勾股定理证明和逆定理及详解中考题文档格式.docx

勾股定理证明和逆定理及详解中考题文档格式.docx

《勾股定理证明和逆定理及详解中考题文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理证明和逆定理及详解中考题文档格式.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

，则△ABC为（ 

A、直角三角形 

B、等腰三角形

C、等边三角形 

D、等腰直角三角形

6、以下列各线段为边，能组成直角三角形的是（ 

A、2，5，8 

B、1，1，2

C、3，5，4 

D、2，4，6

7、以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（ 

A、3、4、6 

B、9、12、15

C、5、12、14 

D、10、16、25

8、如图，一块四边形ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°

，AB=13m，BC=12m，则这块地的面积为（ 

）㎡．

A、24 

B、30

C、48 

D、60

9、若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣b）•（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC是（ 

C、等腰直角三角形 

D、等腰三角形或直角三角形

10、直角三角形中两个直角边为a，b，斜边为c，斜边上的高为h，那么c+h，a+b，h为三边构成的三角形是（ 

B、锐角三角形

D、钝角三角形

11、一个三角形的三边分别是m2+1、2m、m2﹣1，则此三角形是（ 

A、锐角三角形 

B、直角三角形

C、钝角三角形 

D、等腰三角形

12、若a、b、c为三角形三边长，则下列各项中不能构成直角三角形的是（ 

A、a=6，b=8，c=10 

B、a=7，b=24，c=25

C、a=1，b=2，c=3 

D、

（n，0）

13、△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）=c2，则（ 

A、a边的对角是直角 

B、b边的对角是直角

C、c边的对角是直角 

D、△ABC不是直角三角形

二、填空题（共9小题）

14、（2008•湖州）利用图

（1）或图

（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名

的定理，这个定理称为　_________　，该定理的结论其数学表达式是　_________　．

15、在△ABC中，AB=5，AC=12，CB=13，D、E为边BC上的点，满足BD=1，CE=8．则∠DAE的度数为　_________　．

16、在△ABC中，设CD是高，若BC=6，CA=8，AB=10，则CD=　_________　．

17、在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=　_________　．

18、如果△ABC的三边长a，b，c满足关系式（a+2b﹣60）2+|b﹣18|+

=0，则a=　_________　，b=　_________　，c=　_________　，△ABC是　_________　三角形．

19、若a，b，c分别是△ABC的三条边长，且a2﹣6a+b2﹣10c+c2=8b﹣50，则这个三角形的形状是　_________　．

20、如图，Rt△ABC中，∠C=90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为　_________　．

21、△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A=　_________　度．

22、已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2=0，则△ABC的形状是　_________　．

三、解答题（共8小题）

23、（2010•孝感）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明．著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．

请根据图1中直接三角形叙述勾股定理．

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理；

利用图2中的直角梯形，我们可以证明

＜

．其证明步骤如下：

∵BC=a+b，AD=　_________　；

又∵在直角梯形ABCD中有BC　_________　AD（填大小关系），即　_________　．

∴

．

24、已知（如图）：

用四块底为b、高为a、斜边为c的直角三角形拼成一个正方形，求图形中央的小正方形的面积，你不难找到：

解法

（1）小正方形的面积=　_________　；

解法

（2）小正方形的面积=　_________　；

由解法

（1）、

（2），可以得到a、b、c的关系为：

　_________　．

25、如图，两个直角三角形的直角边a，b在同一直线上，斜边为c，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理．

