求根公式专题Word格式.docx
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①当x>
0时,原方程化为X2-X-2=0,解得为=2,X2=—1(舍)
①当x<
0时,原方程化为x2+x—2=0,解得xi=1(舍),X2=—2
请参照例题解方程:
X?
—|x-3|—3=0,则方程的根是.
(晋江市中考试题)解题思路:
通过讨论,脱去绝对值符号,把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.
例2方程|x2—1|=(4-2Q(x+2)的解的个数为(
C、3个
D、4个
(全国初中数学联赛试题)解题思路:
通过去绝对值,将绝对值方程转化为一元二次方程求解.
例3已知m,n是二次方程X2+1999X+7=0的两个根,求(m2+1998m+6)(n2+2000n+8)
的值.
(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路:
若求出m,n值或展开待求式,则计算繁难,由方程根的定义可得关于m,n的等
式,不妨从变形等式入手.
反思:
一元二次方程常见的变形方法有:
例4解关于x的方程:
(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0
解题思路:
因未指明关于x的方程的类型,故首先分m-1=0及m-1工0两种情况,当m-1工
0时,还考虑就b2-4ac的值的三种情况加以讨论.
例5已知三个不同的实数a,b,c满足a_b+c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0.
有一个相同的实根,方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实根,求a,b,c的值.
这是一个一元二次方程有公共根的问题,可从求公共根入手
方法指导:
公共根问题是一元二次方程常见问题,解这类问题的基本方法是:
1若方程便于求出简单形式的根,则利用公共根相等求解.
2设出公共根,设而不求,消去二次项.
例6已知a是正整数,如果关于x的方程X3+(a+17)x2十(38—a)x-56=0的根都是整数,
求a的值及方程的整数根.
本题有两种解法,由方程系数特点发现1为隐含的根,从而将试题进行降次处理,
或变更主元,将原方程整理为关于a的较低次数的方程.
能力训练
1、已知方程x2-6x+q=0可以配成(X-Pj=7的形式,那么x2-6x+q=2可以配成.
(杭州市中考试题)
(天津市中考试题)
3、设方程X2+1993x-1994=0,和(1994x)2-1993iggSx-1=0的较小的根分别为a,3,
(上海市竞赛试题)
4、方程lx?
+4x-5|=6-2x的解应是.
5、方程(X2+X-1)心=1的整数解的个数是.
C、4个
(山东省选拔赛试题)
C、
(德州市中考试题)
(江苏省竞赛试题)
8、方程X2—|x|-1=0的解是
(荆州市竞赛试题)
11、是否存在某个实数m,使得方程x2+mx+2=0和x2+2x+m=0有且只有一个公共根?
如果存在,求出这个实数m及两方程的公共实根;
如果不存在,请说明理由
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12、已知关于X的方程(4-k)(8-k)x2-(80-12k)x+32=0的解都是整数,求整数k的值.
6、
方程XIx|-3|x|+2=0的实根的个数为(
42
(X—2)+(XT)T的值为()(x-1)(x—2)
A、1996
B、1997
C、1998
D、1999
&
已知三个关于x的一元二次方程
222
ax+bx+c=O,bx+cx+a=O,cx+ax+b=O恰有一个
2b22
公共实根,则—+—的值为(
bccaab
C、2
3
(全国初中数学联赛试题)
9、已知X=,求
432
X2-8x+15
x—6x—2x+18x+23的值
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
10、设方程X2-|2x-1|r=0,求满足该方程的所有根之和
(重庆市竞赛试题)
11、首项系数不相等的两个二次方程
(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0
及(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0
②(其中a,b为正整数)
有一个公共根,求
b+/
a+b
的解,并把你的解答过程填写在下面的表格中.
12、小明用下面的方法求出方程2丘-3=0的解,请你仿照他的方法求出下面另外两个方程
方程
换元法得新方程
解新方程
检验
求原方程的解
2仮-3=0
令7X=t,
则2t-3=0
3t=—
2
t=—>
0
厂3.9
寸X=—,x=—
24
X+24x-3=0
X+Jx-2-4=0
专题02从求根公式谈起
例2C提示:
当X2—1>
0时,即x<
—1或x>
1时,原方程化为
X2—(4—273)x+7—価
—9=0,解得X1=4—3/3,X2=J3,均符合;
当X2—1<
0时,
即一1<
XV1时,原方程可
化为
X2+(4—243)X+7—4J3=0,解得X3=73—2,满足题意.
1991
211
①当m=1时,解得X=2.②当m工1时,b2—4ac=12m—11.当m>
—时,x12=
12
1—2m±
{伽-11;
当m=H时,X=5;
当m<
—时,原方程无实根.
