激光束的自聚焦自散焦与自调制.docx
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激光束的自聚焦自散焦与自调制
激光束的自聚焦、自散焦与相位调制
引言：
在各向同性的非线性介质中，光场会引起介质极化率的实部发生变化，或者说光致折射率变化或产生非线性折射率。
光致折射率变化的效应有多种，这里只介绍光学克尔效应，它表述为介质某处折射率变化的大小与该处光强大小成正比。
本文介绍自作用（自相位调制）和互作用（交叉相位调制）两种光克尔效应。
还要讨论由于高斯光束横向分布的不均匀性，光束在传播过程中引起的自聚焦，自散焦效应的理论，以及相关的时间和空间自相位调制的现象。
一.光学克尔效应
光克尔效应是指光电场直接引起的折射率变化（即非线性折射率）的效应，
其折射率变化大小与光电场的平方成正比，即An*E2。
这种效应属于三阶非线性光学效应。
具有克尔效应的介质称为克尔介质。
光学克尔效应因其产生的非线性极化率的方式不同而被分为两种：
（1）自作用光学克尔效应
利用频率为①的信号光自身的光强引起介质折射率变化，同时用一束信号光
直接探测在该频率3下的非线性极化率实部或非线性折射率的大小。
（2）互作用光学克尔效应
演示这种光克尔效应，需要两束光：
泵浦光---引起折射率变化的强光；信号光----探测介质折射率变化大小的弱光。
也就是用频率不同（3‘）或偏振方向不同的强泵浦光引起介质折射率变化，同时用频率为3的弱信号光探测介质非线性极化率实部或非线性折射率的大小。
图1.给出了自作用克尔效应和互作用
克尔效应的两个典型例子。
h（u■）
H[压JsxpCi®）
F（H）
E（u]
>
\
（a）自作用克尔效应（b）互作用克尔效应
图1.两种光克尔效应
设信号光频率为3，泵浦光频率为3‘，忽略吸收，自作用克尔效应和互作
用克尔效应的非线性极化强度分别表示为
「3）
P
（3）
3,3）E（3）E（3）
（1.1）
ir（3）
P
（3）
2ur
6%X⑶（3；3',-3',3）E（3'）E（3）
（1.2）
在光波传播过程中，折射率的变化会引起光的相位的变化。
考虑一个沿Z
urir”八
方向传播的平面单色波
E（3,z）=E（z）ei（kzwt）,光从z=0出发传至z=L,引起介质的
折射率变化为△n,传播常数变化为厶k,相应光波的相位变化为
△©=△KL—AnL=—nAnL（1.3）
C入o
上式表明光致折射率变化调制了相位，对自作用光克尔效应和互作用光克尔效应，相应地存在自相位调制（SPM和交叉相位调制（XPM两种。
1.1自相位调制光克尔效应
（1）⑴’j⑴''和三
为讨论自作用光克尔效应中折射率与光场的关系，设频率为3的强激光入射各向同性介质，仅考虑一阶和三阶效应，其中一阶极化率
阶极化率⑶⑶'i（3）''皆取实部，则总极化强度为
LTLT
（1）IT（3）
P（3）P（3）P
（1）'LT
（）E（3）3%
（3）
（3）'
（3；3，-3,3
ur2LT
3）E（3）E（3）
（1.4）
ituru
oEP和D
E，并定义有效三阶极化率
3⑶',由（1.4）得
££o（1+
（1）'
LT2
E（3））
（1.5）
式中£是总介电系数，
为实数。
利用线性介电系数的关系no/'/o和
“£o（1X⑴'），得到n：
（1）'
1X,将它代入式（
1.5）得到
£o（ne3）'
E（3）
（1.6）
利用（1.6），得总折射率
（3）'
e_
2
n（沁。
）1/2no（1
no
ur
E（3））
