北京理工大学随机信号分析实验报告Word格式.docx
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3、(ran0)
由均匀分布随机数,可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理1.1若随机变量X具有连续分布函数FX(x),而R为(0,1)均匀分布随机变量,则有
由这一定理可知,分布函数为FX(x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。
2、MATLAB中产生随机序列的函数
(1)(0,1)均匀分布的随机序列
函数:
rand
用法:
x=rand(m,n)
功能:
产生m×
n的均匀分布随机数矩阵。
(2)正态分布的随机序列
randn
x=randn(m,n)
n的标准正态分布随机数矩阵。
如果要产生服从
分布的随机序列,则可以由标准正态随机序列产生。
(3)其他分布的随机序列
MATLAB上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数,下表列出了部分函数。
MATLAB中产生随机数的一些函数
3、随机序列的数字特征估计
对于遍历过程,可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。
这里我们假定随机序列X(n)为遍历过程,样本函数为x(n),其中n=0,1,2,…,N-1。
那么,X(n)的均值、方差和自相关函数的估计为
利用MATLAB的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。
(1)均值函数
mean
m=mean(x)
返回按上面第一式估计X(n)的均值,其中x为样本序列x(n)。
(2)方差函数
var
sigma2=var(x)
返回按上面第二式估计X(n)的方差,其中x为样本序列x(n),这一估计为无偏估计。
(3)互相关函数
xcorr
c=xcorr(x,y)
c=xcorr(x)
c=xcorr(x,y,'
opition'
)
c=xcorr(x,'
xcorr(x,y)计算X(n)与Y(n)的互相关,xcorr(x)计算X(n)的自相关。
option选项可以设定为:
'
biased'
有偏估计,即
unbiased'
无偏估计,即按上面第三式估计。
coeff'
m=0时的相关函数值归一化为1。
none'
不做归一化处理。
三、实验内容
1、采用线性同余法产生均匀分布随机数1000个,计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。
改变样本个数重新计算。
线性同余法的公式如下:
实验代码:
Num=input('
Num='
);
N=2^31;
k=2^16+3;
Y=zeros(1,num);
X=zeros(1,num);
Y
(1)=1;
fori=2:
num
Y(i)=mod(k*Y(i-1),N);
end
X=Y/N;
a=0;
b=1;
m0=(a+b)/2;
sigma0=(b-a)^2/12;
m=mean(X);
sigma=var(X);
delta_m=abs(m-m0);
delta_sigma=abs(sigma-sigma0);
plot(X,'
k'
xlabel('
n'
ylabel('
X(n)'
delta_m
delta_sigma
axistight
实验结果:
A、Num=1000delta_=0.0110delta_sigma=0.0011
B、Num=5000delta_m=2.6620e-04delta_sigma=0.0020
实验结果分析:
样本值越大,实际值越接近理论值,误差越小。
2、参数为
的指数分布的分布函数为
利用反函数法产生参数为0.5的指数分布随机数1000个,测试其方差和相关函数。
R=rand(1,1000);
lambda=0.5;
X=-log(1-R)/lambda;
DX=var(X);
[Rm,m]=xcorr(X);
subplot(211);
axistight;
subplot(212);
plot(m,Rm,'
m'
R(m)'
DX=4.1201
方差的理论值应为1/(0.5^2)=4,实际值为4.1201,与其基本一致,有一定偏差。
3、产生一组N(1,4)分布的高斯随机数(1000个样本),估计该序列的均值、方差和相关函数。
产生高斯分布的随机数可使用函数normrnd,
X=normrnd(1,2,[1,1000]);
Mx=mean(X);
Dx=var(X);
Mx
Dx
Mx=0.9937Dx=3.8938
理论上,均值为1,方差为4。
实验中的均值为0.9937,方差为3.8938。
在误差允许范围内,理论值和实验值基本相同。
四、实验心得体会
本次随机信号分析实验,用于随机序列的产生和数字特征的估计,同样是用matlab的平台实现。
通过这次实验,学习和掌握随机数的产生方法、实现随机序列的数字特征估计,并用matlab产生相应的图形,更直观的了解了相关的知识。
本次实验的难点在于用线性同余法产生随机序列,在实际编程中需要用到一个FOR循环,起初并不熟悉其语法特征,经过反复的修改,运行成功。
实验二随机过程的模拟与数字特征
一、实验目的
1、学习利用MATLAB模拟产生随机过程的方法。
2、熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB实现。
二、实验原理
1、正态分布白噪声序列的产生
MATLAB提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数,其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn。
如果N(0,1),则
。
2、相关函数估计
MATLAB提供了函数xcorr用于自相关函数的估计。
xcorr(x,y)计算X(n)与Y(n)的互相关,xcorr(x)计算X(n)的自相关。
有偏估计。
无偏估计。
m=0时的相关函数值归一化为1。
3、功率谱估计
MATLAB函数periodogram实现了周期图法的功率谱估计。
periodogram
[Pxx,w]=periodogram(x)
[Pxx,w]=periodogram(x,window)
[Pxx,w]=periodogram(x,window,nfft)
[Pxx,f]=periodogram(x,window,nfft,fs)
periodogram(...)
