中考复习讲义2方程与不等式.doc

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教学内容方程与不等式

【中考回顾】

2011

4.不等式x+2＞0，的解集在数轴上表示正确的是

x－1≤2

B

2012

7、如图函数和的图象相交于A（m,3）,则不等式的解集为

A．B． C． D．

A

2013

3、方程（x-2）（x+3）=0的解是

A.x=2B.x=C.x1=，x2=3D.x1=2，x2=

D

6.不等式组的最小整数解为

A.B.0C.1D.2

B

2014

10、不等式组的所有整数解的和是.

-2

2015.不等式组的解集在数轴上表示为（）

-5

2

0

-5

2

0

-5

2

0

-5

2

0

C

D

B

A

C【解析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示.由不等式x+5≥0，解得：

x≥－5；

由不等式3-x>1，解得：

x＜2，则该不等式组的解集为－5≤x＜2，故C选项符合.

19.（9分）已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=|m|.

（1）求证：

对于任意实数m，方程总有两个不想等的实数根；

（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根.

（1）【分析】先化简一元二次方程，列出根的判别式，再根据绝对值为非负数，得到根的判别式与0的大小关系即可得证

.

（2）【分析】当x=1时，代入原方程得到的值，根据绝对值的非负性，得到m有两个值，再分别代入原方程进行求解.

【知识点梳理】

考点一、一元一次方程

1.方程

含有未知数的等式叫做方程.

2.方程的解

能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.

3.等式的性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.

4.一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项.

5.一元一次方程解法的一般步骤

整理方程——去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1——（检验方程的解）.

解一元一次方程的一般步骤

步骤

名称

方法

依据

注意事项

1

去分母

在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）

等式性质2

1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.

2

去括号

去括号法则（可先分配再去括号）

乘法分配律

注意正确的去掉括号前带负数的括号

3

移项

把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）

等式性质1

移项一定要改变符号

4

合并同类项

分别将未知项的系数相加、常数项相加

1、整式的加减；

2、有理数的加法法则

单独的一个未知数的系数为“±1”

5

系数化为“1”

在方程两边同时除以未知数的系数（或方程两边同时乘以未知数系数的倒数）

等式性质2

不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）

*6

检根

x=a

方法：

把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果.

①　若左边＝右边，则x=a是方程的解；

②　若左边≠右边，则x=a不是方程的解.

注：

当题目要求时，此步骤必须表达出来.

说明：

（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；

（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；

（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.

考点二、一元二次方程

1.一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式

，它的特征是：

等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.

3.一元二次方程的解法

（1）直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.

开平方法步骤

适用无一次项的方程

（2）配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.

配方法步骤①移项：

左边只留二次项和一次项，右边为常数项（移项要变号）

②同除：

方程两边同除二次项系（每项都要除）

③配方：

方程两边加上一次项系数一半的平方

④开平方：

注意别忘根号和正负

⑤解方程：

解两个一元一次方程

（3）公式法

公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.

一元二次方程的求根公式：

公式法步骤

①将方程化为一般式

②写出a、b、c

③求出，

④若b2-4ac＜0，则原方程无实数解

⑤若b2-4ac＞0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式求解

⑥若b2-4ac＝0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式求解。

（4）因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法步骤①移项：

使方程右边为0

②因式分解：

将方程左边因式分解；

适用能因式分解的方程

方法：

一提，二套，三十字，四分组

③由A∙B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程

4.一元二次方程根的判别式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.

5.一元二次方程根与系数的关系

如果方程的两个实数根是，那么，.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

要点诠释：

一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.

考点三、分式方程

1.分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程.

2.解分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：

①去分母，方程两边都乘以最简公分母；

②解所得的整式方程；

③验根：

将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.

3.分式方程的特殊解法

换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.

要点诠释：

解分式方程时，求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.

考点四、二元一次方程（组）

1.二元一次方程

含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是

ax+by=c（a≠0，b≠0）.

2.二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.

3.二元一次方程组

两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

4.二元一次方程组的解

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.

5.二元一次方程组的解法

①代入消元法；②加减消元法.

6.三元一次方程（组）

（1）三元一次方程

把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.

（2）三元一次方程组

由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.

要点诠释：

二元一次方程组的解法：

消元：

将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.

（1）代入消元法：

将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

（2）加减消元法：

当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.

考点五、不等式（组）

1.不等式的概念

（1）不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.

（2）不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.

求不等式的解集的过程，叫做解不等式.

2.不等式基本性质

性质1：

不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a>b，那么a±c>b±c．

性质2：

不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a>b，c>0，那么ac>bc（或>）．

性质3：

不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a>b，c<0，那么ac）．

不等式的其他性质：

①若a>b，则bb，b>c，则a>c；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a≤0，则a=0．

3.一元一次不等式

（1）一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.

（2）一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.

4.一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.

（2）一元一次不等式组的解法

①分别求出不等式组中各个不等式的解集；

②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.

要点诠释：

用符号“＜”“＞”“≤”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.

由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．

不等式组

（其中a

图示

解集

口诀

x≥b

同大取大

x≤a

同小取小

a≤x≤b

大小、小大中间找

空集

小小、大大找不到

【典型例题】

类型一：

一元一次方程

【例1】

关于x的一元一次方程（k2－1）xk－1+（k－1）x－8=0的解为_____．

【分析】由一元一次方程的定义可知，原方程是一元一次方程，则有两种情况，①当k－1=1，即k=2时，原方程3x+x－8=0，解之得x=2②当k2－1=0且k－1≠0时，也就是当k=－1时，原方程化为－2