高中数学函数知识点总结全Word下载.docx
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9.求函数的定义域有哪些常见类型？
例：
函数yV罕的定义域是
lgx3
函数定义域求法
分式中的分母不为零偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
10.如何求复合函数的定义域？
如：
函数f（x）的定义域是a,b,ba0,则函数F（x）f（x）f（x）的定
义域是
11、函数值域的求法
1直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到
1
例求函数y=的值域
x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2
例、求函数y=x-2x+5，x[-1，2]的值域。
3、判别式法
a.y
b.y
K
二型：
直接用不等式性质
k+x2
bx
型,先化简，再用均值不等式
mxn
例:
1+x2
11
丄12
x+
c..y
d.y
x2mxnx2mxn
型
mx
n型通常用判别式
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简不必拘泥在判别式上面
xn
法一：
用判别式
法二：
用换元法，把分母替换掉
y
x2x1
x1
（x+1）2（x+1）+1
（x+1）
1211
5、函数有界性法
，最常用的就是
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性
三角函数的单调性。
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例求函数y=x+x1的值域。
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
求函数y=（x+（X8）2的值域。
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例求函数y=—仝2的值域
x3
12.求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？
，不要犯我当年的错
切记：
做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商
误，与到手的满分失之交臂
fv'
x1exx，求f（x）.
15.如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
（1）定义法：
根据定义，设任意得X1,X2,找出f（Xl）,f（X2）之间的大小关系
f（X|）f（x2）f（x-i）
可以变形为求1-的正负号或者-与1的关系
X1X2f（x2）
（2）参照图象：
1若函数f（X）的图象关于点（a，b）对称，函数f（X）在关于点（a，0）的对称区间具有相同的单调性；
（特例：
奇函数）
2若函数f（X）的图象关于直线x=a对称，贝V函数f（X）在关于点（a,0）的对称区间里具有相反的单调性。
偶函数）
⑶利用单调函数的性质：
1函数f（x）与f（x）+c（c是常数）是同向变化的
2函数f（x）与cf（x）（c是常数）,当C>
0时，它们是同向变化的；
当CV0时，它们是反向变化的。
3如果函数f1（x）,f2（x）同向变化，贝恼数f1（x）+f2（x）和它们同向变化；
（函数相加）
4如果正值函数f1（x）,f2（x）同向变化，贝V函数f1（x）f2（x）和它们同向变化；
如果负值函数f1
（2）与f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们反向变化；
（函数相乘）
5函数f（x）与在f（x）的同号区间里反向变化。
6若函数U=0（x）,X[a,3与函数y=F（U）,u€[0（a,0（B）]或u€[0（a）]同向变化，则在[a,3上复合函数
y=F[0（X）]是递增的；
若函数U=0（x）,x[a,3与函数y=F（U）,U€[0（a）,0（3）]或u€[0（®
0（a）]反向变化，则在[a,3上复合函数y=F[0（x）]是递减的。
（同增异减）
7若函数y=f（x）是严格单调的，则其反函数x=广1（y）也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
f（g）
g（x）
f[g（x）]
f（x）+g（x）
f（x）*g（x）
都是正
数
增
减
/
17.函数f（x）具有奇偶性的条件是什么？
（f（x）定义域关于原点对称）
若f（x）f（x）总成立f（x）为奇函数函数图象关于原点对称
若f（x）f（x）总成立f（x）为偶函数函数图象关于y轴对称
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：
两个奇函数的乘积是偶函数；
两个偶函数的乘积是偶函数；
一个偶函数与奇函数的乘积
是奇函数。
（2）若f（x）是奇函数且定义域中有原点，则f（0）0。
（3）f（x）是定义域在（-6,0）,（0,6）上的奇函数，若x>
0时f（x）=求xv0时f（x）
判断函数奇偶性的方法
一、定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件•若函数的定义域不关于
原点对称，则函数为非奇非偶函数•
奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下
，计算f（X）,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性
这种方法可以做如下变形
f（x）+f（-x）=0f（x）-f（-x）=0
f（x）
f（-x）
奇函数
偶函数
复合函数奇偶性
奇
偶
非奇非
18.（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf（x），则f（x）为周期函数
，T是一个周期。
若fxaf（x），贝U
这时说这个函数周期2t.