实现周期图法的功率谱估计。
其中:
Pxx为输出的功率谱估计值;
f为频率向量;
w为归一化的频率向量;
window代表窗函数,这种用法对数据进行了加窗,对数据加窗是为了减少功率谱估计中因为数据截断产生的截断误差,下图列出了产生常用窗函数的MATLAB函数。
nfft设定FFT算法的长度;
fs表示采样频率;
1、按如下模型产生一组随机序列
其中
是均值为1,方差为4的正态分布白噪声序列。
估计过程的自相关函数和功率谱。
y0=randn(1,500);
%产生一长度为500的随机序列
y=1+2*y0;
x
(1)=y
(1);
n=500;
1:
n
x(i)=0.8*x(i-1)+y(i);
%按题目要求产生随机序列x(n)=0.8x(n-1)+w(n)
subplot(311);
plot(x);
title('
x(n)'
subplot(312);
c=xcorr(x);
%用xcorr函数求x(n)的自相关函数
plot(c);
R(n)'
p=periodogram(x);
%用periodogram函数求功率谱密度
subplot(313);
plot(p);
S(w)'
上图中分别为长度为500的样本序列、序列的自相关函数、序列的功率谱。
2、设信号为
其中
,
为正态分布白噪声序列,试在N=256和N=1024点时,分别产生随机序列x(n),画出x(n)的波形并估计x(n)的相关函数和功率谱。
(1)、N=256时
N=256;
w=randn(1,N);
%用randn函数产生一个长度为256的正态分布白噪声序列
n=1:
N;
f1=0.05;
f2=0.12;
x=sin(2*pi*f1*n)+2*cos(2*pi*f2*n)+w(n);
%产生题目所给信号
R=xcorr(x);
%求x(n)的自相关函数
%求x的功率谱
plot(R);
上图中分别为长度为256的样本序列、序列的自相关函数、序列的功率谱。
(2)、N=1024时
将上述第一行代码改为N=1024;
即可。
上图中分别为长度为1024的样本序列、序列的自相关函数、序列的功率谱。
可明显看出,功率谱集中在两个频率分量处。
这次实验学会了在MATLAB中求解并绘制随机序列的自相关函数和功率谱密度。
用MATLAB可以用具体的函数来求自相关函数和功率谱,极大的方便了学习过程。
通过本次实验,学习了利用MATLAB模拟产生随机过程的方法并且熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB实现。
实验三随机过程通过线性系统的分析
1、理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2、学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性,验证随机过程的正态化问题。
1、白噪声通过线性系统
设连续线性系统的传递函数为H()或H(s),输入白噪声的功率谱密度为SX()=N0/2,那么系统输出的功率谱密度为
SY(
)=|H(
)|2
(3.1)
输出自相关函数为
RY(
)=
H(
(3.2)
输出相关系数为
(3.3)
输出相关时间为
0=
(3.4)
输出平均功率为
E
=
(3.5)
上述式子表明,若输入端是具有均匀谱的白噪声,则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性|H(
)|决定,不再是常数。
2、等效噪声带宽
在实际中,常常用一个理想系统等效代替实际系统的H(
),因此引入了等效噪声带宽的概念,他被定义为理想系统的带宽。
等效的原则是,理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下,两个系统的输出平均功率相等,理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为
(3.6)
或
(3.7)
3、线性系统输出端随机过程的概率分布
(1)正态随机过程通过线性系统
若线性系统输入为正态过程,则该系统输出仍为正态过程。
(2)随机过程的正态化
随机过程的正态化指的是,非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。
任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的;
宽带噪声通过窄带系统,输出近似服从正态分布。
1、仿真一个平均功率为1的白噪声带通系统,白噪声为高斯分布,带通系统的两个截止频率分别为3kHz和4kHz,估计输出的自相关函数和功率谱密度函数。
(假设采样频率为10kHz)
Fs=10000;
%抽样频率为10kHz
x=randn(1000,1);
%产生随机序列,模拟高斯白噪声
figure
(1);
subplot(3,1,1);
gridon;
t'
subplot(3,1,2);
x_corr=xcorr(x,'
%计算高斯白噪声的自相关函数
plot(x_corr);
subplot(3,1,3);
[Pxx,w]=periodogram(x);
%计算功率谱密度
x_Px=Pxx;
plot(x_Px);
figure
(2);
subplot(2,1,1);
[x_pdf,x1]=ksdensity(x);
%高斯白噪声一维概率密度函数
plot(x1,x_pdf);
subplot(2,1,2);
f=(0:
999)/1000*Fs;
X=fft(x);
