五升六暑期奥数培训教材Word文件下载.docx
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3+37×
0.125
（3）7.24×
1+0.5×
72。
4+0。
049×
724
（4）6。
49×
0.22+258×
0649+5。
3×
49+64。
0.19
【例2】:
（２+0.48+0。
82）×
（0.48+0。
82+0。
56）-（2+0。
48+0.56）×
（0。
48+0.82）
思路导航：
整个式子是乘积之差的形式,它们构成很有规律,如果把２+0。
48+0.82用A表示，把0。
48+0。
82用B表示，则原式化为A×
（B+0.56）—（A+0.56）×
B，再利用乘法分配律计算，大大简化了计算过程.
解：
设A=２+0.48+0。
82B=0。
48+0.82，
原式=A×
B
=A×
B+A×
56-（A×
B+0.56×
B）
=A×
56-A×
B—0。
56×
=0。
（A—B）
2
=1.12
同步导练二：
（1）（3。
7+4.8+5。
9）×
（4.8+5。
9+7）-（3.7+4.8+5.9+7）×
（4。
8+5.9）
（2）（4.6+4.8+7.1）×
（4.8+7。
1+6）-（4.6+4.8+7。
1+6）×
8+7。
1）
【例三】:
计算76.8÷
14
这道题是乘除同级运算，解答时,利用添括号法则,在“÷
"
后面添括号，括号里面要变号，“×
”变“÷
”，“÷
”变“×
”。
不过，同学们请注意，这种方法只适用于乘、除同级运算。
解：
76。
8÷
=76。
（56÷
14）
=76。
4
=19.2
同步导练三:
（1）144÷
15。
6×
13
（2）
（3）
【例四】：
0。
999×
0.7+0。
111×
3。
7
思路导航：
本类题可以将原式进行合理的等值变形后，再运用适当的方法进行简便运算
=0。
7+0。
3.7
=0.111×
6.3+0。
7
（6。
3+3。
7）
10
=1。
11
同步导练四:
（1）0。
6+0.111×
3.6
（2）0.222×
0.778+0。
444×
0.111
（3）0.888×
0.9+0.222×
4（4）0。
5。
5+0。
555×
0.9
下面有两个小数：
a=0.00…0125b=0。
00…08
1996个02000个0
试求a+b，a-b，ab，ab。
一个量可以用它的等量来代替；
被减数和减数都增加（或减少）同一个数,它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位:
厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积.
分析与解:
阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积.因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×
2÷
2=17（厘米2）。
所以，阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米.已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积.
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后,根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于
10×
2+10=50（厘米2）。
例3在右图中，AB=8厘米,CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长.
求ED的长，需求出EC的长；
求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变,所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说,只要求出梯形ABCD的面积,就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长,从而求出ED的长。
梯形ABCD面积=（8+4）×
6÷
2=36（厘米2）,
三角形ECB面积=36—18=18（厘米2），
EC=18÷
2=6（厘米），
ED=6-4=2（厘米）。
例4下页上图中,ABCD是7×
4的长方形，DEFG是10×
2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。
分析：
直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到.如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。
解法一:
连结B,E（见左下图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。
所求为4×
（10—7）÷
2-2×
（10-7）÷
2=3。
解法二：
连结C，F（见右上图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。
2—2×
解法三：
延长BC交GF于H（见下页左上图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。
所求为（4+2）×
（10—7）=3.
解法四：
延长AB，FE交于H（见右上图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。
（10—7）—（10-7）×
（4+2）÷
2=3.
例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系.连结AD（见右上图）,可以看出,三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长，所以面积相等。
因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变性质,剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。
根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×
4÷
2=8（厘米2）。
练习：
1。
右上图（单位：
厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起,求阴影部分的面积。
2。
下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米,三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2,求ED的长。
6。
右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。
影部分的面积和。
第3讲年龄问题
从不变中找规律
每个人的年龄年年都在增加,但人与人之间的年龄差永远不会改变,解答年龄问题一定要抓住年龄差这一不变量，从中寻找规律，解决问题。
综合起来看问题
年龄问题经常与和差、和倍、差倍问题等综合出现，解答时，一定要从多种角度分析，可以巧妙地将年龄问题转化成我们已学过的知识进行解答。
可以利用直观图法帮助分析数量关系
1、今年姐姐14岁，妹妹9岁，当姐妹二人年龄和是39岁时,妹妹多少岁?