我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况
告诉你f（x）+f（x+t）=0,我们要马上反应过来
f（x）f（x2t）
f（x）f（xt）0推导：
f（xt）f（x2t）0
同时可能也会遇到这种样子
f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）.其实这都是说同样一个意思
函数f（x）关于直线对
称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。
比如，f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）就都表示函数关于
直线x=a对称。
f（x）f（2ax）
f（x）f（2bx）
f（2ax）f（2bx）
又如：
若f（x）图象有两条对称轴xa,xb即f（ax）f（ax），f（bx）f（bx）
令t2ax,则2bxt2b2a,f（t）f（t2b2a）即f（x）f（x2b2a）
所以，函数f（x）以2|ba|为周期（因不知道a,b的大小关系,为保守起见，我加了一个绝对值
19•你掌握常用的图象变换了吗？
f（x）与f（x）的图象关于y轴对称联想点（x,y）,（-x,y）
f（x）与f（x）的图象关于X轴对称联想点（x,y）,（x,-y）
f（x）与f（x）的图象关于原点对称联想点（x,y）,（-x,-y）
f（x）与f1（x）的图象关于直线yx对称联想点（x,y）,（y,x）
f（x）与f（2ax）的图象关于直线xa对称联想点（x,y）,（2a-x,y）
f（x）与f（2ax）的图象关于点（a,0）对称联想点（x,y）,（2a-x,0）
将yf（x）图象
左移a（a0）个单位
yf（x
a）
右移a（a0）个单位
上移b（b0）个单位
yf（xa）b
下移b（b0）个单位
注意如下翻折”变换：
f（x）|f（x）|把x轴下方的图像翻到上面f（x）f（|x|）把y轴右方的图像翻到上面
19.
0（k为斜率，b为直线与y轴的交点）
（1）一次函数：
kxbk
（2）反比例函数:
0推广为y
k0是中心O'
（a,b）
的双曲线。
（3）二次函数y
2ax
bxca0a
b
2a
警图象为抛物线
4acb2
顶点坐标为—，
2a4a
，对称轴x
开口方向：
a0,向上，函数
ymin
4ac
b2
4a
根的关系：
bV
x1x2
xi
a
c.
x2,|xi
a0，向下，ymax
X2I
二次函数的几种表达形式:
V
|a|
f（x）
f（X）
ax2bxc（一般式）
a（xm）2n（顶点式，（m,n）为顶点
a（xxj（xx2）（x.|,x2是方程的2个根）
f（x）a（xxj（xx2）h（函数经过点（x「h）（x2,h）
应用：
①三个二次”二次函数、二次方程、二次不等式）的关系一一二次方程
ax2bxc0，0时，两根x1>
x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴
的两个交点，也是二次不等式
ax2bxc0（0）解集的端点值
区间在对称轴左边（n
区间在对称轴右边（m
区间在对称轴2边（n
4acb2r
fmin,fmax
fmax
m）
f（m）,fmin
f（n）,fmin
max（f（m）,f（n））
f（n）
f（m）
②求闭区间［m,n］上的最值。
也可以比较m,n和对称轴的关系，距离越远，值越大
（只讨论a0的情况）
3求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
4一元二次方程根的分布问题
二次方程ax2bxc0的两根都大于k
f（k）
一根大于k，一根小于k
在区间（m，n）内有2根
m
bn2a
f（m）
f（n）
在区间（m，n）内有1根
f（m）f
（n）0
f（k）0
（4）指数函数:
axa0，a1
k
（6）“对勾函数”yxkk0
利用它的单调性求最值
21.如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
女如:
（1）xR,f（x）满足f（xy）f（x）f（y），证明f（x）为奇函数（先令xy0f（0）0再令yx，）
（2）xR，f（x）满足f（xy）f（x）f（y），证明f（x）是偶函数。
（先令xytf（t）（t）f（t•t）
•••f（t）f（t）f（t）f（t）
•-f（t）f（t）……）
（3）证明单调性：
f（x2）fx2X!
x2
（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、代y=x，
2、令x=0或1来求出f（0）或f
（1）
3、求奇偶性，令y=—x;
求单调性：
令x+y=x1
几类常见的抽象函数
1.正比例函数型的抽象函数
f（x）=kx（k丸）f（x±
y）=f（x）±
f（y）
2.幕函数型的抽象函数
f（x）=xaf（xy）=f（x）f（y）;
f（-）=
yf（y）
例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）=f（x）+f（y）,且当x>
0时，f（x）>
0,f（—1）=—2求
f（x）在区间［—2,1］上的值域.
例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）+2=f（x）+f（y）,且当x>
2,f（3）=5,求
不等式f（a2—2a—2）<
3的解.
例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）f（y）,且f（—1）=1,f（27）=9,当0<
x<
1
时，f（x）€［0,1］.
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0,+^］上的单调性，并给出证明;
（3）若a>
0且f（a+1）<
39,求a的取值范围.
例4设函数f（x）的定义域是（—8,+^）,满足条件：
存在x1^x2,使得f（X1）zf（X2）;
对任何x和y,f（x+y）=f（x）f（y）成立.求：
（1）f（0）；
（2）对任意值x,判断f（x）值的符号.
例5是否存在函数f（x）,使下列三个条件：
①f（x）>
0,x€N:
②f（a+b）=f（a）f（b）,a、b€N:
③f
（2）=4•同时成立？
若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.
