人教版八年级上册 第11章 三角形和多边形 讲义Word版无答案教育文档Word格式.docx

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”我加以肯定说“这是乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：

“这就是雷声隆隆。

”一会儿下起了大雨，我问：

“雨下得怎样?

”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。

雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：

“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。

”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。

我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。

如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。

通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。

2、三角形的边：

组成三角形的线段叫做三角形的边。

3、三角形的顶点：

相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。

4、三角形的角：

相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

（二）三角形中的主要线段

1、三角形的高：

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

2、三角形的中线：

在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

3、三角形的角平分线：

三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

（三）三角形的稳定性：

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

（四）三角形的分类

1、三角形按边的关系分类如下：

不等边三角形

三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形

等边三角形

2、三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

3、把边和角联系在一起，又有一种特殊的三角形：

等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

4、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

（五）三角形的三边关系定理及推论

1、三角形三边关系定理：

三角形的两边之和大于第三边。

推论：

三角形的两边之差小于第三边。

2、三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

（六）三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于180度。

注：

在同一个三角形中：

等角对等边；

等边对等角；

大角对大边；

大边对大角。

（七）三角形的外角：

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角

三角形外角的性质：

性质1：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

性质3：

三角形的外角和为360度。

（八）三角形的面积

1

三角形的面积=

2

×

底×

高

二、多边形的有关概念

（一）多边形：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形

1、内角：

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角

2、外角：

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角

3、对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

4、正多边形：

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形

（二）多边形的内角和：

多边形的内角和定理：

n边形的内角和等于（n2）180°

（三）多边形的外角和定理：

任意多边形的外角和等于360°

（四）多边形对角线的条数：

1、从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

2、n边形共有

条对角线。

第二部分例题讲解

例1、如图，在△ABC中，∠BAC=90°

，∠B=56°

，AD⊥BC，DE∥CA．求∠ADE的度。

A

E

BDC

【分析】：

根据平行线的性质推知△AED是直角三角形；

在直角△ABD中，利用“直角三角形的两个锐

角互余的性质”求得∠BAD=34°

；

然后在直角△AED中，利用“直角三角形的两个锐角互余的性质”求

得∠ADE的度数．

【解答】：

∵∠BAC=90°

，DE∥AC（已知）

∴∠DEA=180°

-∠BAC=90°

（两直线平行，同旁内角互补）．

∵AD⊥BC，∠B=56°

，

∴∠BAD=34°

在△ADE中，∵DE⊥AB，

∴∠ADE=56°

．

变式1、如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°

，∠C＝76°

，则∠DAE的度数为（）

A、40°

B、20°

C、18°

D、38°

【解答】

∵△ABC中已知∠B=36°

，∠C=76，

∴∠BAC=68°

∴∠BAD=∠DAC=34，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°

∴∠DAE=20°

BDEC

变式2、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°

，求∠DAC的度数。

∵∠ADB=∠DAC+∠4

∴180°

-∠1-∠2=∠DAC+∠4

∠DAC=63°

-∠1

-∠1-∠2=63°

-∠1+∠4

-∠2=63°

+∠4

∵∠3=∠4

∠3=∠1+∠2

∴∠1=∠2

+2∠2

∴∠1=∠2=39°

∴∠DAC=63°

-39°

=24°

变式3、如图，在△ABC中，BE是∠ABC的内角平分线，CE是∠ACB的外角平分线，BE、CE交于E点，试探究∠E与∠A的大小关系．

∵∠ACD=∠A+∠ABC，CE平分∠ACD，

∴∠ECD=

∠ACD=

（∠A+∠ABC）（角平分线的定义），

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBC=

∠ABC（角平分线的定义），

∵∠ECD是△BCE的外角，

∴∠E=∠ECD-∠EBC=

∠A

例2、一个多边形的每一个内角都等于144,则它的内角和等于（）

A.1260B.1440C.1620D.1800

【分析】一个正多边形的每一个内角都相等，根据内角和外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360°

，利用360°

除以一个内角的度数就可以知道多边形的边数，然后再根据多边形内角和的公式（n-2）*180°

，即可求出。

多边形的边数是360°

÷

（180°

-144°

）=360°

36°

=10，则内角和是（10-2）×

180°

=1440°

故选择B

变式1、不能作为正多边形的内角的度数的是（）

A．120°

B．（128

）°

C．144°

D．145°

A、（n-2）•180°

=120•n，解得n=6，所以A选项错误；

B、（n-2）•180°

=（12847）°

•n，解得n=7，所以B选项错误；

C、（n-2）•180°

=144°

•n，解得n=10，所以C选项错误；

D、（n-2）•180°

=145°

•n，解得n=727，不为整数，所以D选项正确．故选D．

变式2、两个正多边形的边数之比为1∶2，内角和之比为3∶8，求这两个多边形的边数、内角和。

设小正多边形的边为n，大的为2n

则[（n-2）×

180]:

[2n-2）×

180]=3:

8

8n-16=6n-6

2n=10n=5

5×

2=10

答这两个正多边形分别为正5边形和正10边形

变式3、一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为2520°

则原多边形有

条边。

设新多边形的边数是n，则（n-2）180°

=2520°

，解得n=16，

∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1，

∴原多边形的边数是15，16，17．

例3、求图1、2、3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。

【分析】都是根据三角形内角和和外角和的性质进行解答

（1）∠FGC=∠B+∠E

∠GFC=∠A+∠D

∠FGC+∠GFC+∠C=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

（2）∠FGD=∠B+∠E

∠GFD=∠A+∠C

∠FGD+∠DFG+∠D=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

（3）连接ED

∠A+∠C=∠ADE+∠CED

∠ADE+∠CED+∠B+∠D+∠E=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

变式1、如图，已知DC是△ABC中∠ACB的外角平分线，说明为什么∠BAC＞∠B.

∵∠BAC是△ACD的一个外角（已知）

∴∠BAC＞∠ACD（三角形的一个外角大于任意与它不相邻的内角）

∵∠ECD是△BCD的一个外角（已知）

∴∠ECD＞∠B

又∵CD是∠ACB的外角平分线（已知）

∴∠ACD=∠ECD

∠BAC＞∠ACD＞∠B

∠BAC＞∠B

变式2、如图，在△ABC中，ADBC，AE平分∠BAC，∠B＝70°

，∠C＝30°

（1）求∠BAE的度数；

（2）求∠DAE的度数；

A

（3）探究：

小明认为如果只知道∠B－∠C＝40°

，也能得出∠DAE的度数？

你认为可以吗？

若能，请你写出求解过程；

若不能，请说明理由

BDEC

（1）.∵AE平分∠BAC，∠B＝70°

，∠C＝30°

∴∠BAE=

-70°

-30°

）=40°

（2）.由

（1）知，∠CAE=40°

∵AD⊥BC

∴∠CAD=90°

=60°

∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=60°

-40°

=20°

（3）.能

理由如下：

∵AE是角平分线

∵∠BAD=90°

-∠B

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=

-（90°

-∠B）=

若∠B-∠C=40°

，则∠DAE=20°

变式3、

（1）如图①②,试研究其中1、2与3、4之间的数量关系；

（2）如果我们把1、2称为四边形的外角,那么请你用文字描述上述的关系式.（3）用你发现的结论解决下列问题:

如图,AE、DE分别是四边形ABCD的外角NAD、MDA的平分线,BC240,求E的度数.

（1）解：

∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，

∴∠3+∠4+∠5+∠6=360°

∴∠3+∠4=360°

-（∠5+∠6），

∵∠1+∠5=180°

，∠2+∠6=180°

∴∠1+∠2=360°

∴∠1+∠2=∠3+∠4；

（2）答：

四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；

（3）解：

∵∠B+∠C=240°

∴∠MDA+∠NAD=240°

∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，

∴∠ADE=

∠MDA，∠DAE=∠NAD，

∴∠ADE+∠DAE=

（∠MDA+∠NAD）=

240°

=120°

∴∠E=180°

-（∠ADE+∠DAE）=180°

-120°

第三部分课后作业

1、已知等腰三角形的一个外角是120°

，则它是（）

A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形

2、一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加（）

A.180°

B.360°

C.（n-2）·

D.n·

180

3、已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数（）.A.90°

B.110°

C.100°

D.120°

4、如图所示，在△ABC中E、F分别在AB、AC上，则下列各式不能成立的是（）

A．∠BOC=∠2+∠6+∠AB．∠2=∠5-∠AC．∠5=∠1+∠4D．∠1=∠ABC+∠4

5、如图，若∠A=32°

，∠B=45°

，∠C=38°

，则∠DFE等于

6、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和。

7、如图,已知ABC中,ABC和ACB的角平分线BD,CE相交于点O.

（1）若ABC50，ACB70，则B0C；

（2）若ABC48，ACB64，则B0C；

（3）若A60,则B0C；

O

（4）请探究A与BOC的关系.

8、

（1）如图①：

求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。

BC

（2）当图①变为图②时，求上面六个角的和。

（3）当图①变为图③时，求上面六个角的和。

9、已知：

如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相

交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图中，若∠D=40°

，∠B=30°

，试求∠P的度数；

（写出解答过程）

（2）如果图中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．

10、如图甲，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．

（1）若∠B=30°

，∠C=70°

，则∠DAE=；

（2）若∠C﹣∠B=30°

，则∠DAE=；

（3）若∠C﹣∠B=a（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含a的代数式表示）；

（4）如图乙，当∠C＜∠B时我们发现上述结论不成立，但为了使结论的统一与完美，我们不妨规定：

角度也有正负，规定顺时针为正，逆时针为负．例如：

∠DAE=﹣18°

，则∠EAD=18°

，作出上述规定后，上述结论还成立吗？

；

若∠DAE=﹣7°

，则∠B﹣∠C=°