2、2007年张叔叔45岁，小明9岁.张叔叔的年龄是小明年龄的4倍时应该是那一年？
3、爷爷和孙子今年的年龄和为66岁,如果再过3年后,爷爷的年龄恰好是孙子年龄的7倍,爷爷和孙子今年各多少岁?
4、奶奶比孙子大60岁，奶奶与孙子的年龄和为72岁，那么再过多少年后,奶奶的年龄是孙子的7倍。
5、今年爸爸和女儿的年龄之和是38岁，如果给女儿加上4岁，爸爸的年龄正好为女儿的5倍，爸爸和女儿各多少岁？
6、李楠家共三口人：
爸爸、妈妈和李楠，爸爸比妈妈大1岁,妈妈比李楠大25岁,又过了四年后,全家三口人的年龄和为84岁，今年李楠家的人各是多少岁？
7、甲对乙说：
“我今年年龄是你今年年龄的2倍。
”乙对甲说：
“我6年后的年龄和你10年前的年龄一样。
”问甲、乙今年各是多少岁？
8、今年父亲的年龄为儿子年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子年龄的2倍,问今年儿子多少岁？
9、爷爷和爸爸的年龄差是小明年龄的3倍，爷爷比爸爸与小明的年龄和大18岁.小明今年多少岁？
10、爷爷比爸爸大26岁，妈妈比小明也大26岁。
已知他们四人今年的年龄和是126岁,而5年前的年龄和为107岁.问爷爷与小明的年龄之差是多少岁？
11、小军的年龄和小红现在的年龄一样时的那一年,小红8岁；
小红的年龄和小军现在的年龄一样时的那一年，小军20岁。
小红现在多少岁?
12、1994年父与子的年龄和是36岁，2000年父亲的年龄是儿子年龄的3倍。
问父亲年龄是儿子年龄两倍时是哪一年？
第8讲：
分解质因数
专题分析：
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做质因数。
可以通过分解质因数的方法来启发我们的思维.
【例1】把18个苹果平均分成若干份，每份大于1，小于18。
一共有多少种不同分法?
练习:
1、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多余15人,有哪几种分法?
2、195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，一共有几种分发？
3、甲数比乙数大9,两个数的积是792,求甲、乙两数各是多少？
【例2】、写出若干个连续的自然数,使它的积是15120.
1、有一个长方体,它的长宽高是一个连续的自然数,且体积是39270立方厘米，求这个长方体的表面积。
2、有4个孩子,恰好一个比一个大1岁,4人的年龄积是3024。
问这4个孩子各是多少岁？
3、四个连续的奇数的积是19305。
这四个数各是多少？
【例3】、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等.
2、5、14、24、27、55、56、99
把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的乘积相等.
【例4】、王老师带领同学去植树,如果王老师和学生每人植树一样多,那么他们一共植了539棵。
这个班有多少个学生？
每人植树多少棵？
1、植树节，老师带领同学去植树，已知老师和学生每人植树的棵数相等，一共植了111棵。
求有多少个同学?
2、小青去看电影,他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6，小青买的电影票是几排几号？
3、把一篮苹果分给4人，使4人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数的乘积是1920。
这篮苹果有多少个？
第9讲：
最小公倍数
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数.其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数.记住以下公式：
最大公因数×
最小公倍数＝这两个数的积.
【例1】、两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90。
求这两个数分别是多少？
1、两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90。
2、两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60。
求这两个数的和是多少?
3、两个数的和是52，它们的最大公约数是4,最小公倍数是144。
【例2】：
甲乙丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次，甲3天去1次，乙4天去1次，丙5天去1次.有一天三人恰好在图书馆相会。
问至少再过多少天他们又在图书馆相会？
1、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆,而5路车每隔20分钟发一辆。
当这三路车同时发车后,至少要过多少分钟又有这三条线路的车同时发车？
2、甲乙丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步,甲跑一圈用120秒,乙跑一圈用80秒,丙跑一圈用100秒。
问：
再过多少时间三人第二次同时从起点出发?
