高教社杯全国大学生数学建模竞赛题及其参考答案整理.docx

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高教社杯全国大学生数学建模竞赛题及其参考答案整理高教社杯全国大学生数学建模竞赛题及其参考答案整理2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题车灯线光源的优化设计参考答案注意：

以下答案是命题人给出的，仅供参考。

各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

一.假设和简化（略）二.模型的建立建立坐标系如下图，记线光源长度为l，功率为W，B,C点的光强度分别为W和W，先求和的表达式，再建立整个问题的数学模型.以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为，焦点坐标为（0,0,15）。

1）位于点P（0,w,15）的单位能量的点光源反射到点C（0,2600,25015）的能量设反射点的坐标为Q.记入射向量为,该点反射面外法线方向为,不难得到反射向量满足记,由从而得的表达式注意到反射光通过C点,应有其中为常数.从上述第一式可解得或.由此得反射点坐标满足以下两组方程:

通过计算可知,存在,当时第一组方程不存在满足的实根,即无反射点.而当时,有两个反射点.而第二组方程仅当时存在满足的一对实根,即有两个反射点记为.若反射点的坐标为,则位于点的单位能量点光源经点反射到C点的能量密度（单位面积的能量,正比于光强度）为其中而为反射向量与z轴的夹角,2）的表达式长的具有单位能量的线光源位于点的长的微小线光源段反射到C点的能量密度为其中长的具有单位能量的线光源反射到C点的能量密度为类似可得的表达式.相应的反射点方程为相应的而第二组方程的有两个反射点的范围为3）优化设计的数学模型设线光源的功率为W,则它反射到B点和C点的能量密度分别为和.问题的数学模型为:

三.模型的求解可以用数值积分求得.应具备下列性质：

其中为起亮值，为最大值点，为考察的最大范围，例如取为20mm。

也有类似的性质，且起亮值和最大值点均相应地右移.数值求解,记其解为,再求出,不难看出且落在之中。

令现证为问题之最优值。

事实上，对可行域中任一，当有（用到时）。

当，有，（用到时）。

这就证明了的确是最小值。

事实上数值结果为.四.反射光亮区的计算分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。

所有这些亮点的集合即为反射光亮区。

亮区的上半部分由下图所示（横坐标为x轴，纵坐标为y轴，单位为mm）,下半部分与上半部分是关于x轴对称的.五.注记

（1）计算的另一方法是建立问题的数值模型用数值模拟的方法加以解决.具体的做法是:

在得到反射光线和反射到测试屏上能量的数学模型后,分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，在测试屏B（或C）点附近取一微小面元.计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，将所有能到达该面元的反射光线的反射能量迭加起来,除以面元的面积即为B（或C）点的反射能量密度.但用这样的方法必须十分注意结果的检验,注意计算精度（必须考察线光源和反射面的剖分密度和测试屏B（或C）点附近小面元的取法等）.

（2）以上参考答案中没有考虑线光源本身对反射光线的遮挡问题，即假设线光源是透明的。

如果假设线光源是不透明的，似乎更符合现实。

此时需要考虑线光源本身对反射光线的遮挡，计算会更复杂些，计算结果也会有所不同。

2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题彩票中的数学参考答案注意：

以下答案是命题人给出的，仅供参考。

各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和广大彩民两方面的利益。

事实上，公司和彩民各得销售总额的50%是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。

因此，问题是怎样才能有利于销售额的增加？

即公司采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极踊跃购买彩票？

具体地讲，问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的可能性有多大、奖金额有多少、对彩民的吸引力有多大、广大彩民如何看待各奖项的设置，即彩民的心理曲线怎样？

另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与彩民所在地区的经济状况以及收入和消费水平有关。

为此，我们要考查一个方案的合理性问题，需要考虑以上这些因素的影响，这是我们建立模型的关键所在。

1.模型假设与符号说明彩票摇奖是公平公正的，各号码的出现是随机的；彩民购买彩票是随机的独立事件；对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额；根据我国的现行制度，假设我国居民的平均工作年限为T=35年。

-第等（高项）奖占高项奖总额的比例，；-第等奖奖金额均值，；-彩民中第等奖的概率，；-彩民对某个方案第等奖的满意度，即第等奖对彩民的吸引力，；-某地区的平均收入和消费水平的相关因子，称为“实力因子”，一般为常数；-彩票方案的合理性指标，即方案设置对彩民吸引力的综合指标；2.模型的准备

（1）彩民获各项奖的概率从已给的29种方案可知，可将其分为四类,:

10选6+1（6+1/10）型、:

选型、:

选型和:

