正弦余弦定理的应用.docx
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正弦余弦定理的应用
1）在三角形ABC中，已知a^2-a=2（b+c）,a+2b=2c-3，求三角形ABC的最大角的弧度数
思路：
先证c＞a,c＞b,说明求角C即可
依题意可得c=（a^2+3）/4,b=（a^2-2a-3）/4
再由余弦定理得cosC=（a^2+b^2-c^2）/（2ab）,将b、c代入后化简可得cosC=-1/2，即得角C=120度
2）角ABC的三边为a.b.c,并适合a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2,试问此三角形为种特殊三角形。
原式2a^4+2b^4+2c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2（同时乘以2）
2a^4+2b^4+2c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=0（移项）
（a^4-2a^2b^2+b^4）+（a^4-2a^2c^2+c^4）+（b^4-2b^2c^2+c^4）=0（分组）
（a^2-b^2）^2+（b^2-c^2）^2+（a^2-c^2）^2=0
因为一个数的平方为非负数
所以a^2-b^2=0b^2-c^2=0c^2-a^2=0
即a-b=0b-c=0c-a=0
所以此三角形为等边三角形
3）在三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且3sin^2B+3sin^2C-2sinBsinC=3sin^2A,a
因为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（正弦定理）
所以3Sin^2B+3Sin^2C-2SinBSinc=3Sin^2A==>3b^2+3c^2-2bc=3a^2
又因为（b^2+c^2-a^2）/2bc=cosA（余弦定理）
所以3b^2+3c^2-2bc=3a^2==>3（b^2+c^2-a^2）/2bc=2bc/2bc=1==>cosA=1/3
向量AB·向量AC=bc*cosA=（1/3）bc
cosA=1/3=（b^2+c^2-3）/2bc==>b^2+c^2=（2bc+9）/3
又因为b^2+c^2>=2bc（基本不等式）
所以b^2+c^2=（2bc+9）/3>=2bc。
解得bc<=9/4
综上，向量AB·向量AC<=3/4
因此最大值为3/4
4）在三角形ABC中abc是角A.B.C所对的边,且满足2a²+2c²-2b²=ac
求角B的大小在三角形ABC中
解：
cosB＝（a²+c²-b²）/2ac＝1/4.∠B≈75°31′21〃
5）三角形ABC中,a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2则三角形ABC是什么三角形~~
答：
等边
a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2
2（a^4+b^4+c^4）=2（a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2）
a^4+b^4-2a^2b^2+a^4+c^4-2a^2c^2+b^4+c^4-2b^2c^2=0
（a^2-b^2）^2+（a^2-c^2）^2+（b^2-c^2）^2=0
a^2=b^2,a^2=c^2,b^2=c^2
a=b=c
6）已知三角形的边为a,b,c，判断a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2的值。
解：
它的值小于0，理由如下：
a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2
=（a^4-2a^2b^2+b^4）-2a^2c^2+2b^2c^2+c^4-4b^2c^2
=（a^2-b^2）^2-2c^2*（a^2-b^2）+c^4-4b^2c^2
=（a^2-b^2-c^2）^2-4b^2c^2
=（a^2-b^2-c^2+2bc）（a^2-b^2-c^2-2bc）
=[a^2-（b^2-2bc+c^2）][a^2-（b^2＋2bc＋c^2）]
=[a^2-（b－c）^2][a^2-（b＋c）^2]
=（a+b-c）（a-b+c）（a+b+c）（a-b-c）
可知：
a+b-c>0，a-b+c>0，a+b+c>0，a-b-c<0，
所以原式的值是个负数，也就是小于0。
7）在△ABC中,三边长为根号a、根号b、根号c,若a^2+b^2=c^2,则△ABC的形状为锐角三角形，为什么
解：
由余弦定理可以知道：
c=a+b-2（根号a）（根号b）*cosC，
所以c^2=（a+b）^2+4ab（cosC）^2-4（a+b）（根号a）（根号b）*cosC=a^2+b^2,
所以2ab+4ab（cosC）^2-4（a+b）（根号a）（根号b）*cosC=0，现在把cosC当成一个未知数x来解方程，就可以解出：
√a*√b+2√a√b*（cosC）^2-2（a+b）cosC=0的解为cosC始终是大于0的，
所以c为锐角，同理，a和b都可以这样算。
所以这是锐角三角形
8）△ABC中三边之比为1：
1：
根号2，则△ABC形状一定不是A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D锐角三角形
由于：
1^2+1^2=（根号2）^2
所以，三角形是直角三角形。
又有二边相等。
所以是等腰直角三角形C
9）在三角形ABC中,A为锐角,lgb+lg（1/c）=lgSinA=-lg根号2,则三角形形状为什么
lgSinA=-lg根号2=lg1/根号2
sinA=1/根号2
A=45度
lgb+lg（1/c）=-lg根号2
去掉对数就是b/c=1/根号2所以b=c/根号2
由余弦定理cosA=（b^2+c^2-a^2）/2bc
将b=c/根号2代入
cosA=cos45度=1/根号2
可得c=a
所以角C=45度
所以这是一个等腰直角三角形
10）在三角形ABC中，A,B为锐角，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cos2A=3/5，sin=根号下10/10.
