M04pptConvertorWord文档格式.docx
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若买,每天最多买多少?
可聘用临时工人,付出的工资最多是每小时几元?
A1的获利增加到30元/公斤,应否改变生产计划?
每天:
x1桶牛奶生产A1
x2桶牛奶生产A2
获利24×
3x1
获利16×
4x2
原料供应
劳动时间
加工能力
决策变量
目标函数
每天获利
约束条件
非负约束
线性规划模型(LP)
模型分析与假设
比例性
可加性
连续性
xi对目标函数的“贡献”与xi取值成正比
xi对约束条件的“贡献”与xi取值成正比
xi对目标函数的“贡献”与xj取值无关
xi对约束条件的“贡献”与xj取值无关
xi取值连续
A1,A2每公斤的获利是与各自产量无关的常数
每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与各自产量无关的常数
A1,A2每公斤的获利是与相互产量无关的常数
每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与相互产量无关的常数
加工A1,A2的牛奶桶数是实数
线性规划模型
模型求解
图解法
z=c(常数)~等值线
在B(20,30)点得到最优解
目标函数和约束条件是线性函数
可行域为直线段围成的凸多边形
目标函数的等值线为直线
最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。
软件实现
LINDO6.1
max72x1+64x2
st
2)x1+x2<
50
3)12x1+8x2<
480
4)3x1<
100
end
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1)3360.000
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X120.0000000.000000
X230.0000000.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2)0.00000048.000000
3)0.0000002.000000
4)40.0000000.000000
NO.ITERATIONS=2
DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?
No
20桶牛奶生产A1,30桶生产A2,利润3360元。
结果解释
原料无剩余
时间无剩余
加工能力剩余40
三种资源
“资源”剩余为零的约束为紧约束(有效约束)
最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量
原料增加1单位,利润增长48
时间增加1单位,利润增长2
加工能力增长不影响利润
影子价格
35元可买到1桶牛奶,要买吗?
35<
48,应该买!
聘用临时工人付出的工资最多每小时几元?
2元!
RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:
OBJCOEFFICIENTRANGES
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEFINCREASEDECREASE
X172.00000024.0000008.000000
X264.0000008.00000016.000000
RIGHTHANDSIDERANGES
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHSINCREASEDECREASE
250.00000010.0000006.666667
3480.00000053.33333280.000000
4100.000000INFINITY40.000000
最优解不变时目标函数系数允许变化范围
DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?
Yes
x1系数范围(64,96)
x2系数范围(48,72)
A1获利增加到30元/千克,应否改变生产计划
x1系数由24´
3=72增加为30´
3=90,在允许范围内
不变!
(约束条件不变)
影子价格有意义时约束右端的允许变化范围
原料最多增加10
时间最多增加53
35元可买到1桶牛奶,每天最多买多少?
最多买10桶!
(目标函数不变)
例2奶制品的生产销售计划
在例1基础上深加工
制订生产计划,使每天净利润最大
30元可增加1桶牛奶,3元可增加1小时时间,应否投资?
现投资150元,可赚回多少?
50桶牛奶,480小时
至多100公斤A1
B1,B2的获利经常有10%的波动,对计划有无影响?
出售x1千克A1,x2千克A2,
X3千克B1,x4千克B2
利润
x5千克A1加工B1,x6千克A2加工B2
附加约束
1)3460.800
X10.0000001.680000
X2168.0000000.000000
X319.2000010.000000
X40.0000000.000000
X524.0000000.000000
X60.0000001.520000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2)0.0000003.160000
3)0.0000003.260000
4)76.0000000.000000
5)0.00000044.000000
6)0.00000032.000000
结果解释
每天销售168千克A2和19.2千克B1,
利润3460.8(元)
8桶牛奶加工成A1,42桶牛奶加工成A2,
将得到的24千克A1全部加工成B1
除加工能力外均为紧约束
增加1桶牛奶使利润增长3.16×
12=37.92
增加1小时时间使利润增长3.26
投资150元增加5桶牛奶,可赚回189.6元。
(大于增加时间的利润增长)
B1,B2的获利有10%的波动,对计划有无影响
X124.0000001.680000INFINITY
X216.0000008.1500002.100000
X344.00000019.7500023.166667
X432.0000002.026667INFINITY
X5-3.00000015.8000002.533334
X6-3.0000001.520000INFINITY
…………
B1获利下降10%,超出X3系数允许范围
B2获利上升10%,超出X4系数允许范围
波动对计划有影响
生产计划应重新制订:
如将x3的系数改为39.6计算,会发现结果有很大变化。
生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点,怎样安排输送方案使运费最小,或利润最大;
运输问题
各种类型的货物装箱,由于受体积、重量等限制,如何搭配装载,使获利最高,或装箱数量最少。
其他费用:
450元/千吨
应如何分配水库供水量,公司才能获利最多?
若水库供水量都提高一倍,公司利润可增加到多少?
