六年级数学二元一次方程组Word文档下载推荐.docx
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除了假设法,还有其他的方法吗?
用一元一次方程。
很好,同学们说的都很正确。
今天我们就一起先来看一个中国古代的算术问题:
鸡兔同笼(PPT课件展示问题)。
用你们刚刚说到的两种方法来解答(学生自主完成,展示完成情况)
算术方法:
假设都是鸡一元一次方程:
设鸡有x只,则列方程得
35×
2=70(条)2x+4(35-x)=94
94-70=24(条)2x+140-4x=94
4-2=2(条)2x=46
兔子的只数:
24÷
2=12(只)鸡的只数:
x=23
鸡的只数:
35-12=23(只)兔子的只数:
24÷
2=12(只)
同学们非常棒!
除了这两种方法外,还有其他方法吗?
今天这节课我们就一起来探究。
(板书课题)
二、思维探索
(一)出示例1
展示例题:
例1:
今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?
分析刚刚的数学问题,问题中要求什么呢?
鸡和兔的只数各有几只。
(若学生想不到,教师要引导学生,要求的是两个未知数,能否设两个未知数列方程求解呢?
让学生自己设未知数,列方程)
问题中要求两个未知量,我们不妨设这两个量分别为x和y,那我们可以得到哪些等量关系呢?
鸡的只数+兔的只数=35只,可以得到x+y=35。
鸡脚的只数+兔脚的只数=94只,则2x+4y=94。
很正确。
则我们可以得到关于x和y的二元一次方程组。
x+y=35……①
2x+4y=94……②
在上面的问题中,鸡、兔的只数必须同时满足①②两个方程。
把①②两个二元一次方程结合在一起,用花括号来连接。
我们也给它起个名字,叫什么好呢?
结合学生的回答,教师板书
定义:
含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的方程,叫做二元一次方程。
把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。
观察分析这个方程组,该怎样计算呢?
下面我们一起来研究一下二元一次方程组的解决方法。
(二)出示例2
例题2:
用代入消元法解方程组。
x+y=7 ……①
5x+6y=39……②
同学们知道什么是代入消元法吗?
(学生尝试回答教师总结)
就是把①变为用x表示y,或者用y表示x:
x=7-y;
y=7-x;
代入到②中。
总结:
将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程,这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法。
将y=7-x代入到方程②中:
5x+6(7-x) =39 ……③
将x=7-y代入到方程②中:
5(7-y)+6y =39 ……③
同学们还记得一元一次方程的解法吗?
现在我们每个小组计算一个方程(两种代入方式分组计算),计算完成后说一下你们方程组的解,比较一下,答案会是一样的吗?
是一样的。
(分析讲解完成后要求教师在黑板书板书整个的规范书写过程,并给学生强调,后面每一个例题都是这样要求)
小结:
1、代入消元法:
就是把一个方程中的未知数x用含另一个未知数y的式子来表示,代入到另一个方程中,这样就消去了未知数x,然后解出y,最后再求出x。
例题2:
2x+4y=16 ……①
4x+9y=34 ……②
观察分析,这个方程组和我们前面一个方程组有什么不一样的呢?
x或y前面的系数都不是为1的。
观察的非常仔细。
这题不能明显看出x和y的关系,我们可以尝试化简一下:
①式可以两边都除以2得到x+2y=8……③,这个时候x前面的系数就为1了,接下来的过程大家会做了吗?
将这个式子③式变形为:
x=8-2y……④。
很好。
现在我们可以将④式代入②式计算即可。
(学生自主完成,教师完整板书过程,检查学生的书写格式的正确性)
(三)出示例3
例题3:
用加减消元法解方程组。
2x-y=7 ……①
3x+y=13 ……②
观察分析,这个题用代入消元来解答,同学们应该都能很快求出方程的解来。
那么除了代入消元法外,还有别的方法吗?
这个题要求我们用加减消元法解方程组,什么叫做加减消元法呢?
所谓加减消元,就是把方程组中两个方程相加或相减,达到消去其中一个未知数的目的,是吗?
(是)
再认真观察一下这两个方程,你还能发现什么呢?
(可以提示学生观察一下字母前面的数)
y前面一个是正号,一个是负号,并且系数都是1。
回答正确。
如果我们将两个方程相加,会发生什么呢?
y可以抵消了。
对,这样就可以达到我们消元的目的了,自己动手算一算吧。
(教师引导,学生自己尝试完成)
2、加减消元法:
就是把方程组中两个方程相加或相减,从而消去一个未知数。
3x+2y=18 ……①
3x+y=15 ……②
观察分析,你发现了什么?
x前面的系数是相同的。
非常好。
这个题目我们可以用什么方法求方程组的解呢?