1212
2(m-1)
5为叙述方便,该题设中的四个方程依次为①、②、③、④,设方程①和方程②的公共根
fot2+aa+1=0C-1
a,则{2'
两式相减,得a=三丄•同理可得,方程③和方程④的公共根为
[ot+ba+c=0.a-b
a—b
.•••aP=1•注意到方程①的两根之积为1,则卩也是方程①的根,从而P2+前+1
c-1
=0•又tP2+P+a=0,两式相减,得(a—1)3=a—1•若a=1,则方程①无实根,这与
方程①有根有矛盾,•••a工1..•.卩=1,a=1•于是a=—2,b+c=—1•又ta—b+c=3,a
b=—3,c=2.
例6解法一:
•••1+(a+17)+(38—a)—56=0,二X=1为原方程的一个根,从而原方程
可化为(X—1)X2+(a+18X+56]=0•①tX为正整数,•方程X2+(a+18)x+56=0的判
别式A=(a+182—224必为完全平方数.设(a+18『—224=m2(m为非负整数),则3+18丫
—224=224,即(a+m+18)(a—m+18)=224=112x2=56X4=28X8.又ta+m+18与
a—m+18具有相同的奇偶性,且a+m+18>
a—m+18,a+m+18>
18,^m十18"
112,
la—m+18=2
或『+m+18=56,或『+m+18=28,解得『=39,或『=12,或『=0,又玄为正整数,•.|a-m+18=4ia-m+18=8im=55[m=26[m=10.
fa=39fa=12
'
或{'
.当a=39时,方程①的根为一1和一56;
当a=12时,方程①的根为一2
Im=55Im=26
和一28.综上所述,当a=39时,原方程的三个根为1,—1和一56;
当a=12时,原方程的三
个根为1,-2和—28•解法二:
原方程可化为(X2—X)a=56—38x—17x2—x3②,显然x工0.当x=1时,②式恒
23
x—x
成立.当X工1时,方程②可化为a=56-38X2—ex-X=—X—18—兰.Va为正整数,•
X
5656..
—x—18—上>
0,•••X+18+艺V0.显然x<
0,•••x2+18x+56>
0,解得xv—J35—9或J35xx
—9<
x<
0.又x为整数,且x|56,•x可取—56,—28,—2,—1.由韦达定理知(—56)X
(-1)=(—28)X(—2),若—56和—1为方程②的两个根,则—(a+18)=—56—1,即a=39;
若—28和—2为方程②的两个根,则—(a+18)=—28—2,即a=12.综上所述,当
a=39时,原方程的三个根为1,—1
和一56;
当a=12时,原方程的三个根为1,—2和一28.
10.m=19提示:
由已知得
1
a+一=—4.
a
11.假设存在符合条件的实数
m,且设这两个方程的公共实根为a,则
a+ma+2=0①,
2①一
a+2a+m=0②,
②得(m—2)(a-1)=0,
•••m=2或a=1.当m=2时,已知两个方程为同一个方程,且没
有实数根,故m=2舍去;
当a=1时,代入①得m=—3,可求得公共根为x=1.
12.当k=4或k=8,分别求得x=1或x=—2.当k工4且k工8时,原方程可化为
U-kX-8】如—kk—4=0,.・.为=89,x2=4.Vk为整数,且x1,x2均为整数,
4-k8-k
•••4—k=±
1,±
2,±
4,±
8且8—k=±
1,±
4,.・.k=6,12.故k=4,6,8,12时,
原方程的根为整数.
1.42.—1
3.—3提示:
代入根得(7+2a+b)+(—4—a)J3=0.
4.C提示:
由题给方程x—3=2x].又xX,则x—3W2x,.x—2x—3w0,则一1W
xw3,二x]只可能取值为—1,0,1,2,3.分别代入原方程解得x=—1,47,3,故原方程
共有三个解.
5.D6.C7.D8.D
9.5提示:
由x=4—>
;
3,得X—8x+13=0.
12
10.当2x—1>
0即x>
—时,原方程化为X2—2x—3=0,解得X1=3,X?
=—1(舍去);
当2x
111
—1=0即x=—时,X2—4=——4工0,舍去;
当2x—1<
0即X<
—时,原方程化为X2+2x—
242
L1
5=0,解得x1=—1—V6,X2=—1+76>
-(舍去),故所有根之和为3+
(-1-J6)=
2—(6.
11.由条件知
a+2
a>
1,b>
1,a工b,解得①的两个根为a,——,②的两个根为
a—1
b,出.•••ab-1
工b,…a=
b+2a+2
——③或b=④,由③④均得ab—a—b—2=0,即(a—1)
b-1a-1
(b—1)=3.因
为a,b均为正整数,则有P—仁1,或P—仁3,解得F=2,或]a=4,代入所求值得表达式化lb-1=3b-1=1ib=4ib=2
简得涔=abba=256.
12.
x+2Jx—3=0
则t2+2t—3=0
t2=—3<
0(舍)
Jx=1,•••x=1
令JX-2=t,
t1=1,t2=—2
t1=1>
0,
则t2+t—2=0
t2=—2<
x—2=1,x=3