滕州市西岗中学孔波24二次函数的图象第二课时文档格式.docx

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教学准备：

制作课件，学生预习

教学过程:

一、知识回顾，导入新课

1、复习y=ax2、y=ax2+c、y=a（x-h）2、y=a（x-h）2+k几种形式的函数图象及性质.

师：

昨天我们学习了形如y=a（x-h）2+k的二次函数图象和性质，结合我们前几节课的学习，请你快速指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标.

生：

这四条抛物线都是开口向下，因为系数a=-

＜0.

它们的顶点坐标分别是（0,0），（0，-1），（-1,0），（-1，-1）.对称轴分别是y轴，y轴，直线x=-1，直线x=-1.

回答的很好，很准确.你能画出二次函数y=-

x2，y=-

x2-1，y=-

（x+1）2、的大致图象吗？

如何画？

学生积极思考画法，准备画图.

同学们先想一想在知道了抛物线的开口方向，顶点坐标和坐标轴后，抛物线的大致图象就确定了?

是.

画图时如何取点呢？

为什么？

先取顶点，然后取顶点两侧的对应点.这样取点画出的图象完整.

老师课件演示画图过程，学生认真观察.

那如果画一般形式的二次函数的图象呢？

怎么取点？

例如：

y=-

x2+4x+6.画图取点时还要确定顶点吗？

学生思考.

需要，因为不找到顶点，取的点很可能是对称轴同一侧的点，画出的图象不完整.

师:

可是它的顶点如何确定呢？

学生产生疑问.

对于一般形式的二次函数，如何求出它的对称轴和顶点坐标？

这节课我们一起来探究一般形式的二次函数的性质和它在生活中的现实意义.

【设计意图】引导学生复习函数的几种形式，以及它们的性质，同时，回顾二次函数的图像的画法及列表取点的技巧，让学生注意到抛物线顶点的重要性，然后提出问题，让学生生疑，引出新课.

【实际效果】学生在复习旧知的同时，在老师的引导下产生疑问：

怎么求一般形式的二次函数的顶点坐标和对称轴呢？

学生产生好奇心和求知欲，是学习的动力，为新课学习做好了充分铺垫.

二、自学探究

（一）探究二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标.

前几节课，我们是通过画图、观察，归纳出的几种形式的二次函数的性质，今天，我们能否借助于解析式直接分析其性质，然后推断出图象的特征呢?

学生听讲，进一步产生疑问.

1、学生自学（自学讨论5分钟）

请同学们自学课本P55,例题.

自学提示：

1、知道二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标的求法.2、推导顶点坐标公式使用了什么方法？

3、你能快速求出y=-

x2+4x+6的顶点坐标吗？

学生根据自学提示自学，有疑问可以和同伴讨论交流.并回答自学提示中的问题.

自学后师生互动：

推导顶点坐标公式使用了什么方法？

推导公式使用了配方法.

怎么配方？

配方时要加上一次项系数一半的平方,同时再减去相同的项或者数.

大家看配方以后的形式属于前面我们讨论过的哪一种形式呢?

生:

属于y＝a（x-h）2+k的形式．

在y=a（x-h）2+k的形式中，我们知道对称轴为x＝h顶点坐标为（h，k）．对比一下，y＝ax2+bx+c中的对称轴和顶点坐标是什么呢?

顶点（

）,对称轴是直线x=-

.

确定吗?

大家再讨论一下,有的同学认为对称轴是x=

，出现了什么错误呢？

生：

在y＝a（x-h）2+k中是x-h，而y

中是x+，它们的符号不同，应把y

进行变形得y=a[x-（-）2]+的形式.再对照y=a（x-h）2+k的形式得对称轴为x=-

顶点坐标为（

）.

师：

这位同学回答得非常棒．很细心，同学们要学习他严谨的学习态度，对称轴和顶点坐标的横坐标都是-

，大家一定不要出错哦.

【设计意图】配方法是以前学过的一种方法，但对于字母系数的二次三项式的配方，学习中却很少用到，而且相对数字系数的多项式的配方更加抽象，在这学与不学之间，最好留出时间让学生自己思考，自己探索，以更好的主动的去理解和掌握这种方法；

同事培养学生自主学习的习惯和能力.

