数学分析答案.docx

数学分析答案.docx

《数学分析答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析答案.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学分析答案

数学分析答案

1反常积分分概念

1、讨论下列无穷积分是否收敛？

若收敛，则求其值：

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）

解

（1）因为

故收敛，其值为。

（2）

=

故收敛，其值为0。

（3）

因为最后的极限不存在，故不收敛

2、讨论下列瑕积分是否收敛？

若收敛，则求其值：

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）；

解

（1）当时，有

=。

因最后的极限不存在，故当时，不收缴。

当时，有

故仅当时，收敛，其值为

（2）因为

。

因最后的极限不存在，故。

（3）因为

故收敛，其值为4。

（4）因为

故收敛，其值为1

（5）因为

因此收敛，其值为－1。

（6）因为

，

故收敛，其值为。

（7）因为

因此收敛，其值为。

（8）当时，

极限不存在。

当时，

极限不存在。

当时，

极限不存在。

综上可知：

不收敛。

3、举例说明：

瑕积分收敛时，不一定收敛。

解在习题2中，令，则收敛，但发散。

4、举例说明：

收敛且在上连续时，不一定有。

解令

则

但极限不存在。

5、证明：

若收敛，且存在极限则A=0

证因收敛，从而由Cauchy准则知：

令

。

则由推广的积分中值定理知：

存在使

=因此。

由于所以，使得当时，。

取N使，从而当时，有。

于是当时有

。

可见。

故。

6、证明：

若在]上可导，且与都收敛，则

。

证由收敛知，任给，存在，当时，有

，即

所以，存在，若记，则由上题知