例6设f（x）是定义在（0,+^）上的单调增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y）,f（3）=1,求:
（1）f
（1）；
（2）若f（x）+f（x—8）<
2,求x的取值范围•
例7设函数y=f（x）的反函数是y=g（x）.如果f（ab）=f（a）+f（b）,那么g（a+b）=g（a）g（b）是否正确，试说明理由
例9已知函数f（x）（x丸）满足f（xy）=f（x）+f（y）,
（1）
求证:
f
（1）=f（—1）=0;
（2）
求证：
f（x）为偶函数；
（3）
若f（x）在（0,+s）上是增函数，解不等式f（x）+f（x—）W0.
例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）工0,f（x+y）=f（x）f（y）,且当xv0时，f（x）>
1,求证:
（1）当x>
0时，0vf（x）v1；
（2）f（x）在x€R上是减函数•
练习题：
1.已知：
f（x+y）=f（x）+f（y）对任意实数x、y都成立，则（）
（A）f（0）=0（B）f（0）=1
（C）f（0）=0或1（D）以上都不对
2.若对任意实数x、y总有f（xy）=f（x）+f（y）,贝U下列各式中错误的是（）
（A）f
（1）=0（B）f（）=f（x）
（C）f（）=f（x）-f（y）（D）f（xn）=nf（x）（n€N）
3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：
f（0）工0,f（x+y）=f（x）f（y）,且当xv0时，f（x）>
1,则当x>
0时，f（x）的取值范围是（）
（A）（1,+m）（B）（-m,1）
（C）（0,1）（D）（-1,+^）
4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的X1、X2都有
f（xjf（x2）
f（X1—x2）=--，则f（x）为（）
1f（Xjf（X2）
（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x+y）+f（x—y）=2[f（x）+f（y）],贝U函数f（x）是
（）
函数
1.函数的奇偶性
（1）若f（x）是偶函数，那么f（x）=f（—x）=J；
（2）若f（x）是奇函数，0在其定义域内，则°
（可用于求参数）；
（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：
f（x）±
）=0或厕（f（x）丰;
0）
（4）若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；
（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；
偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
2.复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：
若已知八）的定义域为［a,b］，其复合函数f［g（x）］的定义域由不等式a<
g（x）嚥b出即可；
若已知f［g（x）］的定义域为［a,b］,求f（x）的定义域，相当于x€［a,b］时，求g（x）的值域（即f（x）的定义域）；
研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
（2）复合函数的单调性由同增异减”判定；
3•函数图像（或方程曲线的对称性）
（1）证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然；
（3）曲线C1:
f（x,y）=0,关于y=x+a（y=-x+a）的对称曲线C2的方程为f（y—a,x+a）=0（或f（—y+a,—x+a）=0）;
（4）曲线C1：
f（x,y）=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：
f（2a—x,2b—y）=0;
（5）若函数y=f（x）对x€R时，f（a+x）=f（a—x）恒成立，则y=f（x）图像关于直线x=a对称；
04-6
（6）函数y=f（x—a）与y=f（b—x）的图像关于直线x=上对称；
4•函数的周期性
（1）y=f（x）对x€R时,f（x+a）=f（x—a）或f（x—2a）=f（x）（a>
0）恒成立，则y=f（x）是周期为2a的周期函数；
（2）若y=f（x）是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f（x）是周期为2|a丨的周期函数；
（3）若y=f（x）奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f（x）是周期为4丨a丨的周期函数;
（4）若y=f（x）关于点（a,O）,（b,O）对称，则f（x）是周期为2如_创的周期函数；
（5）y=f（x）的图象关于直线x=a,x=b（a祠■称,贝U函数y=f（x）是周期为2°
引的周期函数;
L
（6）y=f（x）对x€R时，f（x+a）=—f（x）（或f（x+a）=八■"
则y=f（x）是周期为2‘彳的周期函数；
5•方程k=f（x）有解Ok€D（D为f（x）的值域）;
6.a>
f（x恒成立Ca》[f（x）]max,；
a<
f（x恒成立CaW[f（x）]min；
7.
（1）（a>
0,a工1,b>
0,nR+）;
《2）logaN=松（a>
0,b工1）;
⑶Iogab的符号由口诀同正异负”记忆；
⑷alogaN=N（a>
0,a丰1,N>
0）;
8.判断对应是否为映射时，抓住两点：
（1）A中元素必须都有象且唯一；
（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元
素在B中可以有相同的象；
9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
10.对于反函数，应掌握以下一些结论：
（1）定义域上的单调函数必有反函数；
（2）奇函数的反函数也是奇函数；
（3）定
义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；
（4）周期函数不存在反函数；
（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；
⑸y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数，设f（x）的定义域为A,值域为B,则有f[f-—1（x）]=x（x€B）,f-—1[f（x）]=x（x€A）.
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；
二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用两看法”：
一看开口方向；
二看对称轴与所给区间的相对位置关系
12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：
/（町帆城J>
0（或
（或）；
13.恒成立问题的处理方法：
（1）分离参数法；
（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式（组）求解;
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