武汉外冲数论专题文档格式.docx

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性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即

如果b∣a，c∣b，那么c∣a。

用同样的方法，我们还可以得出：

性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果

bc∣a，那么b∣a，c∣a。

性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a

一定能被b与c的乘积整除。

即如果b∣a，c∣a，且（b，c）=1，那么

bc∣a。

例如：

如果3∣12，4∣12，且（3，4）=1，那么（3×

4）∣12．

性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；

性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；

余数问题

一、带余除法的定义及性质

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷

b=q……r，也就是a＝b×

q＋r,

0≤r＜b；

我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：

（1）当

时：

我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

（2）当

我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等

于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×

16除以5的余数等于3×

1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×

19除以5的余数等于3×

4除以5的余数，即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：

a≡b（modm），左边的式子叫做同余式。

同余式读作：

a同余于b，模m。

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

用式子表示为：

如果有a≡b（modm），那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|（a－b）

三、弃九法原理

四、中国剩余定理

二、例题

1.常见数的整除判定特征

例1两个四位数

和

相乘，要使它们的乘积能被72整除，求

.

巩固1若四位数

能被15整除，则

代表的数字是多少？

例2

六位数

能被99整除，

是多少？

巩固2

已知九位数

既是9的倍数，又是11的倍数，那么，这个九位数是多少？

2.试除法

例3

在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

巩固3

在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少?

3、1001系列整除

例4

已知四十一位数55…5□99…9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？

巩固4

应当在如下的问号“？

”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数

可被11整除？

4、数的整除性质应用

例5

张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：

一共有多少学生？

每人种了几棵树？

巩固5

某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了1073棵，那么平均每人种了棵树？

5、带余除法的定义和性质

例6

有两个自然数相除，商是

，余数是

，已知被除数、除数、商与余数之和为

，则被除数是多少？

巩固6

两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．

例7.

1234567891011121314……19981999除以9的余数是多少？

巩固7

1234567891011121314……20132014除以9的余数是多少？

6、三大余数定理的应用

例8

有一个大于1的整数，除

所得的余数相同，求这个数。

巩固8

有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

例9

有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．

巩固9

用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．

例10

与

的和除以7的余数是________

巩固10

求

除以5时的余数。

例11

六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．

巩固11

商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．

例12

著名的裴波那契数列是这样的：

1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？

巩固12

有一串数：

1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？

7、中国剩余定理

例13

一批书大约300本到400本，包装成每包12本剩下11本；

每包18本，缺1本；

每包15本就有7包每包各多2本。

这批书有多少本？

巩固13

一堆棋子，接近150个，五五数之余1，六六数之余2，八八数之余2，这堆棋子有多少个？

例14

有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？

巩固14

一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？

例15

有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被,5整除，最大的能被7整除。

写出这样的三个最小的连续自然数。

巩固15

在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数。

三、习题

1、已知九位数

能被36整除，那么，这个九位数是多少？

2、已知九位数

既是9的倍数，又是11的倍数；

那么，这个九位数是多少？

3、某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？

4、三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和b，将它连续重复写2008次成为：

.如果此数能被91整除，那么这个三位数

5、用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？

6、学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？

7、有一个整数，用它去除70，110，160所得3个余数之和是50.求这个数。

8、

除以7的余数是多少？

9、六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．

10、1234567891011121314……20172018除以9的余数是多少？

11、有一些苹果，五个五个地数余下2个，六个六个的数余下2个，七个七个的数少2个，这些苹果最少有多少个？

12、一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？

13、有一串数1,2,4,7,11,16,22,29……这串数的组成规律是第2个数比第一个数多1，第3个数比第2个数多2，以此类推，这串数左起第1992个数除以5的余数是多少？