正四面体的性质及应用Word格式.docx
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定理7．正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为
略证：
设相邻两个侧面所成的角为
，由于四个侧面的面积均相等，
所以由射影面积公式知
定理8．设正四面体的侧棱与底面所成的角为
，相邻两个侧面所成的二面角记
则有
如图1所示，易知
由H为
的中心，
易知
从而
定理9．正四面体的外接球的球心与内切球的球心O重合且为正四面体的中心；
中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等，其大小为，此角即为化学中甲烷分子结构式中的键位角．
略证：
如图1，在三角形AOB中
由余弦定理可求得
于是
同理
可得
定理10．正四面体内接于一正方体，且它们共同内接于同一个球，球的直径等于正方体的对角线．
二、运用正四面体性质——化繁为易1．巧算空间距离
例1．一个球与正四面体的6条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则求此球的体积．
分析一：
由定理10知，将正四面体嵌于正方体的内部，然后再利用正四面体的棱与球相切，则该半径与正方体的内切半径相等进行求解．
解法一．如图2所示，将正四面体补成正方体，易知
与正四面体的各棱相切的球即为正方体的内切球．
•••正四面体的棱长为a,
正方体的棱长为．
正方体的内切球半径
分析二：
根据正四面体的对称性，结合定理1可知，该球的球心应位于正四面体的中心，其直径即为正四面体相对棱之间的距离．
解法二.•••正四面体的棱长为a,
•••由定理1可知，相对棱间的距离为
即该球的半径为
例2.在棱长为2的正四面体木块ABCD勺棱AB上有一点P
（）,过P点要锯出与棱AB垂直
的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD上
在面ABC上的
锯缝
求锯缝MN的值.
MPf也
可知
解：
如图3，取AB的中点E，连结CE，DE，则
为正四面体相邻两面的二面角的平面角，由条件知/
是正四体相邻两面的二面角的平面角，
即/NPM=/CED,由定理7
于是，在
中，由余弦定理得，
2.妙求空间角
例3.设P为空间一点，PAPBPCPD是四条射线，
若PAPBPCPD两两所成的角相等，则这些角的余弦值为.
解：
如图4,构造正四面体ABCD设P为四面体的中
心，则PAPBPCPD两两所成的角相等，
设，由正四面体的性质，
余弦值为
例4.如图5,在正四面体ABC中，E、F分别为棱AD
BC的中点，连结AFCE
⑴求异面直线直线AF和CE所成的角；
⑵求CE与面BCD所成的角.
是异
⑴连结FD在平面AFD内,过点E作
EG/AF交DF于点G.则
面直
线AF与CE所成的角（或其补角）.
设正四面体ABCD的棱长为a，可得
．由余弦定理可求
故异面直线AF与CE所
成的角为．
⑵由已知易知平面AFDL平面BCD在平面AFD内，过点E作EH
丄FD于点H,连结CH则/ECH为CE与平面BCD所成的角.
EH为正四面体高的一半，由正四面体性质的定理2知
CE与底面BCD所成的角
为．
例5.如图6,正四面体ABCD的四个顶点在同一个球面上，CC
和DD是该球的直径，求面ABC与面ACD所成角的正弦值.
由正四面体性质定理
10知正四面体内接于一球，该正方体也内接于此球，且正方体的对角线为此球的直径，
如图所示，即CG、DD为该球的直径.连结CD,交
AB于点M连结MC
vMCLABMdAB
•••/CM［为平面ABC与平面ACD所成的角.
中，
设正方体棱长为a,在
平面ABC与平面ACD所成的角的正弦值为
归纳反思：
正四面体是立体几何中一个重要的数学问题载体，在平时的学习过程中若能有意识地研究它、利用它，就能较好地培养我们数学思维的“方向感”和思路的“归属感”，有助于促进自己数学思维空间的拓展、数学品质的提升.
1.在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下
面四个结论中不成立的是②
C
①BC//面PDF；
2面PDF面ABC；
3DF面PAE；
4面PAE面ABC.
2.正四面体ABCD中，AB与平面ACD所成角的余弦值为3—.
3
3.如图，正四面体ABCD的棱长为2,点E,F分别为棱AD,BC的中
muuur
点，则EFgBA的值为（
A.4B.4
D.2
选：
c.
4.以下说法
1三个数a0.32，blog20.3，c2°
'
3之间的大小关系是bac；
2已知：
指数函数f（x）aX（a°
a1）过点（2,4），则yloga41；
3已知正四面体的边长为2cm，则其外接球的体积为丄cm3；
2
4已知函数yf（x）的值域是［1，3］，则F（x）f（x1）的值域是［0，2］；
⑤已知直线m//平面，直线n在内，则m与n平行.
其中正确的序-号是①③
5.在正四面体A
BCD中，M为AB的中点，则直线CM与AD所成角的
余弦值为（
A.1
C.
6.在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连接AF、CE,
则异面直线
AF和CE所成角的正弦值为（
）
B.2
C.上
D.三
4
D.
【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力.在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧.本题易错点在于要看清是求异面直线AF和CE所成角的正弦
值，而不是余弦值，不要错选答案B.