1求A+B的值
2若a-b=根号下2-1，求a,b,c的值
解：
1：
（sinA）^2+（cosA）^2=1
锐角三角形，cosA>0
cosA=2*五分之√五
同理，cosB=3*十分之√十
sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA
代入=√2/2
则A+B=45°
2：
sinA=根号5/5，sinB=根号10/10，A+B=45度
a-b=（根号2）-1
利用正弦定律
a/sinA=b/sinB
a/b=sinA/sinB=（根号5/5）/（根号10/10）=根号2
a=根号2b
根号2b-b=根号2-1
b=1a=根号2
A+B=45
C=135
sinC=根号2/2
c/sinC=b/sinB=1/（根号10/10）
c=根号2/2/（根号10/10）=根号5
11）已知三角形ABC的三边长a,b,c满足a^2+b+|（根号c-1）-2|=10a+2（根号b-4）-22,证明三角形ABC是什么三角形
解：
a=b=c=5等边三角形
下面是方法：
右边移项到左边，再配方，得
（a-5）^2+（根号（b-4）-1）^2+|（根号c-1）-2|=0
三项都不能小于0，所以必须为0，则等式成立
可求出a=b=c=5
12）已知三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且a.b满足根号a-2+b^2-6b+9=0
求c的取值范围
解：
原式=√（a-2）+（b-3）²
√（a-2）≥0
（b-3）²≥0
a=2b=3
2边之和大于第3边，2边之差小于第三边
1=b-a113）在三角形ABC中，三边长为连续自然数，且最大角为钝角，这个三角形三边的长分别为？
解：
设三边是n-1,n,n+1
因为是钝角三角形
所以（n+1）^2>n^2+（n-1）^2
n^2+2n+1>2n^2-2n+1
n^2-4n<0
0所以n=1，2，3
若n=1，则n-1=0，不合题意
若n=2，三边长1，2，3，不符合三角形两边之和大于第三边
所以n=3
边长是2，3，4
14）三角形ABC的三边为连续的自然数，且最大角为最小角的二倍，求三边长
解：
设三边长分别为n-1，n，n+1，最小角为a，则a为n和n+1的夹角，对边为n-1，2a的两边为n-1和n，对边为n+1。
应用正弦定理得（sin2a/（n+1））=（sina/（n-1））。
而sin2a=2sinacosa，代入化简得cosa=（n+1）/2（n-1）。
再应用余弦定理，cosa=（n2+（n+1）2-（n-1）2）/（2n*（n+1））。
解方程组，可得n=5，则三边长为4，5，6
15）在三角形ABC中,已知2B=A+C,b=1，求三角形ABC的周长的取值范围。
解：
因为2B=A+C
故：
B=60°
故：
cosB=（a²+c²-b²）/（2ac）=cos60°
故；a²+c²-b²=ac
因为a²+c²≥2ac,b=1
故：
ac=a²+c²-b²≥2ac-1
故：
ac≤1
故：
a²+c²+2ac-b²=3ac
故：
（a+c）²=3ac+1≤4
故：
a+c≤2
故：
a+b+c≤3
又：
a+c＞b
故：
a+b+c＞2b=2
故：
2＜a+b+c≤3
16）△ABC中,2B=A+C,最大边与最小边之比为（根号3）+1比2,则最大角为？
2B=A+C===>3B=180º===>B=60º
设:
最大边为a=（√3+1）,则c=2
b²=a²+c²-2accos60º=6===>a=√6
a/sinA=b/sinB
∴sinA=asinB/b=（√3+1）（√3/2）/√6=（√6+√2）/4===>A=75º
则最大角为75º
17）三角形ABC中已知角A等于60度，AB比AC等于8比5面积为10根号3，则其周长为
解：
设AB=8x，AC=5x
S△ABC=1/2AB×AC×sin∠BAC
=（10√3）x²
已知，S△ABC=10√3
即（10√3）x²=10√3，解得：
x=1或-1（舍）
所以，AB=8,AC=5
由余弦定理可得：
cos∠BAC=（AB²+AC²-BC²）/2AB×AC
将AB=8,AC=5，∠BAC=60°代入
解得：
BC=7
所以，周长为20
18）在三角形ABC中，已知内角A=π/3边BC=2根号3求周长y的最大值？
解：
根据公式有，a/sinA=b/sinB=c/sinC
a=2√3,∠A=60°
=>b=4sinB,c=4sin（120°-B）
=>周长l=a+b+c
=2√3+4sinB+4sin（120°-B）
=2√3+4（sinB+√3/2cosB+1/2sinB）
=2√3+2（3sinB+√3cosB）
=2√3+2√3（√3sinB+cosB）
=2√3+4√3（√3/2sinB+1/2cosB）
=2√3+4√3sin（B+30°）
因为-1<=sina<=1且01/2=>l周长=6√3
19）在三角形ABC中,m=（cosC/2,sinc/2）,n=（cosc/2,-sinc/2）,且mn的夹角为3/π
解：
m.n=|m|*|n|cos（π/3）=cos（π/3）=1/2
cos^2（C/2）-sin^2（C/2）=1/2
cosC=1/2
所以C=π/3
2.设AB=c=7/2,AC=b,BC=a
（absinC）/2=3√3/2
absin（π/3）=3√3
ab=6
（1）
c^2=a^2+b^2-2abcosC=a^2+b^2-ab
（a+b）^2=c^2+3ab=（49/4）+18=121/4
a+b=11/2
（2）
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