mag=abs(X);
%随机序列的频谱
plot(f(1:
1000/2),mag(1:
1000/2));
gridon;
f/Hz'
figure(3);
[b,a]=ellip(10,0.5,50,[3000,4000]*2/Fs);
[H,w]=freqz(b,a);
%带通滤波器
plot(w*Fs/(2*pi),abs(H));
ylabel('
H(w)'
y=filter(b,a,x);
[y_pdf,y1]=ksdensity(y);
%滤波后的概率密度函数
plot(y1,y_pdf);
y_corr=xcorr(y,'
%滤波后自相关函数
plot(y_corr);
figure(4);
Y=fft(y);
magY=abs(Y);
%随机序列滤波后频谱
1000/2),magY(1:
nfft=1024;
index=0:
round(nfft/2-1);
ky=index.*Fs./nfft;
window=boxcar(length(y_corr));
[Pyy,fy]=periodogram(y_corr,window,nfft,Fs);
%滤波后高斯白噪声功率谱
y_Py=Pyy(index+1);
plot(ky,y_Py);
2、设白噪声通过下图所示的RC电路,分析输出的统计特性。
(1)试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
(2)采用MATLAB模拟正态分布白噪声通过上述RC电路,观察输入和输出的噪声波形以及输
出噪声的概率密度。
(3)模拟产生均匀分布的白噪声通过上述RC电路,观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声
的概率密度。
(4)改变RC电路的参数(电路的RC值),重做
(2)和(3),与之前的结果进行比较。
(1)、由图中所示电路,根据电路分析的相关知识,可推导出
输出功率谱密度为:
相关函数为:
相关时间为:
等效噪声带宽为:
(2)、实验代码:
R=100;
C=0.01;
b=1/(R*C);
500;
h=b*exp(-n*b);
%RC电路的冲击响应
x=randn(1,1000);
%产生正态分布的白噪声
y=conv(x,h);
[fyy1]=ksdensity(y)%求输出噪声的概率密度
plot(y);
y(n)'
plot(fy);
fy'
(3)、实验代码:
x=rand(1,1000);
%均匀分布的白噪声
[fyy1]=ksdensity(y);
(4)、a、改变R、C值为:
R=200,C=0.01;
正态分布
均匀分布
b、改变R、C的值为:
R=10,C=0.01;
显然,系统相关时间与系统带宽成反比。
从输入及输出波形可以看出,正态随机过程通过一个线性系统后,输出仍为正态分布。
而对于任意分布的白噪声,通过一个线性系统后,输出也服从正态分布。
本次实验是关于随机信号通过线性系统的,可以看出,白噪声通过线性系统后,输出服从正态分布,从实践上验证了课本的理论,通过本次实验,理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性,并且学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性,验证随机过程的正态化问题。
实验四窄带随机过程的产生及其性能测试
1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。
2、掌握窄带随机过程的特性,包括均值(数学期望)、方差、相关函数及功率谱密度等。
1.窄带随机过程的莱斯表达式
任何一个实平稳窄带随机过程X(t)都可以表示为
上式称为莱斯表达式,根据上式可以模拟产生窄带随机过程,具体过程下图所示。
2.窄带随机过程包络与相位的概率密度
包络的概率密度为
,服从瑞利分布。
相位的概率密度为
,呈均匀分布。
3.窄带随机过程包络平方的概率密度
包络平方的概率密度为
0,为指数概率密度函数。
1、按上图所示结构框图,基于随机过程的莱斯表达式,用MATLAB产生一满足条件的窄带随机过程。
1000;
h=exp(-n);
c1=randn(1,1000);
a=conv(c1,h);
c2=randn(1,1000);
%产生两个正态分布的高斯白噪声
b=conv(c2,h);
%通过低通滤波器
fc=10000;
x=zeros(1,1000);
fori=1:
1000%卷积结果相加,得到窄带随机过程
x(i)=a(i)*cos(2*pi*fc*i)-b(i)*sin(2*pi*fc*i);
窄带随机过程'
2、画出该随机过程的若干次实现,观察其形状。
3、编写MATLAB程序计算该随机过程的均值函数、自相关函数、功率谱、包络、包络平方及相位的一维概率密度,画出相应的图形并给出解释。
1000
%得到窄带随机过程
m=mean(x)
figure
(1)
plot(m);
均值'
)%均值函数
figure
(2)
自相关函数'
)%自相关函数
[S,w]=periodogram(x);
figure(3)
plot(S);
功率谱密度'
)%功率谱密度函数
B=zeros(1,1000);
B(i)=sqrt(a(i)^2+b(i)^2);
[fB2j]=ksdensity(B);
figure(4)
plot(fB2);
包络概率密度'
B(i)=(a(i)^2+b(i)^2);
figure(5)
包络平方概率密度'
fai(i)