微积分导数与微分典型例题与复习题部分解答Word文档下载推荐.docx
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b=I
f
（1）=Iimf（x）
X）+
-a.而由导数存在性
=Iim（ax亠b）=a亠b,
X1亠
f.
（1）
f_
（1）
f（X）_f
（1）
=Iim
X_1'
X—1
f（X）_f
（1）
—Iim
X—1-X_1
a-2,b=_1.
（ax+b）_1ax_a
=IimIima,
x—1X_1■x—.1
（2）
X-1
X_1
-Iim一=Iim（XM^2.由
（1）、
（2）解得
x—.X_1X—1'
】
（书P44习题2.1Ex10）因f（x）在x=1处可导,故必连续，从而
1=f
（1）=limf（x）=Iim（ax亠b）=（ax亠b）|x」=a」b.
Xf+X）1+—
由此得当x≥1时f（x）=ax+b,且f'
x）=a;
又当x≤1时f'
（x）=2x.注意到两个导函数都是初等函数，故导函数在指定区域连续，特别是左（或，右）端点连续.于是由可导性得
a=f'
+
（1）=f'
（1）=（2x）∣x=1=2，
由此得b=-1.
【习题2.2Ex5（3）（5）（9）（10）】求下列函数的导函数：
解:
arcsinXarcsinX
（3）y=（e）=e
（arcsinX）
（5）
（9）
（10）
arcsin
二e
arcsinXe
1
y=（arccos—）
y=[ln（secX亠tan
x）]
222
y=（xa-X亠aarcsin
arcsinzXe
（x）__
1「（x）21一X2X2x-χ2
（1）
|xI
1一（：
）2
1一2
χ2丨x丨/1-丄
∖X
（SeCX亠tanx）（SeCx）亠（tanx）SeCXtan
Xsec2X
二SeCX.
SeCX亠tanX
SeCX亠tanX
X222X
—）=（XYa_x）亠a（arcsin—）=aa
2222∙2
-X-^x（a_x）亠a
（—）
a
X2
1—（）
Ia
22F
（a-X）
X—
CJ2
2a
亠a2
-X
Ja）
22二2：
a-X
2222^a-X:
a-X
（10）
2X
亠aarcsin一）
（11）
Iry
=（5
X2
（12）
=（In
（a2-
2.a2
X2）
2X）=5
e
X）
1■e
/2
（Xa
—Z
（
）
.1一（
—
.a2-
）a
3亠a
22"
E-X2
a-X
（arcsin一）
2x2-2X
（X
2x）
=5
（2x2）=2（X1）5
1-e
1.^e
XXXX
e（1亠e）-ee
（1e）
【习题2.2Ex5（13）（14）（15）（16）】求下列函数的导函数:
（14）
111
—-InX—InXI
y二（Xx）二（ex）二ex（InX）
InX-X
InX-1
（15）
InX-In2X
）=（e
In2X2
=e（In
InX
=X2In
HInX」
X（InX）=X
（16）
Ha,X—a
y（arctan—■In.）
X-a
+
22
X-a
3
aa2a
+=
222244
aXaXa
（1）y'
=[f（1+√X）]"
=f"
（X+√Γ）（X+J"
=1fIx+J；
）.
<
2（x丿
注：
f（x...X）=f（u）」X
（2）Y=f（ex）ef（XT=[f（ex）]ef（X）f（ex）[ef（X）]
=f（ex）（ex）ef（X）f（ex）ef（X）f（x）
=f（ex）exef（X）f（ex）ef（X）f（x）
^ef（X）[f（ex）exf（ex）f（x）].注：
f（ex）=f（u）∣u$
[f（3x）ΓfH（3x）（3xf3f*（3x）
（3）y=[arctanf（3x）]222
1+[f（3x）]1+[f（3x）]1+[f（3x）]
【习题2.2Ex7]（论证题）设f（x）是可导的偶函数，证明L（X）奇函数.