3、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷。
二班的同学每隔6天去看一次,三班的同学每两周去看一次。
如果“六、一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次同一天去看张爷爷？
第10讲还原问题
例1．甲、乙、丙三个组共有图书90本,如果乙组向甲组借3本后,又送给丙组5本，结果三个组所有图书的本数刚好相等。
甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本？
分析：
例2．甲、乙两个车站共停了195辆汽车,如果从甲站开到乙站36辆,又从乙站开出45辆汽车，这时乙站停了汽车辆数是甲站的2倍。
原来甲、乙两站各停放多少辆汽车？
例3、一筐鱼连筐重122千克，卖出一半鱼后，再卖出剩下的鱼的地半，这时连筐还重35千克。
原来筐和鱼各重多少千克？
练习与思考
1．小亮在计算一道除法题的时候，把除数36写成62，结果重到的商是30余12.正确的商应该是多少？
2．小明在做一道减法题的时候，把被减数个位上的4错写成7,把十位的1错写成5，把百位上的3错写成2,这样，他算得的差是143。
正确的差应该是多少？
3．小兰问一位老师今年多大年纪，老师说:
“把我的年龄除以6后加上14，再乘以3,最后减去27,是33岁.”这位老师多少岁？
4．操场上放了一些花盆，第一次搬走了全部的一半多8盆,第二次搬走了余下的一半少4盆，将剩下了摆成6排，每排恰好放2盆.原来有多少个花盆？
5．甲、乙、丙三个小朋友共有年历片120张,如果甲给乙13张,乙给丙23张后，他们每人的张数相等。
原来三人各有年历片几张?
6．甲、乙、丙共有72元钱,甲拿出与乙同样多的钱给乙，乙再拿出与丙同样多的钱给丙，这时三人的钱数同样多.甲、乙、丙三人原来各有多少钱？
7．甲、乙两个车站共停了90辆汽车，如果从乙站开到甲站12辆汽车，又从甲站开出30辆汽车,这时甲站停的汽车辆数是乙站的3倍.原来甲、乙两站各停了多少辆汽车？
8．甲、乙两个车站共停了90辆汽车,如果从甲站开到乙站38辆汽车后,乙站开到甲站14辆，这时两站停的汽车辆数相等。
两站原来各停了多少辆汽车？
9．某车间分成甲、乙两个组，因生产需要,把甲组工人的一半调到乙组去了，后来改变工作程序，又把乙组工人中的25人调到了甲组,这时甲组有45人，乙组有22人。
甲、乙两个组原来各有多少人？
10．一个水桶里面装有水,连桶称是5千克,把水加到原来的4倍，连桶称是11千克。
桶里原来有多少千克水？
桶有多重？
第11讲周期问题
【例】1．10个2连乘的积的个位数是几？
【例】2．1998年元旦是星期四，1999年元旦是星期几？
【例3】．黑珠、白珠共185个串成一串,排列如图：
○●○○○●○○○●○○○……最后一个是什么颜色的?
这一串共有多少个白珠，多少个黑珠？
【例4】．把自然数按下图的规律排列后，分成A、B、C、D、E五类，例如,4在D类，10在B类。
那么，1998在哪一类？
【例5】有一个1111位的数，各位数字都是1,这个数除以6余数是几？
商的末位数字是几？
【例6】2001年10月1日是星期一,那么，2002年1月1日是星期几？
1．42个8连乘以积的个位数是几？
2．99个999连乘，所得积的个位数字是几？
3．1988年2月1日是星期日,1992年2月1日是星期几？
1998年2月1日呢?
4．如果时钟现在表示的时间是18时整,那么,分针旋转1990圈以后是几时？
5．黑珠、白珠共150个串成一串，排列如图:
○●●○○●●○○●●○○……
最后一个是什么颜色的?
这一串共有多少个白珠，多少个黑珠?
6．英文字母A、B、C、D探险BCDABAACDABAACDABAACD…排列，共250个字母，最后一个字母是什么?