7.如图所示，在正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上
动点，BPPE的最小值为7,则该正四面体的外接球的体积是（
A.
B.6
C.3^
32
D.-
8.棱长为1的正四面体ABCD中，E为棱AB上一点（不含A,B两点），
点E到平面ACD和平面BCD的距离分别为a,b，则--的最小值为ab
26.
【考点】7F:
基本不等式及其应用
【专题】31:
数形结合；
35:
转化思想；
5F:
空间位置关系与距离;
5T：
不等式
【分析】设点0是正三角形ACD的中心，连接OB，作EFAO，垂足
为点F.A0交CD于点M,贝S点M为CD的中点.设
AEAB（O1）.AO-AM,AM3,BO、AB2AO2.由EF//BO,
32
可得EFBO得bEN—
（1）.代入利用基本
33
不等式的性质即可得出.
【解答】解：
如图所示,设点O是正三角形ACD的中心，连接OB,作EFAO,垂足为点F.AO
1）.
3，
6
交CD于点M，则点M为CD的中点.
设AEAB（0
2273AO-AM-
332
AO2
BO.AB2
QEF//BO,
EFBO
—126，当且仅当丄时取
（h）22
等号.
故答案为：
9.已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD上异于端点C,D的任一点，则下列结论中，正确的个数有（）
（1）MNAB；
（2）若N为中点，贝SMN与AD所成
角为45；
3）平面CDM
平面ABN；
（4）存在点N，使得过MN的平面
与AC垂直.
A.1个
B.2个
C.3个D.4个
考点】LM：
异面直线及其所成的角；
LO：
空间中直线与直线之间
的位置关系；
LW：
直线与平面垂直；
LY：
平面与平面垂直【专题】14：
证明题
【分析】连接CM、DM，可证明出AB平面CDM，从而MNAB，得
（1）正确；
取AC中点E，连接EM、EN，利用三角形中位线定理
证明出EN、NM所成的直角或锐角，就是异面直线MN、AD所成的角，再通过余弦定理，可以求出MN与AD所成角为45，故
（2）正确；
根据
（1）的正确结论：
MNAB，结合平面与平面垂直的判定定理，得到（3）正确；
对于（4），若存在点N，使得过MN的平面与AC垂直，说明存在N的一个位置，使MNAC.因此证明出“不论N在线段CD上的何处，都不可能有MNAC”，从而说明不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直.
（1）连接CM、DM
Q正ABC中，M为AB的中点
CMAB
同理DMAB，结合MCIMDM
AB平面CDM，而MN平面CDM
MNAB，故
（1）是正确的；
（2）取AC中点E，连接EM、EN
QADC中，
E、N分别是AC、CD的中点
EN//AD,
1ENAD.
EN、NM所成的直角或锐角，就是异面直线MN、AD所成的角设正四面体棱长为2a，在MCD中，CMDM2a3a
则RtMNC中CN12aa
在MNE中，MEEN12a2
222ENMNEMcosENM-
ENMN
（3）由
（1）的证明知：
AB平面CDM
QAB平面ABN
平面ABN平面CDM，故（3）正确；
（4）若有MNAC，根据
（1）的结论MNAB，
因为AB、AC相交于A点，所以MN平面ABC
QMCD中，CMMD、3a，CD2a
cos
CM2MD2CD21
CMD0
2gCMgMD3
CMD是锐角，说明点N在线段CD上从C到D运动过程中,
CMN的最大值是锐角，不可能是直角，
因为CM平面ABC，CM与NM不能垂直，
以上结论与MN平面ABC矛盾，
故不论N在线段CD上的何处，都不可能有MNAC.
因此不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直.
综上所述，正确的命题为
（1）
（2）（3）
故选：
10.棱长为a的正四面体中，给出下列命题：
1正四面体的体积为V—；
24
2正四面体的表面积为S3a2；
3内切球与外接球的表面积的比为1:
9；
4正四面体内的任意一点到四个面的距离之和均为定值.
上述命题中真命题的序号为②③④.
【考点】LE:
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；
LF:
棱柱、棱
锥、棱台的体积
【专题】31:
35:
49:
综合法；
空间位
置关系与距离
【分析】①正四面体的高h.a2（2；
a）2£
a，体积为
V1空a^a2，计算即可判断出正误；
334
2正四面体的表面积为S4仝a2，即可判断出正误；
3分别设内切球与外接球的半径为r,R，则4」r止a2」a3，解得r；
3412
R、R2（ja）2严a，解得R，即可判断出正误;
4正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为H,则
1H出a2丄二a2，a2（23a）2，化简即可判断出正误.
3434■32
①正四面体的高h,a2（3J3a）2fa，体积为
V1-^a-la2-la3£
，因此不正确；
3341224
2正四面体的表面积为S4出a2■3a2，正确；
3分别设内切球与外接球的半径为r,R，则4〕r^a2空a3，解得
r0a；
RR2（ja）2fa，解得R亠a.
1233'
4
r:
R1:
3，因此表面积的比为1:
9，正确；
1H3a213a2.a2（23a）2，化简可得：
H—a，即为正四
3434323
面体的高，均为定值，正确.
上述命题中真命题的序号为②③④.
（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收
获，努力就一定可以获得应有的回报）
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