秋季新版冀教版九年级数学上学期第27章反比例函数单元复习教学案文档格式.docx
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27.2反比例函数的图像和性质
2课时
27.3反比例函数的应用
回顾与反思
27.1 反比例函数
1.结合具体问题情境体会反比例函数的意义.
2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.
3.能根据已知条件或实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.
1.让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.
2.用类比的思想方法,从实际问题中抽象出反比例函数的模型,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.
3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.
1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.
2.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.
1.理解并掌握反比例函数的定义,掌握反比例函数的一般形式.
2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.
【难点】 经历探索和表示反比例函数关系的过程,体验用反比例函数表示变量之间的关系.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P128~129.
导入一:
【课件展示】 如图所示,当电路中的电压一定时.
(1)怎样用电阻R表示电流I?
(2)电流I是怎样随电阻R的变化而变化的?
(电流I随着R的增大而减小)
(3)变量I是R的函数吗?
为什么?
(是,电流I随着R的变化而变化,给一个R的值,都有一个I和它对应)
[设计意图] 由与生活息息相关的跨学科知识和已有的知识出发,将学生引导到一个新的函数模型的研究中,让学生感受到生活中处处有数学,激发学生对学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象出反比例函数的概念做铺垫.
导入二:
【课件展示】 同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以他们的平均速度有快有慢.
在速度v,时间t与路程s之间满足:
(1)如果速度v一定时,那么路程s与时间t之间是什么函数关系?
(s=vt,是正比例函数关系)
(2)如果时间t一定时,那么路程s与速度v之间又是什么函数关系?
(3)如果路程s一定时,那么速度v和时间t之间的等量关系是什么?
是函数关系吗?
【思考】 这个函数是不是我们前边学过的函数?
[导入语] 问题
(1)
(2)中的函数是我们学过的一次函数,(3)中的函数不是前边学过的函数,这类函数就是本章要研究的反比例函数.
[设计意图] 通过生活中的问题情景,引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系,唤起学生对本课时的学习欲望,使学生带着问题进入本节课的学习.
导入三:
复习提问:
(1)什么是函数?
什么是一次函数?
(2)学习一次函数的基本思路是什么?
【课件展示】 以往研究函数的基本思路:
[导入语] 函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数时,在理解定义的基础上,研究它的图像和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——反比例函数.
[设计意图] 通过回忆一次函数的概念及研究思路,引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数,在学习中学生易从已有的知识体系中自然地构建出新知识,为学习本章内容做好铺垫.
[过渡语] 若将成正比例的两个量视为变量,则这两个量之间具有正比例函数关系.那么,当将两个成反比例的量视为变量时,它们之间又具有怎样的函数关系呢?
这就是本节课要学习的内容.
一、反比例函数的概念
思路一
【课件展示】
1.要制作容积为15700cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为Scm2,高为hcm,则Sh= ,用h表示S的函数表达式为 .
2.自行车运动员在长为10000m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间为ts,行驶的平均速度为vm/s,则vt= ,用t表示v的函数表达式为 .
3.y与x的乘积为-2,用x表示y的函数表达式为 .
【学生活动】 独立完成填空,小组内交流答案.
1.15700 S=
2.10000 v=
3.y=
教师引导学生思考:
(1)每个事例中的两个变量是什么?
(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?
(3)上述三对量之间每对量都成反比例吗?
(4)请再举出几个具有这种特征的例子.
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,确定三个问题中的每对量都成反比例,并归纳函数表达式的共同特征,教师对学生的回答进行点评归纳.
[设计意图] 通过问题的形式,引导学生发现这些变量之间的关系都成反比例,并且这种函数的解析式不同于以往的一次函数,为进一步研究反比例函数做知识准备,同时调动学生学习的欲望,实现了让学生感知反比例函数的目的.
[过渡语] 刚才同学们总结的函数关系式,不是我们学过的函数类型,接下来让我们一起研究这类函数的特征吧!
观察前面的三个函数关系式,思考:
(1)这三个函数是一次函数吗?
(2)这些函数表达式具有怎样的共同特征?
(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?
(4)你能给这类函数下一个定义吗?
【师生活动】 学生思考后,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳结论.
教师引导学生从两个方面思考:
一是与一次函数的解析式对比;
二是看给出的三个函数关系式是整式还是分式.
总结:
【课件展示】 一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.
在反比例函数y=中,自变量x的取值范围是不等于0的实数.
【思考】
(1)在反比例函数y=中,k,x,y可以取任意实数吗?
(2)反比例函数y=中,自变量x的指数是1吗?
(3)反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗?
【师生活动】 学生独立思考后,小组交流,学生回答时教师及时点评和引导,师生共同归纳反比例函数概念的有关特点:
(1)反比例函数中,比例系数k≠0,自变量x≠0,函数值y≠0.
(2)反比例函数y=右边是分式形式,x的指数是-1.
(3)反比例函数的三种表示形式:
y=,xy=k,y=kx-1.
[设计意图] 通过学生观察思考、小组交流讨论,依据老师设计的问题,类比已学的一次函数,归纳出反比例函数的特征,让学生经历概念的形成过程,达到真正理解反比例函数定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力.