26、美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理．

27、4个直角三角形拼成右边图形，你能根据图形面积得勾股定理吗？

28、如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理．

29、请选择一个图形来证明勾股定理．（可以自己选用其他图形进行证明）

30、用下面的图形验证勾股定理（虚线代表辅助线）：

赵君卿图．

答案与评分标准

考点：

勾股定理的证明。

分析：

先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．

解答：

解：

过D点作DE⊥BC于E．

∵∠A=90°

，AB=4，BD=5，

∴AD=

=

=3，

∵BD平分∠ABC，∠A=90°

，

∴点D到BC的距离=AD=3．

故选A．

点评：

本题利用勾股定理和角平分线的性质．

坐标与图形性质；

勾股定理的逆定理。

当∠A=90°

时，满足条件的C点2个；

当∠B=90°

当∠C=90°

时，满足条件的C点2个．所以共有6个．

∵点A，B的纵坐标相等，

∴AB∥x轴，点C到距离AB为5，并且在平行于AB的两条直线上．

∴满足条件的C点有：

（1，6），（6，6），（11，6），（1，﹣4），（6，﹣4），（11，﹣4）

故选C．

用到的知识点为：

到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．

欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

A、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；

B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；

C、52+62≠72，不能构成直角三角形，故不符合题意；

D、62+72≠82，不能构成直角三角形，故不符合题意．

本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

判定是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．

①12+22=5≠22，故不是直角三角形，故错误；

②122+52=132，故是直角三角形，故正确；

③62+72=85≠82，故不是直角三角形，故错误；

④42+32=52，故是直角三角形，故正确．

勾股定理的逆定理；

非负数的性质：

绝对值；

偶次方；

算术平方根。

由题意可知a+b=50，a﹣b=32，c=40，就可求出a、b长分别为41，9，而412=402+92，所以△ABC为直角三角形．

由题意可知a+b=50，a﹣b=32，c=40，

∴a=41，b=9

∵412=402+92

∴△ABC为直角三角形．

本题考查了勾股定理的应用，以及非负数的性质，是一道综合性的题目，难度中等．

A、22+52=29≠82，故不是直角三角形，错误；

B、12+12=2≠22，故不是直角三角形，错误；

C、32+42=52，故是直角三角形，正确；

D、22+42=20≠62，故不是直角三角形，错误．

A、32+42≠62，故不是直角三角形，故不正确；

B、92+122=152，故是直角三角形，故正确；

C、52+122≠142，故不是直角三角形，故不正确；

D、102+162≠252，故不是直角三角形，故不正确．

故选B．

勾股定理。

专题：

计算题。

连接AC，由AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°

利用勾股定理可求出AC的长，在根据AB=13m，BC=12m，利用勾股定理的逆定理可证△ACB为直角三角形，然后即可求出这块地的面积．

连接AC，

∵AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°

∴AC=

=5，

∵AB=13m，BC=12m，

∴AB2=BC2+CD2，即△ABC为直角三角形，

∴这块地的面积为S△ABC﹣S△ACD=

AC•BC﹣

AD•CD=

×

5×

12﹣

3×

4=24．

此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，难度不大，解答此题的关键是连接AC，求出三角形ABC的面积，再减去三角形ACD的面积即可．

等腰三角形的判定。

了解等腰三角形和直角三角形判定标准，是解题的关键．

∵（a﹣b）•（a2+b2﹣c2）=0，∴（a﹣b）=0或（a2+b2﹣c2）=0，

即a=b或a2+b2=c2，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

故选D．

本题利用了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理求解．

应用题。

先利用勾股定理得到a，b，c，h之间的关系，再根据勾股定理逆定理判定所求的三角形是直角三角形．

根据题意可知：

a2+b2=c2，ab=ch，

∵（c+h）2=c2+2ch+h2，

（a+b）2=a2+2ab+b2，

∴（a+b）2+h2=（c+h）2，

∴三角形是直角三角形．

主要考查了勾股定理逆定理的运用．要会熟练利用勾股定理的逆定理来判定直角三角形．

探究型。

根据勾股定理的逆定理进行解答即可．

∵（2m）2+（m2﹣1）2=4m2+m4+1﹣2m2=m4+1+2m2=（m2+1）2．

∴此三角形是直角三角形．

本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

根据三角形形成的条件：

任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先确定能否构成三角形，再根据勾股定理的逆定理，判断能否构成直角三角形．