选无特别号型，分别给出各种类型方案的彩民获各奖项的概率公式：

10选6+1（6+1/10）型，,：

选型，。

：

选型，。

：

选无特别号型，。

各种方案的各个奖项获奖概率及获奖总概率计算如表一。

表一：

方案6+1/10210-7810-71.810-52.6110-43.4210-34.199510-2-0.0456957/296.4070510-74.4849410-69.418410-52.825510-42.825510-34.709210-30.0298250.0377426+1/296.4070510-71.409610-58.457310-58.888010-42.220010-31.480010-20.0197340.0377427/304.9120710-73.4384510-67.564610-52.269410-42.382810-33.971410-30.0264760.0331377/313.8029010-72.6620310-66.122710-51.836810-42.020510-33.367510-30.0235720.0292087/322.9710110-72.0797110-64.0991310-51.497410-41.72210-32.870010-30.0210470.0258327/332.3408010-71.6385610-64.096410-51.228910-41.474710-32.457810-30.0188430.0229417/341.8588710-71.3012110-63.383110-51.014910-41.268710-32.114510-30.0169160.0204367/351.4870910-71.0409710-62.810610-58.431810-51.096110-31.826910-30.0152240.0182617/361.1979410-78.3855610-72.348010-57.043910-59.509210-41.584910-30.0137360.0163676+1/361.1979410-73.4740210-62.084410-52.918210-47.295410-46.565910-30.0087550.0163677/379.7130110-86.7991110-71.971710-55.915210-58.281310-41.380210-30.0124220.0147106/402.605310-71.563210-65.158410-51.289610-42.063410-32.751210-30.0284280.0334255/601.83110-79.15510-74.943710-59.887410-52.620210-32.620210-30.0454160.050806

（2）确定彩民的心理曲线一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。

在此，彩民对一个方案的各个奖项及奖金额的看法（即对彩民的吸引力）的变化就是一个典型的模糊概念。

由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物的心理变化一般遵循的规律，不妨定义彩民的心理曲线为其中表示彩民平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常数。

（3）计算实力因子实力因子是反应一个地区的彩民的平均收入和消费水平的指标，确定一个地区的彩票方案应该考虑所在地区的实力因子，在我国不同地区的收入和消费水平是不同的，因此，不同地区的实力因子应有一定的差异，目前各地区现行的方案不尽相同，要统一来评估这些方案的合理性，就应该对同一个实力因子进行研究。

为此，我们以中等地区的收入水平（或全国平均水平）为例进行研究。

根据相关网站的统计数据，不妨取人均年收入1.5万元，按我国的现行制度，平均工作年限T=35年，则人均总收入为52.5万元，于是，当万元时，取（即吸引力的中位数），则有。

同理，可以算出年收入1万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、5万元、10万元的实力因子如表二。

表二：

年收入指标1万元1.5万元2万元2.5万元3万元4万元5万元10万元420393630589840786105098212611791681571210196442039283模型的建立与求解问题

（一）要综合评价这些方案的合理性，应该建立一个能够充分反应各种因素的合理性指标函数。

因为彩民购买彩票是一种风险投资行为，为此，我们根据决策分析的理论，考虑到彩民的心理因素的影响，可取为风险决策的益损函数，于是作出如下的指标函数：

（1）即表示在考虑彩民的心理因素的条件下，一个方案的奖项和奖金设置对彩民的吸引力。

另一方面，由题意知，单注所有可能的低项奖金总额为，根据高项奖的计算公式得单注可能的第项（高项奖）奖金额为，故平均值为

（2）于是由

（1），

（2）式得（3）利用Matlab可计算出29种方案的合理性指标值及高项奖的期望值，排在前三位的如下表三。

表三：

指标排序方案97/304.00910-71.0861062067914101117/313.78410-71.704106324482116257/293.63710-77.5571053598417143问题

（二）根据问题

（一）的讨论，现在的问题是取什么样的方案/（和取何值）、设置哪些奖项、高项奖的比例为多少和低项奖的奖金额为多少时，使目标函数有最大值。

设以，为决策变量，以它们之间所满足的关系为约束条件，则可得到非线性规划模型：

关于约束条件的说明：

1）条件

（1）

（2）同问题

（一）；2）条件（3）（4）是对高项奖的比例约束，的值不能太大或太小，（4）是根据已知的方案确定的；3）条件（5）是根据题意中一等奖的保底额和封顶额确定的；4）条件（6）中的分别为等奖的奖金额比等奖的奖金额高的倍数，可由问题

（一）的计算结果和已知各方案的奖金数额统计得：

5）条件（7）是根据实际问题确定的，实际中高等奖的概率应小于低等奖的概率，它的值主要有确定。

6）条件（8）（9）是对方案中取值范围的约束，是由已知的方案确定的；这是一个较复杂的非线性（整数