证：
-X,由f为偶函数得f（-x）=f（x）,两边求导得（-x）f（-x）=f（X），即P
f（-x）=-f（X）,-X,
所以f（X）是奇函数.
【习题2.2Ex8]（论证题）设f（x）是可导的奇函数，证明f（X）奇偶函数.
-X,由f为奇函数得f（-x）=-f（x）,两边求导得（-x）f（-x）=-f（x），PP
f（-x）=f（X），X,
所以f（X）是偶函数.
【习题2.2Ex9]（论证题）设f（x）是可导的偶函数，且「（0）存在，证明f（0）=0.
-X,由f为偶函数得f（-x）=f（x）;
因f（0）存在，故
f（0）=0.
y=[ln（1
X2）]=
（1—X）
-2X
O（1-2
-X）-
-X（^-X）
〜X
（1-
（1
—X
）补2X
2（1U
22—
22.
（1_X
1-x
XXX
（2）y=（e-COS2x）=（e_）COS2x…e_（COS2X）
XX
=e-（—x）cos2X∙e-（—sin2x）（2x）
_X__X_x
=-e~cos2X亠e~（-2sin2x）=_e_（cos2x亠2sin2x）,
F
y"
=-e~（cos2x亠2sin2X）
XtXIi
--[（e-）（cos2x^2sin2x）亠e_（cos2x亠2sin2x）]
XX
--[∙∙e-（cos2x亠2Sin2x）亠e_（-2Sin2x亠4cos2x）]
_x
=e~（4sin2x-3cos2x）.
【习题2.3Ex1（5）（6）]求下列函数的二阶导函数:
y=[ln（X亠1亠X
H=（XrXS
2i
（1X）
1
21X
2x
121x2
1X2
X1χ2
•1X」
X-：
1X2
（IX
2—72
X）2（1X）
、.（1X2）3
（6）yy
1-X
=
—1
=一I2
I1+x」
I1+x丿
（1+X）
（1+x）J
2[（1X）]
4
（1X）
4（1x）4
4=3
（1X）（1X）
（2）y=（xe）=e
X22
=e（12x）,
XXXx（e）eXe
（12x2
X22
=（e）（12x）
X2.2
二e（x）（12x）e
■4X
=e2x（12X）e4x=e（6X
【习题2.3Ex3
（1）-（3）1设f（x）可导，求下列函数的导函数：
⑴y'
=[f（χ2）]Jf（X2）（χb=2xf（x2）.
2222222
y=[2xf（x）]=2[f（X）Xf（X）（X）=2[f（X）^2Xf（X）].
【习题2.3Ex5
（1）】求下列函数的n阶导函数：
（1）y=（Sin2X）=2SinX（SinX）=2SinXCOSX=Sin2x,
y
=（Sin2
X）
2cos2X:
-2sin（2X
π
-）:
I
FFr
=（2cos
=-2Sin
2X=2sin（
）,
（4）
H3
=-（2
Sin
X）=—2
cos2^=2
sin（
3）,
（n）n_1∏
Y=2sin[2X，—（n-1）].2
【习题2.3Ex5
（2）-（4）】
（2）y=（a）=aIna,
XX2
y=（aIna）=aIna,
y=（axIn2a）=axIn3a,
y（n）=axInna.
djydy（bbss⅛ini）））bbcoostttbb
COPtttodXχdx（（aa（CDlSS）Sl））Γ-LaaSsimtttaa
化简为
2丄2、
Xy
χ+yy'
=y-χy'
即y'
=_=1_2X,由此得
y+Xy十X
复习题二部分解答
1.填空题:
f[a_（1/h）]_f（a）
A=-Iimf'
（a）.
h.：
：
-.1/h
f（2_Ax）_f
（2）1f（2_「：
x）_f
（2）1
（4）已知f'
（2）=2,贝UIimIimf'
（2）=_1.