思路二
出示下列几个问题:
4.已知北京市的总面积为1.68×
104km2,人均占有面积S(单位:
km2/人)与全市总人口n(单位:
人)的函数表达式为 .
【学生活动】 独立完成后,小组内交流答案,教师对学生答案进行点评.
4.S=
(1)每个事例中的中两个变量是什么?
(3)上述几对量之间每对量都成反比例吗?
(4)你能不能再举出几个具有这种特征的例子?
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,确定几个问题中的每对量都成反比例,并归纳函数表达式的共同特征,教师对学生的回答进行点评归纳.
[设计意图] 问题情境既有教材“做一做”栏目的问题,又有新增设的问题,这些事例要求学生从实际问题中找到两个变量之间的函数表达式,为形成反比例函数的概念、辨析反比例函数做好准备.
[过渡语] 刚才同学们列出了相关的4个函数表达式,接下来我们开始研究这些函数表达式的特征吧!
1.反比例函数的一般形式.
思考下列问题:
(1)这四个函数都是一次函数吗?
问题提示:
通常情况下,我们用y表示函数,用k表示常量,用x表示自变量.对于这四个特殊的函数,学生可以初步总结为y=.
2.理解反比例函数的概念.
问题1
反比例函数的一般式y=的右边是什么式子?
(提示:
分式,其他的函数都是单项式或多项式)
问题2
反比例函数y=的比例系数k、自变量x取值有什么要求?
都是不能为0的实数)
问题3
反比例函数解析式还可以写成其他形式吗?
两个变量的乘积为定值;
自变量x的指数为-1)
【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流,教师对学生的回答作出点评和归纳.
[设计意图] 通过回答教师提出的问题,让学生理解反比例函数的意义,能用数学语言表达反比例函数的表达式,并能理解自变量的取值范围,掌握判断反比例函数的方法.通过学生的观察、思考、合作、交流,反比例函数概念的模型建立也就会水到渠成.
二、例题讲解
[过渡语] 我们通过实例归纳总结了反比例函数的概念,试试能不能解决下列问题.
下列函数:
①y=;
②y=;
③y=;
④y=;
⑤xy=2;
⑥y=.其中是反比例函数的是 (填序号),它们的比例系数k分别是 .
〔解析〕 按照反比例函数的概念判断,易得①②④⑤是反比例函数,其中k分别为5,0.4,,2.
〔答案〕 ①②④⑤ 5,0.4,,2
若y=(a-2)x|a|-3是反比例函数,则a的值为 .
【师生活动】 学生独立思考后,小组交流答案,教师对学生的答案进行点评,并强调易错点.
〔解析〕 根据反比例函数概念可得,反比例函数满足两个条件:
①常数k≠0;
②自变量x的指数为-1.由题意可得|a|-3=-1,且a-2≠0,解得a=-2.故填-2.
[设计意图] 通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点,特别是忽略k≠0这一易错点.
(教材129页例1)写出下列问题中y与x之间的函数关系式,指出其中的正比例函数和反比例函数,并写出它们的比例系数k.
(1)y与x互为相反数.
(2)y与x互为负倒数.
(3)y与2x的积等于a(a为常数,且a≠0).
【师生活动】 学生独立完成后小组内交流答案,教师点评学生的答案,并强调易错点.
解:
(1)因为y+x=0,即y=-x,
所以y是x的正比例函数,比例系数k=-1.
(2)因为xy=-1,即y=,
所以y是x的反比例函数,比例系数k=-1.
(3)因为2xy=a,即y=,
所以y是x的反比例函数,比例系数k=a.
[设计意图] 通过书写函数关系式,并认识比例系数k,对正比例函数和反比例函数本质属性进行比较,加深对反比例函数的理解.
(教材129页例2)已知y是x的反比例函数,当x=4时,y=6.
(1)写出这个反比例函数的表达式.
(2)当x=-2时,求y的值.
〔解析〕 类比一次函数求解析式的方法——待定系数法,设出函数解析式,将一对x,y的值代入,求出待定系数k.
【师生活动】 师生共同复习待定系数法求函数解析式,然后学生独立完成,并板书过程,学生之间互相纠正错误答案,教师点评,并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤.
(1)设y=.
把x=4,y=6代入y=,得k=24.
所以这个反比例函数的表达式为y=.
(2)当x=-2时,y==-12.
[设计意图] 通过复习待定系数法,用待定系数法求反比例函数关系式,并让学生体会在反比例函数关系式中,代入一对x,y的值即可求出函数关系式.同时让学生体会建模思想在数学中的应用.
[知识拓展]
1.反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的左边是函数,右边为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如y=,y=等都是反比例函数,但y=中,y就不是x的反比例函数.
2.反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成xy=k(k≠0),y=kx-1(k≠0)的形式.
1.反比例函数的概念:
一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.
2.反比例函数满足的条件:
(1)自变量的指数是-1;
(2)比例系数不为0.
3.反比例函数的三种表示形式:
y=;
xy=k;
y=kx-1.
