正弦余弦定理的应用.docx

1、正弦余弦定理的应用1) 在三角形ABC中，已知a2-a=2(b+c),a+2b=2c-3，求三角形ABC的最大角的弧度数思路：先证ca,cb,说明求角C即可依题意可得c=(a2+3)/4,b=(a2-2a-3)/4再由余弦定理得cosC=（a2+b2-c2)/(2ab),将b、c代入后化简可得cosC =-1/2，即得角C=120度2) 角ABC的三边为a.b.c,并适合a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2,试问此三角形为种特殊三角形。原式 2a4+2b4+2c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2 (同时乘以2)2a4+2b4+2c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=0 (移项

2、)(a4-2a2b2+b4)+(a4-2a2c2+c4)+(b4-2b2c2+c4)=0 (分组)(a2-b2)2+(b2-c2)2+(a2-c2)2=0因为一个数的平方为非负数所以a2-b2=0 b2-c2=0 c2-a2=0即a-b=0 b-c=0 c-a=0所以此三角形为等边三角形3）在三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且3sin2B+3sin2C-2sinBsinC=3sin2A,a因为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（正弦定理）所以3Sin2B+3Sin2C-2SinBSinc=3Sin2A=3b2+3c2-2bc=3a2又因为（b2+c2-a2）/2

3、bc=cosA（余弦定理）所以3b2+3c2-2bc=3a2=3（b2+c2-a2）/2bc=2bc/2bc=1=cosA=1/3向量AB向量AC=bc*cosA=(1/3)bccosA=1/3=(b2+c2-3)/2bc=b2+c2=(2bc+9)/3又因为b2+c2=2bc（基本不等式）所以b2+c2=(2bc+9)/3=2bc。解得bc=9/4综上，向量AB向量AC0，a-b+c0，a+b+c0，a-b-c0cosA=2*五分之五同理，cosB=3*十分之十sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA代入=2/2则A+B=45 2：sinA=根号5/5，sinB=根号10/10，

4、A+B=45度a-b=（根号2） -1利用正弦定律a/sinA=b/sinBa/b=sinA/sinB=(根号5/5)/(根号10/10)=根号2a=根号2b根号2b-b=根号2-1b=1 a=根号2A+B=45C=135sinC=根号2/2c/sinC=b/sinB=1/(根号10/10)c=根号2/2/(根号10/10)=根号511） 已知三角形ABC的三边长a,b,c满足a2+b+|(根号c-1)-2|=10a+2(根号b-4)-22,证明三角形ABC是什么三角形解：a=b=c=5等边三角形下面是方法：右边移项到左边，再配方，得(a-5)2+(根号(b-4)-1)2+|(根号c-1)-2

5、|=0三项都不能小于0，所以必须为0，则等式成立可求出a=b=c=512）已知三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且a.b满足根号a-2+b2-6b+9=0求c的取值范围解：原式 = （a-2） +（b-3）（a-2） 0 （b-3） 0a=2 b=32边之和大于第3边，2边之差小于第三边 1= b-a ca+b=5 1cn2+(n-1)2n2+2n+12n2-2n+1n2-4n00n3B=180=B=60设:最大边为a=(3+1),则c=2b=a+c-2accos60=6=a=6a/sinA=b/sinBsinA=asinB/b=(3+1)(3/2)/6=(6+2)/4=A=75则最大角为

6、7517）三角形ABC中已知角A等于60度，AB比AC等于8比5面积为10根号3，则其周长为解：设AB=8x，AC=5xSABC=1/2ABACsinBAC =（103）x已知，SABC=103即（103）x=103，解得：x=1或-1（舍）所以，AB=8,AC=5由余弦定理可得：cosBAC=(AB+AC-BC)/2ABAC将AB=8,AC=5，BAC=60代入解得：BC=7所以，周长为2018）在三角形ABC中，已知内角A=/3 边BC=2根号3 求周长y的最大值？解：根据公式有，a/sinA=b/sinB=c/sinC a=23,A=60 =b=4sinB,c=4sin(120-B) =

7、周长l=a+b+c =23+4sinB+4sin(120-B) =23+4（sinB+3/2cosB+1/2sinB) =23+2(3sinB+3cosB) =23+23(3sinB+cosB) =23+43(3/2sinB+1/2cosB) =23+43sin(B+30） 因为-1=sina=1且0B120 1/2sin(B+30)l周长=6319）在三角形ABC中,m=(cosC/2 ,sinc/2 ), n=(cosc/2 ,-sin c/2),且 mn的夹角为 3/解：m.n=|m|*|n|cos(/3)=cos(/3)=1/2 cos2(C/2)-sin2(C/2)=1/2 cosC=1/2 所以 C=/32.设AB=c=7/2,AC=b,BC=a (absinC)/2=33/2 absin(/3)=33 ab=6 (1) c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab (a+b)2=c2+3ab=(49/4)+18=121/4 a+b=11/2 (2)