⅛∙02Zx2⅛-0_^x2
（5）设f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+n）,
f'
（x）=（x+1）（x+2）…（x+n）+x（x+2）…（x+n）+…+x（x+1）（x+3）…（x+n）.
由此得f'
（0）=n!
（6）设y=f（lnx）ef（X）,其中f可微,则
3）（1X）-J
6.设函数f（x）=∣x-a∣（x）,其中（x）在x=a处连续且（a）≠0.讨论f（x）在x=a处的可导性.
因lim』（X）=limLx一a®
（X）=©
（a）,limf（x^lim|^a^（X^-φ（a）,
XTXTX—a7—7—x—a
又f（a）≠0,故左右导数不等，从而f（x）在x=a处不可导.
7.求下列函数的导数
（1）y=axxa（a>
0,a≠1）
y'
（axxa）'
（ax）'
xa+ax（xα）'
（axlna）xα+ax（axα-1）=axxαlna+ax+1xα-1.
⑵y=f（f（x））+f（sin2x）,其中f可导.
（2_x）3、[Jx+2（2_x）3]'
（1_x）5_[（1_x）5]'
Jχ+2（2_x）3
10
（1—X）
“、市f—（2—X）3—3（2—X）2（1—x）5+5（1—》<
右（2—X）
（1—x）|匕2X2
（2-x）3X2135
（1-X）5[2（x+2）2-X1-X
12cosX2
CSCXln（1SinX）-2=CSCXln（1SinX）1.SinXSinXSinX
8.求下列方程所确定的隐函数的导数dy.
（2）e2χ∙y-coS（Xy）=e-1∙
dX
原式两边对X取导数得e2x丁（2∙y'
）-Sin（Xy）（yxy'
）=0,由此得
dy2e2xy-ysin（Xy）
dxe2x+y+xsin（Xy）"
233
dx[（cost），]
222_
3costsint
（3sintcost），（7costsint）-（3Sintcost）（-3costsint），
【复习题二12】设某商品的需求函数为Q=150—2P2.
（1）求当价格P=6时的边际需求，并解释其经济意义；
（2）求当价格P=6时的需求价格弹性，解释经济意义；
（3）当价格P=6时若价格下降2%,总收益将变化百分之几？
是增加还是减少？
显然Q'
（P）=—4P.当P=6时，Q=78,Q'
（6）=—24.
（1）当P=6时，边际需求Q'
（6）=—24V0.其经济意义为：
在价格
P=6时，价格上涨（或下降）一个单位时，需求量Q将由78个单位起减少（或增加）24个单位商品.（小大→大小；
小小→大）
（2）当价格P=6时，需求价格弹性为
P672
二..Q'
（P）二…（_24）二1.85，
Q7839
即当P=6时，≈1.85>
1,该商品为高弹性商品；
这说明在价格P=6时，价格上涨（或下降）1%,需求量Q将从28个单位起减少（或增加）1.85%.此时边际收益
R'
P）>
0，提高价格会使总收益减少，降低价格会使总收益增加•
（3）商品销售总收益和边际收益分别为
R（P）=PQ（P）=150P—2P3,R'
P）=150—6P2.
由此得R（6）=468,R（6）=—66,从而P=6时的收益价格弹性为
P611
εRPR'
（P）（-66）=0.846,
∙rp≈—0.846<
0.这就是说，若价格下降（小小→大）
R46813
即当价格p=6时,收益价格弹性
2%,总收益将增加1.692%.
其它杂题（求函数的导数、微分，导数的应用）
【例1】求函数y=x2在点x=2处的导数。
f（2」）—f
（2）
解1:
f
（2）=limLJIim
匚Xr0LX.'
Xr0
解2：
或⑵判m疸（fg）fW）亠声3
lim（47X）=4。
4°
【例2】
XX_X_∙2
1一Sin设f（x）=X
0，
x：
二O
x=O
f（O）
=Iimf（X）一f（O）
x「0X-O
当X=O
时，；
L（X）
Iim
x—∙0
=（—
—）H
0=X
艸於々农222）=：
。
求「（；
）及厂（0）.