2、自学检测

（1）写出二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标的推导过程.

一名同学到黑板板书.

（2）抛物线

的对称轴是,顶点坐标是.

（3）二次函数

化成

形式为.

【设计意图】重复有利于学生更好的理解和记忆，在五分钟的自学的基础上强化记忆和理解；

安排两个二次函数的练习，让学生体会顶点坐标公式的应用，为下面的实际问题的解决打好基础.

【实际效果】因为每个同学的接受能力和自学能力不同，在自学中只有部分学生能够很好的理解和掌握配方的过程和坐标公式，而所有同学在检测中动手配方，过程中遇到疑问再交流，达到了更好的效果.而且在此检测中，学生也学会了坐标顶点公式的用法,建立了学习的自信心.

3、归纳总结

根据上面的学习，你能完成下面的表格吗？

学生跃跃试欲，填写表格.

性质

二次函数

y=a（x-h）2+k

y=ax2+bx+c

开口方向

a﹥0时，开口向上；

a﹤0时，开口向下.

顶点坐标

（h，k）

（

）

对称轴

直线x=h

直线x=

增减性

a﹥0时,在对称轴的左侧，y的值随着x值的增大而减小；

在对称轴的右侧，y的值对着x值得增大而增大.

a﹤0时,在对称轴的右侧,y的值随着x值的增大而增大；

在对称轴的右侧，y的值对着x值得增大而减小.

最值

a﹥0时,当x=h时，y最小值=k.

a﹤0时,当x=h时，y最大值=k.

a﹥0时，当x=

时，y最小值=

a﹤0时,当x=

时，y最大值=

【设计意图】归纳总结是学习中必不可少的一个重要过程，总结可以使学习知识系统化，也有利于学习的反思，让学生养成学习时归纳总结的学习习惯，有利于知识更好的掌握.

【实际效果】学生能够熟练的填写出表格中的内容，因为表格中有已经学习过的二次函数y=a（x-h）2+k这种形式，学生用类比的数学思想完成对一般形式的二次函数性质的总结和归纳.

（二）运用二次函数解决实际问题的探究.

1、例题探究（课本P54题目）

如图所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以y=0.0225x2+0.9x+10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称.

（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？

（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？

（3）你是怎样计算的？

与同伴进行交流.

引导点拨：

观察图形，读懂题意，分析已知和求解，和同伴进行讨论交流，梳理解题思路.

钢缆的最低点是抛物线的什么点？

抛物线的顶点.因为这两条抛物线的开口向上，顶点即是最低点.

那这个点到桥面的距离和它的坐标有关吗？

它到桥面的距离就是顶点到x轴的距离，应等于顶点的纵坐标.

两条抛物线关于y轴对称，那么他们的顶点关于y轴对称吗？

关于y轴对称.

根据上面的提示，你能快速的求出本题的答案吗？

请同学们把过程写到练习本上，有疑问时，别忘了请教你的同伴哟.

学生开始计算，一名同学到黑板完成.

【解题过程】解：

所以，左面的抛物线顶点坐标为（-20,1），右面的抛物线和它对称,所以顶点坐标为（20,1），

答：

（1）所以钢缆最低点到桥面的距离为1m.

（2）两条钢缆最低点之间的距离是2×

20=40m.

（3）是直接代入顶点坐标公式中得到顶点坐标的，也可以用配方法求得．

【说明】

（1）我们研究二次函数的顶点或对称轴常用的方法有两种：

配方法和公式法.

（2）无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；

但我们讨论实际问题中函数的最值时一定要考虑它的开口方向.

（3）从上面的例题我们可知，抛物线在现实生活中的应用很广，因此大家要学好并运用好它，对于给出的问题要认真思考，把实际问题转化为数学问题，从而用数学知识解决实际问题．

2、边学边练

如右图，一边靠校园院墙，另外三边用50m

长的篱笆，围起一个长方形场地，设垂直院墙的

边长为xm．

（1）写出长方形场地面积y（m2）与x的函数关系式；

（2）求边长为多少时，长方形面积最大，最大是多少?