21/2
n。
（3）'
e
2n。
IT
E（3）
（1.7）
式中，考虑到等式右边圆括号中的后一项比1小得多。
式（1.7）的前项no
为线性折射率，后项为非线性折射率，即为
⑶'
e
2n°
ir2
EQ）
（1.8）
可见非线性折射率与场振幅平方成正比，比例系数为非线性折射系数，即_⑶’
L右（1.9）
2no
它与有效三阶非线性极化率实部成正比。
—LT2
△n=n2E（q）
1ir2利用I-cocnoE（q）,由式（1.8）得
⑶‘
△n=—.匸n2|
可见非线性折射率与光强成正比，比例系数
极化率实部的关系为
（1.8）变为
（1.10）
（1.11）
n2称为非线性折射系数，它与三阶
⑶‘
n2=宀（1.12）
£0Cn0
总之克尔介质的总折射率包括线性和非线性两部分，它与光强成线性关系,
即
nn0△nn0n2l（1.13）
光克尔效应引起的光致折射率变化的物理机制很多，例如：
电子极化，电致
伸缩，热效应等。
克尔介质的非线性折射系数越大，介质的响应速度越慢，响应时间越长。
当光束传播一定距离L时，因为克尔效应引起介质折射率的变化，而产生光束的非线性相位差为
2n^nL=2nE|E2L（1.14）
心入02
1.2交叉相位调制光克尔效应
考虑一种特殊的互作用光克尔效应。
频率为3的单色信号光与频率为3’的
单色泵浦光同沿Z方向传播，但两者的偏振方向不同：
泵浦光沿y方向偏振；信
号光沿x-y平面内的某任意方向偏振，如图2所示
图2•信号光（3）与泵浦光（3‘）的传播方向和偏振方向
泵浦光引起介质折射率或极化率（实部）发生变化，从而分别由信号光电场
的x和y方向分量
分别为
£（3,Z）和Ey（
3,z）所产生的非线性极化强度的x和y分量
PX3）（3,z）
&0
⑶
xxyy（3,3,
3',3）E（3'）2Ex（3,Z）
（1.15）
Pfz）
&0
⑶
yyyy（3；3,
3',3）E（3'）Ey（3,Z）
（1.16）
y方向的耦合波方程为
警^畀Py（W,Z）評
dz2&0cn
将（1.16）代入上式，并且△k=0,得
2
dEy（W,Z）i3k0y3）y（3；3',3',3）e（3'）2Ey（3,Z）
dz
（1.17）
若认为泵浦光E（3'）不随x变化，就可得y方向的信号光场强
Ey（W,Z）exp{ik0[13k°y；）yy（3；3',3',3）E（3'）2]z}
k
（1.18）
上式中方括弧内的量正是信号光在y方向的非线性折射率，记为△n〃，即
△n〃0yyyy（3；3',3',3）E（3'）
k
（1.19）
同理，信号光在x方向的非线性折射率△n
3',3）E（3'）2
（1.20）
3ko⑶/
Xxxyy（3,3
k
这种产生光致双折射的互作用光克尔效应的强弱可由式（1.21）定义的克尔系数来度量，即
心（3）
（1.21）
△n〃△n
—~2-
入E（3'）将（1.19）和（1.20）代入，可得克尔系数与三阶极化率的关系为
Kw‘3）寻（总yxXXyy）（1.22）
2nc
光克尔效应提供了一种改变介质的折射率和光的相位的方法，在外加泵光电场的作用下，它可使各向同性的非线性介质变成各向异性的单轴晶体。
当线偏振光通过长度为L的介质时，o光和e光的相位差为
2n
△6=—（△n〃
入0
△n）L
2冗LK3'（3）
n®
E（3'）
（1.23）
可见o光和e光的相位差与泵浦光场强的平方成正比。
二•自聚焦
在克尔介质（具有克尔效应的介质）中传输的单模激光束，由于高斯型的横向分布，光束中心与边沿的光强不同，造成折射率沿径向的非均匀分布，介质对在其中传输的光束产生类似透镜的作用，对光束进行聚焦或散焦。