A、∵6+8＞10，且62+82=102，∴能构成直角三角形；

B、∵7+24＞13，且72+242=252，∴能构成直角三角形；

C、∵1+2=3，∴不能构成三角形，∴更不能构成直角三角形；

D、∵n+

n＞2n，且n2+（

n）2=（2n）2，∴能构成直角三角形．

本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形必须符合勾股定理的逆定理，三角形形成的条件：

任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

把式子写成a2﹣b2=c2的形式，确定a为最长边，则可判断边a的对角是直角．

∵（a+b）（a﹣b）=c2，

∴a2﹣b2=c2，

∴a为最长边，

∴边a的对角是直角．

此题考查勾股定理逆定理的应用，判断最长边是关键．

的定理，这个定理称为　勾股定理　，该定理的结论其数学表达式是　a2+b2=c2　．

证明题。

通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．

用图

（2）较简单，

如图正方形的面积=（a+b）2，

用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×

ab+c2，

即（a+b）2=4×

ab+c2化简得a2+b2=c2．

这个定理称为勾股定理．

故答案为：

勾股定理、a2+b2=c2．

本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．

15、在△ABC中，AB=5，AC=12，CB=13，D、E为边BC上的点，满足BD=1，CE=8．则∠DAE的度数为　45°

　．

正弦定理与余弦定理；

勾股定理；

数形结合。

首先由已知可得△ABC是直角三角形，则可求得∠B与∠C的余弦值，在△ABD与△AEC中利用余弦定理即可求得AD与AE的值，再在△ADE中用余弦定理求得∠DAE的余弦值，即可求得∠DAE的度数．

∵AB=5，AC=12，CB=13，

∴AB2+AC2=CB2，

∴∠BAC=90°

∴cos∠B=

，cos∠C=

∵BD=1，CE=8，

∴DE=4，

∴AD2=AB2+BD2﹣2•AB•BD•cos∠A=25+1﹣2×

1×

=26﹣

AE2=AC2+CE2﹣2•AC•CE•cos∠C=144+64﹣2×

12×

8×

=208﹣

，AE=

∴cos∠DAE=

∴∠DAE=45°

45°

此题考查了余弦定理的知识以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，解题时注意数形结合思想的应用．

16、在△ABC中，设CD是高，若BC=6，CA=8，AB=10，则CD=　4.8　．

三角形的面积；

根据勾股定理的逆定理可以判定△ABC为直角三角形，用两条直角边和斜边及斜边的高分别求三角形ABC的面积，运用面积法可以计算CD．

已知BC=6，CA=8，AB=10，

且BC2+CA2=AB2，

∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边，

所以Rt△ABC面积=

BC•CA=

AB•CD，

解得CD=4.8．

4.8．

本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，本题中正确的判定三角形是直角三角形是解题的关键．

17、在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=　5　．

根据BD，AD，AB的长度可以判定△ABD为直角三角形，即AD⊥BC，又∵D为BC的中点，可以判定△ABC为等腰三角形，且AB=AC．

在△ABD中，已知AB=5，AD=4，BD=3，

满足AB2=AD2+BD2，

∴△ABD是直角三角形，

即AD⊥BC，

又∵D为BC的中点，

∴△ABC为等腰三角形，且AB=AC，

∴AC=5．

故答案为5．

本题考查了根据勾股定理的逆定理来判定直角三角形，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证△ABC是等腰三角形是解题的关键．

=0，则a=　24　，b=　18　，c=　30　，△ABC是　直角　三角形．

先根据非负数的性质求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理解答．

∵（a+2b﹣60）2+|b﹣18|+

=0，

∴a=24，b=18，c=30，

∵242+182=302，

∴△ABC是直角三角形．

本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．

19、若a，b，c分别是△ABC的三条边长，且a2﹣6a+b2﹣10c+c2=8b﹣50，则这个三角形的形状是　直角三角形　．

完全平方公式。

利用完全平方公式把这个式子写成平方几个非负数的和的形式，求得a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可．

∵a2﹣6a+b2﹣10c+c2=8b﹣50

∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25=0

∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0

∴a=3，b=4，c=5

∴这个三角形的形状是直角三角形．

本题考查完全平方公式和勾股定理的逆定理在实际中的运用，注意运用几个非负数的和为0，那么这几个数均为0这个知识点．

20、如图，Rt△ABC中，∠C=90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为　6　．

含30度角的直角三角形。

运用线段垂直平分线的性质得∠A=∠ABE，根据折叠的性质得∠ABE=∠CBE，然后根据直角三角形的性质计算．

根据题意，得DE垂直平分AB，则AE=BE．

得∠A=∠ABE

根据折叠，得∠ABE=∠CBE

再根据直角三角形的两个锐角互余得∠A=∠ABE=∠CBE=30°

∴CE=

BE=2

则AC=4+2=6．

此题综合了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，所以学生学过的知识要系统．

21、△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A=　30　度．

等边三角形的判定。

由题意得出△AEO和△OEC全等以及△OCF和△OFB全等，再根据全等三角形的定义，求得对应的边相等．而OC=CB=OB，则△OCB为等边三角形，得出∠B=60°

，最后求出∠A的度数．

如图所示，OE，OF分别是边AC，BC的