【点拨提示】分析题目的已知和求解，弄清变量x是哪

条边的长，利用篱笆的周长5就可以表示出矩形的另外一条边长，从而可以求出面积y，即表示出y与x之间的关系式；

利用刚学习的配方法或抛物线的顶点坐标公式可以解决此题的最大值问题.

学生独立完成此题，要求学生写出完整的解题过程.

（1）垂直院墙的边长为xm，另一边长为（50-2x）m．则

y=x（50-2x）=-2x2+50x=-2（x-12.5）2+312.5

（3）由

（1）得，当x＝12.5时，y最大=312.5.

所以当边长为12.5m时，长方形面积最大，最大面积为312.5m2.

【设计意图】应用数学知识去解决实际问题是本节课的重点和难点，及时练习，体会应用过程，突破难点.

三、小结与思考

1、本节课主要学习了哪些知识？

主要学习了抛物线的顶点坐标公式，把一般式变成顶点式的两种方法，即配方法和顶点坐标公式.

还有哪位同学要补充的？

还学习了运用二次函数解决实际问题，特别是最值问题，可以用配方法或顶点坐标公式去解决.

2、在学习中应用了哪些重要的思想方法？

归纳性质时和顶点式的二次函数性质进行了比较，使用了类比的数学思想.

还应用了数形结合的数学思想.

其实，同学们在学习中进一步提高了合作交流的意识和自主学习的能力，另外，同学们在解题时，还体现了数学建模的思想，即用数学模型来解决实际问题的思想方法.

3、你对本节课还有哪些疑问？

教师首先组织学生讨论交流，然后作适当点评.

【课外阅读】随着科技的发展，人们可以运用现代技术手段研究二次函数，能够使研究过程变得高效、准确，同学们利用课余时间阅读课本P56《利用Z+Z智能教育平台研究二次函数的图象》，以加深对相关内容的认识和理解.

四、课堂评价

1、已知

，则

有最　　值为　　　，已知

有最　　值为　　　.

2．函数

（1）

；

（2）

（3）

（4）

中，对称轴是直线

的是（）

Ａ．

（1）与

（2）Ｂ．

（2）与（3）Ｃ．

（1）与（3）Ｄ．

（2）与（4）

3、求函数

图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的增减性.

【提高拓展,思考讨论】4、求函数

在给定区间

上的最值.nnnn

【点拨】1、小5；

大502、D

3、解：

，

∴函数图象的顶点坐标为

，对称轴为

∴当

时，函数取得最大值

时，y随着x的增大而增大；

时，也随着x的增大而减小.

4、解：

原函数表达式化为

图象的对称轴是直线

当

时，图象在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，

∴当x=1时，

当x=2时，

【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：

（1）配方法；

（2）公式法：

适用于不容易配方题目（二次项系数为负数或分数），可避免出错。

任何一个函数都可配方成如下形式：

【设计意图】再次突出本节课的重点：

能够熟练利用配方法公式来研究二次函数的性质，检测学生对本节课的掌握情况，及时对学生做出评价，让学生了解自己学习的收获和不足，查缺补漏.

五、作业课本P601.（3）（4）（5），2题

六、板书设计

2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象

（2）

1、复习y=a（x-h）2+k形式的二次函数的性质

2、二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式：

3、研究二次函数性质的方法:

配方法或顶点坐标公式

4、运用二次函数解决实际问题：

七、教学反思

在教学过程中，我认为作图是上几节课的重点，这一节主要是学生观察、分析图象，从而没有让学生画图象，只是让学生观察课件上的图象，这种做法看上去好像更加突出了重点、难点，却没有给学生探索与发现的过程，造成学生对于二次函数性质的理解停留在表面，知识迁移相对薄弱，不利于培养学生自主研究二次函数的能力.所以在教学过程中，一定要留足时间，让学生一边作图，一边发现，而不是教师给出图象，让学生观察.

在归纳二次函数性质的时候，充分的相信学生，鼓励学生大胆的用自己的发现进行归纳，因为学生自己的发现远远比老师直接讲解要深刻得多.学生可能会归纳得比较片面或者没有找出关键点，教师一定要注意引导学生从多个角度进行考虑，而且要组织学生展开充分的讨论，把大家的观点集中考虑，这样非常有利于训练学生的归纳能力.