A、B、C、D各多少个？
7．按表中的顺序排下去，数“1998”在下面两个表中各出现在哪个字母的位置上？
8．一个200位的数，每位上的数字都是3，用它除以7,余数是几？
9．3×
…×
3共85个3相乘，加上4×
4共80个4相乘，它们和的个位数是几?
专题解析:
鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题.许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。
【例1】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。
小梅家的鸡与兔各有多少只?
【例2】：
100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍.问：
大、小和尚各有多少人?
【例3】：
彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。
问:
两种文化用品各买了多少套?
例4：
鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。
鸡、兔各多少只?
例5：
现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。
大、小瓶各有多少个？
本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。
例6：
一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。
已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
例7：
乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0。
24元,但如果发生损坏,那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1。
26元，结果搬运站共得运费115.5元。
搬运过程中共打破了几只花瓶？
例8：
小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟,一共跳了780下.已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
练习
1．鸡、兔共有头100个,脚350只,鸡、兔各有多少只?
2．学校有象棋、跳棋共26副,2人下一副象棋,6人下一副跳棋,恰好可供120个学生进行活动。
象棋与跳棋各有多少副?
3．班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。
活页簿每本1.9元,日记本每本3。
1元.问:
买活页簿、日记本各几本?
4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。
龟、鹤各几只？
5．小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。
贺年卡每张3元5角,明信片每张2元5角。
贺年卡、明信片各买了几张?
6．一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵.问：
这几天中共有几个雨天?
7．振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。
做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。
小建得了60分，那么他做对了几道题？
8．有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。
已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？
9．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.问:
每种小虫各有几只？
10．鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。
鸡、兔各几只？
人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题.
【例1】小朋友分糖果,若每人分4粒则多9粒；
若每人分5粒则少6粒。
有多少个小朋友分多少粒糖？
【例2】小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；
有多少个小朋友?
多少粒糖果？
【小结】:
由例1、例2看出，所谓盈亏问题,就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。
解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：
分配总人数=盈亏总额÷
两次分配数之差。
需要注意的是,两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏"
、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。
【例3】小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完;
若每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。
有多少粒糖果？
【例4】一批小朋友去买东西，若每人出10元则多8元；
若每人出7元则少4元。
有多少个小朋友？
东西的价格是多少？
【例5】顾老师到新华书店去买书，若买5本则多3元;
若买7本则少1。
8元。
这本书的单价是多少？
顾老师共带了多少元钱？
例6王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元;
若买5把，则所带的钱还差30元.问:
儿童小提琴多少钱一把？
王老师带了多少钱？
1．小朋友分糖果,每人3粒，余30粒；
每人5粒,少4粒。
多少粒糖？
2．一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运3500千克,那么货物还剩下5000千克；
如果每辆汽车运4000千克,那么货物还剩下500千克.问：
这个汽车队有多少辆汽车?
要运的货物有多少千克?
3．学校买来一批图书.若每人发9本，则少25本；
若每人发6本,则少7本。
有多少个学生？
买了多少本图书？
4．参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔.如果每人分4支,那么多12支；
如果每人分8支，那么恰有1人没分到笔。
有多少同学？
多少支彩色笔?
5．红星小学去春游。
如果每辆车坐60人，那么有15人上不了车；
如果每辆车多坐5人，那么恰好多出一辆车.问：
有多少辆车?
多少个学生？
6．某数的8倍减去153，比其5倍多66,求这个数。
7．某厂运来一批煤，如果每天烧1500千克,那么比原计划提前一天烧完；
如果每天烧1000千克，那么将比原计划多用一天。
现在要求按原计划烧完，那么每天应烧煤多少千克？
8．同学们为学校搬砖,每人搬18块，还余2块；
每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。
共有砖多少块?
有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件适当转化，就露出了盈亏问题的“真相"
。
【例1】某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；
如果减少一条船,那么每条船就要坐9人。
学生有多少人？
【例2】少先队员植树，如果每人挖5个坑,那么还有3个坑无人挖；
如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完.问：
一共要挖几个坑?
【例3】在桥上用绳子测桥离水面的高度。
若把绳子对折垂到水面，则余8米;
若把绳子三折垂到水面,则余2米。
桥有多高?
绳子有多长?
【例4】有若干个苹果和若干个梨.如果按每1个苹果配
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