加减消元法。
代入消元法。
说的都是正确的。
因为x前面的系数是相同的,两个式子做减法,可以消去x,运用加减消元法求出方程的解;
而②式y前面的系数是为1的,可以将②式转化为:
y=15-3x,用代入消元法计算。
(学生分为两组,一组使用一种方法计算,比一比,看谁先完成)
要求:
教师完整板书两种计算方法,格式规范
三、综合运用
例题4:
观察题目,这个方程组用哪种方法好呢?
好,为什么好,不好,又是为什么呢?
谁能说一说?
用代入消元法计算,因为系数都不是为1的,所以会得到一个分数形式,不利于计算,所以我觉得代入消元法解这个问题可能会比较复杂一些,所以我会选择加减消元法。
说的非常好,你是一个很有想法的学生。
大家都同意他的想法吗?
(同意)既然同学们都同意这个想法,那么运用加减消元来解这个方程组,可是我们可以发现无论是x还是y,他们前面的系数都是不一样的,如何实现抵消呢?
是不是与我们前面两个方程组有不同的地方。
怎么样使某个未知数前面的数相等呢?
可以用等式的性质。
嗯,很好,怎么用呢?
将两个方程组进行变形,使得某一个字母前面的数变为相同的。
嗯,看来同学们都有自己的想法了,自己尝试试一试吧!
(学生先尝试变形,教师引导)
①×
2,得:
2x+2y=10③
好的,现在我们是不是把方程组都变成了这样的形式了,还有不有不同意见的?
4,得:
4x+4y=20……③
现在我们尝试用加减消元试一试吧!
(学生自我完成后面的过程,分小组进行,比较计算结果)
第二题小题学生独立完成,指名演板,师评价小结
当方程组中两方程不具备直接相加减消元的特点时,则可用等式性质来改变方程组中方程的形式,即得到与原方程组同解的且某未知数前面的数相同的新的方程组,从而为加减消元法解方程组创造条件.
四、拓展训练
例5:
传说九头鸟有九头一尾,九尾鸟有九尾一头。
今有头580个,尾900个,问两种鸟各有多少只?
分析问题,你发现了什么?
问题中还是要求两个未知量。
既然还是求两个量的值,我们还是可以用二元一次方程组来解决对吗?
(对)谁能帮我们找出问题中的两个等量关系呢?
总头数=九头鸟数目×
9+九尾鸟数目。
总尾数=九头鸟数目+九尾鸟数目×
9。
则我们可以设A存煤量为x,B为y,可以得到关于x和y的二元一次方程组为:
9x+y=580……①
x+9y=900……②
观察分析这个方程组,用什么方法计算比较简便呢?
自己尝试算一下吧!
一定不要忘了把所求的值代入到原问题中进行检验(学生自主完成计算过程)
②×
9,得:
9x+81y=8100③
③-①,得:
81y-y=8100-580
80y=7520
y=94
将y=94代入①式得:
x=900-94×
9=54
板书:
列二元一次方程组解应用题的一般步骤:
设:
设两个未知数表示问题中的未知量。
列:
找等量关系,列出方程组。
解:
解方程组,求出未知数的值。
验:
检验所求的值是否正确和符合题意。
答:
写出答案,作答。
例6:
妈妈给李红10元6角,让她买3千克香蕉和2千克苹果。
结果她把买的数量颠倒了,因而多花了0.7元,问香蕉和苹果每千克多少元?
分析问题,找出问题中的等量关系呢?
把买的数量颠倒了是什么意思?
3千克香蕉的钱数+2千克苹果的钱数=10.6元。
2千克苹果的钱数+3千克香蕉的钱数=10.6+0.7元。
自己尝试设未知数,列出方程组并求解,告诉老师你们的结果。
(学生自主完成解答过程,请学生代表板书)
例7:
一条路从甲地到乙地是下坡,从乙地到丙地是平路,一人骑车以每小时12千米的速度下坡,而以每小时9千米的速度通过平地到丙地,共用了55分钟;
回来时以每小时8千米的速度行至乙地,又以每小时4千米的速度行到甲地,共用了1.5小时。
问从甲地到丙地共有多少千米?
题中的等量关系容易找到吗?
我们可以画图分析。
现在你能找到等量关系吗?
甲到乙下坡时间+乙到丙时间=55分钟
丙到乙时间+乙到甲上坡时间=1.5小时
我们能尝试设未知数,列出方程组吗?
提示学生注意统一单位
设甲到乙的路程为xkm,乙到丙的路程为ykm
(或写成分数形式)
大家会解这样的方程组吗?
提示学生将方程两边同时乘分母的最小公倍数可去掉分母。
五、课堂小结