4.反比例函数自变量的取值范围:
x≠0.
1.下列函数中是反比例函数的是( )
A.y=2x+1B.y=
C.y=D.2y=x
解析:
A中函数是一次函数,不是反比例函数;
B中函数自变量x的指数不是-1,不是反比例函数;
C中函数符合反比例函数的定义;
D中函数是正比例函数,不是反比例函数.故选C.
2.反比例函数y=-中,k的值是( )
A.2B.-2
C.-D.-
根据反比例函数定义可得,比例系数k为-.故选C.
3.若函数y=(m-1)为反比例函数,则m的值是 ,此函数的表达式为 .
根据反比例函数定义可得,m2-2=-1,且m-1≠0,解得m=-1,此时函数表达式为y=-.
答案:
-1 y=-
4.长方体的体积为103m3,底面积为Sm2,高度为dm,用d表示S的函数关系式为 ;
当S=500m2时,d= m.
因为体积V=Sd,所以S=,把S=500代入函数解析式,得d=2.
S= 2
5.已知y与3x成反比例,且当x=1时,y=.
(1)写出y与x的函数表达式;
(2)当x=时,求y的值;
(3)当y=时,求x的值.
(1)设y与x的函数表达式为y=,
把x=1,y=代入,得,所以k=2,
所以y与x的函数表达式为y=.
(2)当x=时,y=2.
(3)当y=时,,解得x=.
一、教材作业
【必做题】
教材第130页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第130页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列关系中,两个量之间为反比例函数关系的是( )
A.正方形的面积S与边长a的关系
B.正方形的周长L与边长a的关系
C.长方形的长为a,宽为20,其面积S与a的关系
D.长方形的面积为40,长为a,宽为b,a与b的关系
2.下列函数中,不是反比例函数的是( )
A.y=-B.y=
C.y=D.3xy=2
3.下列反比例函数中,当x=2时,y的值为-3的是( )
A.y=B.y=-
C.y=-D.y=-
4.若y=(a+1)是反比例函数,则a的值为( )
A.1B.-1
C.±
1D.任意实数
5.已知y是x的反比例函数,并且当x=-3时,y=-2,则y与x的函数关系式为 .
6.已知反比例函数y=中,k=-12,则当x=2时,y= ;
当y=-4时,x= .
7.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的,高为y,面积为60,则y与x的函数表达式是 .(不考虑x的取值范围)
8.已知y与x的函数解析式为y=.
(1)请完成下表:
x
-3
-1
1
3
y
(2)求当x=-10时函数y的值;
(3)求当y=6时自变量x的值.
【能力提升】
9.将x=代入反比例函数y=-中,所得函数值记为y1,又将x=y1+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y2,再将x=y2+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y3,…,如此继续下去,则y2014= .
10.已知一个长方体的体积是100cm3,它的长是ycm,宽是5cm,高是xcm.
(1)写出用高表示长的解析式;
(2)当x=3时,求y的值.
【拓展探究】
11.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;
当x=2时,y=5.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当x=4时,求y的值.
【答案与解析】
1.D(解析:
正方形的面积S与边长a的关系为S=a2,不是反比例函数关系;
正方形的周长L与边长a的关系为L=4a,不是反比例函数关系;
长方形的长为a,宽为20,其面积S与a的关系为S=20a,不是反比例函数关系;
长方形的面积为40,长为a,宽为b,a与b的关系为a=,是反比例函数关系.故选D.)
2.C(解析:
A,B,D符合反比例函数的定义,C函数中的分母不是单项式,所以不是反比例函数.故选C.)
3.B(解析:
把x=2分别代入各选项求出y的值,只有B中y的值为-3.故选B.)
4.A(解析:
根据反比例函数的定义,得a2-2=-1,且a+1≠0,解得a=1.故选A.)
5.y=(解析:
设y与x之间的关系式为y=,把x=-3,y=-2代入,得k=6,所以y与x之间的关系式为y=.故填y=.)
6.-6 3(解析:
把x=2代入y=-,得y=-6;
把y=-4代入y=-,得-4=-,解得x=3.)
7.y=(解析:
根据梯形的面积公式可得,y=60,化简得y=.故填y=.)
8.解:
(1)-1 -3 3 1
(2)当x=-10时,y=-. (3)当y=6时,6=,解得x=.
9.-(解析:
把x=代入,得y1=-,则x2=-+1=-,所以y2=2,则x3=2+1=3,所以y3=-,则x4=-+1=,所以y4=-,…,观察y1=y4,所以三组循环出现,2014除以3余数为1,所以y2014=y1=-.)
10.解:
(1)y=.
(2)当x=3时,y=.
11.解:
(1)设y1=k1x,y2=,则y=y1+y2=k1x+.把x=1,y=4;
x=2,y=5代入,得解得所以y=2x+.
(2)当x=4时,y=2×
4+.
本节课精心设计教学导入环节,通过跨学科实际问题和生活实际问题导入新课,激发学生学习本节课的兴趣,通过回顾由成正比例的量抽象出正比例函数