12—SinX-O
=Iim
X-∙0
=Iim
χjX
XSin2X-SinX
SinX
—1；
2xy=sin2
1+X
y=Sin2是由
【例3】
X求dydx
y=sinU,
Hπ
f（―）
复合而成，
dydydydydUdu
_==TT
dXdXdudud&
22（ι1我X）Lt2G⅛x）
==ccosU
【例4】
（（VxX）2'
dy
y=lntanX,求I
dx
2（1-X）
GQS
（1X）1X
函数y=lntanx是由y=lnu,u=tanX复合而成,
廉e@ec2XdxdxdUdudX
UUU
SinXGQSX
【例5】
y=eX,求
y=e是由
U
y=e
U复合而成，
【例6】
InSinX
求dx
d⅛y11
NnIPSinSfiX）攻尸三—n:
（SinX）H
ddxSinSXnX
CoSX=GQtX.SinX
【例7】y=J[-2χ,求—y.
12
dy=[（1-2χ2）3r=1（1_2x2）飞（1_2x2）dx3
-4x
33（1二x2）2
【例8】
y=Incos（ex）,求dy.
fy-[Incos（ex）]：
—1[cos（ex）]
dxcos（e）
一⅛⅛⅜⅛e恋F⅛⅛e⅛⅜Qex）。
【例9】
sin1
^eX,
sin!
y=（ex）
求dy
（Sin一
Sinl=eX
COS丄∙1）H
Sin_Xe
COS—
【例10】y=SinnxSinnX（门为常数）,求§
y_.dx
y=（Sinnx）Sinnx+Sinnx（Sinnx）
=ncosnxSinnx+sinnxnSinn∙jχ（Sinx）
=ncosnxSinnX+nsinnjxcosx
=nSinnJXsin（n+1）x.
【例11】求函数y=x3当x=2,ΔX=0.02时的微分。
先求函数在任意点X的微分，
dy=（x3）Δx=3x2ΔXo
再求函数当x=2,Δx=0.02时的微分，
dyA=3χ2AX=3^2^002=024°
'
∣x=2∕=0.O2x=2,^=0.02°
“5"
U^O
【例12】yT'
xcosx,求dy。
应用积的微分法则，得
dy=d（e1^XCOSX）=COSXd（e1JX）e1JXd（COSX）
=（COSX）e1'
x（-3dx）e1^x（-SinXdX）--e1°
x（3cosXSinx）dx°
【例13】在括号中填入适当的函数，使等式成立。
⑴d（）=xdx;
（2）d（）=costdt。
（1）因为d（x2）=2xdx,所以
111222111222111222
XaiIdX^-Cld（（Xx）））==Zddi（（（^XX））!
即dd（（（-j«
x））=XdX。
22222'
222
一般地，有d（—X亠C）=XCX（C为任意常数）。
（2）因为d（sin■t）=CoStdt,所以
11.11.
co¾
o盟曲tdt=≡-dds（nn驱坏）三c∣d（（—SjIn时t）。
因此d（一sin.,t∙C）=8S∙,tdt（C为任意常数）。
【例16】设Y=
■］：
1.X
一（1X）-（1一X）
HX
.（1-x）（1X）3
【例17】
（对数求导法）设y=χ（sinX）COSX，
2cotX
2（1+cosX
为求y'
0）J将χ=0代入方程
（1）,得
3y（0）y（0）-36y（0）=0
将x=0代入原方程，得y（O）=0,将此代入（*）中得
y"
）=1
【例20】求由方程ey∙xy-e=0所确定的隐函数y的导数。
eyyy+Xy二0，
方程中每一项对
X求导得（ey）（xy）-（e）=（0）:
即
yy（Xe-0）。
亠e
【例21】
（可导性求解分段函数之未知数）
J,当X乞1
设f（χ）=J+x,已知f（x）在x=1处可导,
aχ+b
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