28.(2014春•黄陂区期末)四边形ABCD为矩形,G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点E.
(1)如图1,若AB=BC,BF∥DE,且交AG于点F,求证:
AF﹣BF=EF;
(2)如图2,在
(1)条件下,AG=
BG,求
(3)如图3,连EC,若CG=CD,DE=2,GE=1,则CE= (直接写出结果)
29.(2014春•重庆期末)如图(Ⅰ),分别以△ABC的边AC和BC为边,向△ABC外作正方形ACE1F1和正方形BCE2F2,过点C作直线PQ交AB于H,使∠AHP=∠ACE1,过E1作E1M⊥PQ于M,过E2作E2N⊥PQ于N,连接AE1.
(1)若∠ACH=60°
,CH=2cm,求AE1的长;
(2)求证:
ME1=NE2;
(3)若将图(Ⅰ)中的两个正方形改为两个等边三角形,过点C作直线P1Q1和P2Q2分别交AB于H1和H2,使∠AH1P1=∠ACE1,∠BH2P2=∠BCE2,同样过E1作E1M⊥P1Q1于M,过E2作E2N⊥P2Q2于N,如图(Ⅱ),请你猜想
(2)的结论是否成立?
若成立,请你给出证明;
若不成立,请你说明理由.
30.(2014春•泰兴市校级期中)如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标为(6,6),将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α(0°
),得到正方形CDEF,ED交线段AB于点G,ED的延长线交线段OA于点H,连CH、CG.
△CBG≌△CDG;
(2)求∠HCG的度数;
并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系,说明理由;
(3)连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD,在旋转过程中,四边形AEBD能否为矩形?
如果能,请求出点H的坐标;
如果不能,请说明理由.