折射率的变化△n与光强I的关系由（1.13）决定，即
nn0△nn0n2l
式中非线性折射系数n2的符号可正可负。
取正值时（n2>0）为自聚焦（正透镜效
应）；取负值时（n2<0）为自散焦（负透镜效应）。
自聚焦和自散焦如图3所示:
（a）自聚焦
（b）自散焦
图3.自聚焦与自散焦示意图
对于自聚焦，沿介质的径向从轴心到边沿高斯光束的光强是逐步衰减的，根
据△n=化1,因而其折射率也是逐步减小的。
可以把光束经过的路径看成一个折射
率渐变的波导，其作用就像一个自聚焦透镜，如图4所示
图4.自聚焦透镜对光束的会聚作用
根据渐变折射率自聚焦透镜端面处最大数值孔径公式
NAnosi门旅.'n2（0）n2（R）.2n。
[门（0厂n（R）]（2.1）
式中no是介质的线性折射率，Bs为最大的会聚角。
n（0）为中心轴上的折射率，n（0）=no+An。
n（R）是边沿的折射率，该处光场近似为0，则有n（R）=no,所以由
（2.1）得
rtsin0s2n0An（2.2）
由于会聚角一般很小，近似有sine!
e!
。
因此自聚焦会聚角与激光引起的非线
性折射率的关系为
2An
n。
（2.3）
另一方面，若介质入射面是高斯光束的束腰位置（如图5），高斯型激光的衍射
角近似为
图5.高斯光束的衍射
Bd—（2.4）
nanka
K为波矢，a为束腰半径。
所以自聚焦会聚角与激光衍射角的平方比为
比1An/n0）
2（T（2.5
9221/ka
由此可见，在自聚焦过程中，同时存在着两种互相竞争的作用：
△n引起光束会
聚；衍射引起光束发散。
光越强，光束会聚光斑越小，则衍射作用越强。
在本节末会证明，只要满足
2An
no
k2a2
或0s
1
20d
（2.6）
则自聚焦始终强与衍射，直至其它非线性效应终止自聚焦过程。
考虑到An=nd,为产生自聚焦所需的An,根据（2.6）必须使用的激光光强为
1册（2・7）
例如，设n2=10-13cmi/W,a=1mm,k2iocm1,由（2.7）得当光强超过1MW/cnn
就能产生自聚焦。
如果激光的自聚焦作用与激光的衍射作用达到平衡0s=（1/2）
0d,就会出现一种自陷效应。
稳定自陷实际上就是空间光孤子。
根据入射激光脉冲宽度与激光感生介质折射率变化的响应时间的关系可以
把自聚焦分为：
稳态自聚焦，准稳态自聚焦和瞬态自聚焦。
下面我们分别来介绍三种自聚焦现象。
2.1稳态自聚焦
如果激光的脉冲宽度比较长，远大于介质的响应时间，自聚焦后的光斑尺寸、
焦距都保持相对稳定，此时自聚焦现象的理论可以用稳态方法处理。
以下介绍自聚焦的近轴稳态理论。
非线性介质的波动方程为
2「？
e
2PNL
t2
t2
（2.8）
假设介质是各向同性的，方程中的介电常数为标量；并设E为线偏振的，则（2.8）可写成标量形式。
方程左边第一项为
r2r2u2r
E2E（2E2E）（2.9）
z
对于克尔介质，利用（1.8）将方程（2.8）右边的严写成
NL⑶
P0e
u
E2ononE
（2.10）
利用C=1/,^o^o和no,c/co,
则方程
（2.8）变为
u
22-
noE
~22"
Ct
C22=
孚」：
（2.11）
cnot
在方程（2.11）中代入以下沿
Z方向传播的单色平面光电场和极化强度
u
E（z,t）
E（z,t）ei（wtkz）
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