例1自来水输送
收入:
900元/千吨
支出
总供水量:
160
确定送水方案使利润最大
问题分析
<
总需求量:
120+180=300
总收入900´
160=144,000(元)
引水管理费
其他支出450´
160=72,000(元)
供应限制
需求限制
水库i向j区的日供水量为xij(x34=0)
模型建立
确定3个水库向4个小区的供水量
1)24400.00
X110.00000030.000000
X1250.0000000.000000
X130.00000050.000000
X140.00000020.000000
X210.00000010.000000
X2250.0000000.000000
X230.00000020.000000
X2410.0000000.000000
X3140.0000000.000000
X320.00000010.000000
X3310.0000000.000000
利润=总收入-其它费用-引水管理费=144000-72000-24400=47600(元)
引水管理费24400(元)
总供水量(320)>
总需求量(300)
每个水库最大供水量都提高一倍
利润=收入(900)–其它费用(450)–引水管理费
B,C类似处理
问题讨论
需求约束可以不变
求解
1)88700.00
X110.00000020.000000
X12100.0000000.000000
X130.00000040.000000
X2130.0000000.000000
X2240.0000000.000000
X230.00000010.000000
X2450.0000000.000000
X3150.0000000.000000
X320.00000020.000000
X3330.0000000.000000
这类问题一般称为“运输问题”
(TransportationProblem)
总利润88700(元)
如何装运,使本次飞行获利最大?
三个货舱最大载重(吨),最大容积(米3)
例2货机装运
三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例
飞机平衡
xij--第i种货物装入第j个货舱的重量(吨)
i=1,2,3,4,j=1,2,3(分别代表前、中、后仓)
模型假设
每种货物可以分割到任意小;
货机装运
每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布;
多种货物可以混装,并保证不留空隙;
货舱容积
目标函数(利润)
货舱重量
xij--第i种货物装入第j个货舱的重量
平衡要求
货物供应
1)121515.8
X110.000000400.000000
X120.00000057.894737
X130.000000400.000000
X2110.0000000.000000
X220.000000239.473679
X235.0000000.000000
X310.0000000.000000
X3212.9473690.000000
X333.0000000.000000
X410.000000650.000000
X423.0526320.000000
X430.000000650.000000
货物2:
前仓10,后仓5;
货物3:
中仓13,后仓3;
货物4:
中仓3。
最大利润约121516元
货物~供应点
货舱~需求点
平衡要求
如果生产某一类型汽车,则至少要生产80辆,那么最优的生产计划应作何改变?
例1汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车,已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求,利润及工厂每月的现有量。
制订月生产计划,使工厂的利润最大。
设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1,x2,x3
汽车厂生产计划
3)模型中增加条件:
x1,x2,x3均为整数,重新求解。
1)632.2581
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X164.5161290.000000
X2167.7419280.000000
X30.0000000.946237
2)0.0000000.731183
3)0.0000000.003226
结果为小数,怎么办?
1)舍去小数:
取x1=64,x2=167,算出目标函数值z=629,与LP最优值632.2581相差不大。
2)试探:
如取x1=65,x2=167;
x1=64,x2=168等,计算函数值z,通过比较可能得到更优的解。
但必须检验它们是否满足约束条件。
为什么?
IP可用LINDO直接求解
整数规划(IntegerProgramming,简记IP)
“gin3”表示“前3个变量为整数”,等价于:
ginx1
ginx2
ginx3
IP的最优解x1=64,x2=168,x3=0,最优值z=632
max2x1+3x2+4x3
1.5x1+3x2+5x3<
600
280x1+250x2+400x3<
60000
gin3
1)632.0000
X164.000000-2.000000
X2168.000000-3.000000
X30.000000-4.000000
IP结果输出
其中3个子模型应去掉,然后逐一求解,比较目标函数值,再加上整数约束,得最优解:
方法1:
分解为8个LP子模型
若生产某类汽车,则至少生产80辆,求生产计划。
´
x1=80,x2=150,x3=0,最优值z=610
LINDO中对0-1变量的限定:
inty1
inty2
inty3
方法2:
引入0-1变量,化为整数规划
M为大的正数,可取1000
1)610.0000
X180.000000-2.000000
X2150.000000-3.000000
X30.000000-4.000000
Y11.0000000.000000
Y21.0000000.000000
Y30.0000000.000000
x1=0或³
80
最优解同前
NLP虽然可用现成的数学软件求解(如LINGO,MATLAB),但是其结果常依赖于初值的选择。
方法3:
化为非线性规划
非线性规划(Non-LinearProgramming,简记NLP)
实践表明,本例仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时,才能得到正确的结果。
应如何安排原油的采购和加工?
例2原油采购与加工
市场上可买到不超过1500吨的原油A:
购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨;
购买量超过500吨但不超过1000吨时,超过500吨的部分8000元/吨;
购买量超过1000吨时,超过1000吨的部分6000元/吨。
目标函数
问题分析
利润:
销售汽油的收入-购买原油A的支出
难点:
原油A的购价与购买量的关系较复杂
原油A的购买量,原油A,B生产汽油甲,乙的数量
c(x)~购买原油A的支出
利润(千元)
c(x)如何表述?
原油供应
x£
500吨单价为10千元/吨;
500吨£
x£
1000吨,超过500吨的8千元/吨;
1000吨£
1500吨,超过1000吨的6千元/吨。
目标函数中c(x)不是线性函数,是非线性规划;
对于用分段函数定义的c(x),一般的非线性规划软件也难以输入和求解;
想办法将模型化简,用现成的软件求解。
汽油含原油A的比例限制
x1,x2,x3~以价格10,8,6(千元/吨)采购A的吨数
只有当以10千元/吨的价格购买x1=500(吨)时,才能以8千元/吨的价格购买x2
方法1
非线性规划模型,可以用LINGO求解
模型求解
x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3
500吨£
1000吨,超过500吨的8千元/吨
LINGO求解
Model:
Max=4.8*x11+4.8*x21