第22章量子力学基础.doc

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第22章量子力学基础

一、德布罗意物质波

德布罗意认为不仅光具有波粒二象性，实物粒子也具有波粒二象性。

描述实物粒子波函数中的、与实物粒子的能量E和动量p的德布罗意关系：

戴维孙-革末电子衍射实验，约恩孙电子双缝干涉实验都证实了电子具有的波动性。

二、海森伯不确定关系

由于微观粒子具有波粒二象性，我们就无法同时精确地测定微观粒子坐标与动量，海森伯提出了如下的不确定关系：

1、动量-坐标不确定关系

2、时间-能量不确定关系

三、波函数

微观粒子具有波粒二象性，它不同于经典的波也不同于经典的粒子，要描述微观粒子群体随时间的变化，引入波函数。

波函数确定后，微观粒子的波粒二象性就能得到准确的描述。

波函数是微观粒子的态函数。

1、波函数的物理意义：

某一时刻在空间某一位置粒子出现的几率正比于该时刻该位置波函数的平方，或，即

几率密度 

2、波函数的归一化条件

3、波函数的标准条件，单值有限连续。

四、薛定谔方程

薛定谔方程是量子力学的基础方程，由它可解出粒子的波函数

1、自由粒子：

，，

2、势场中粒子：

*非定态：

式中，为哈密顿算符。

定态：

五、薛定谔方程应用实例

1、一维势箱：

金属中电子、原子核中质子势能分布的理想化模型。

它的势函数

阱内一维定态薛定谔方程

解得满足边界条件（标准条件）归一化条件的解的波函数

能量  

当n=1时为基态能量 ，也叫零点能。

相应各量子数n的波函数，几率密度和能级分布如图：

2、一维势垒：

   半导体中p-n结处电子和空穴势能分布的简化模型。

3、隧道效应：

   粒子越过或穿透高于其总能量的势垒。

4、原子、分子运动的量子化特征：

原子振动能量：

分子转动能力：

5、电子角动量：

轨道角动量：

，

自旋角动量：

，

6、氢原子的定态：

氢原子中电子的定态薛定谔方程

解出来的波函数满足有限单值连续的标准条件可得下表中的四个量子数。

四个量子数表征氢原子中电子状态的特征，如表所列：

名称

可取数值

主要作用

主量子数n

正整数

1，2，3……

确定电子能量的主要部分

角量子数

在n给定以后，可取n个值，即0，1，2……（n-1）

相应常用s、p、d、f表示

确定电子的角动量

磁量子数

在给定以后，可取或个值，即0，，……

确定角动量在外磁场方向的投影

自旋量子数

只取两个值，

确定电子的自旋角动量沿某一方向上的投影

原子中不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的量子态，或者说一个原子中任何两个电子不可能具完全相同的四个量子数。

3、能量最小原理

原子系统中每个电子趋向占有最低能级，当原子系统的总能量为最小时原子最稳定。

六、多电子原子

1、四个量子数  

2、泡利不相容原理

七、经典粒子和微观粒子描述比较

经典粒子

微观粒子

状态描述

，

，一组量子数

运动图象

确定的动量、位置和轨迹

确定的几率分布

基础规律

牛顿定律

薛定谔方程

粒子状态

取决于力函数

取决于势能函数

力学量特征

连续变化

本征量量子化，非本征量不确定

固体量子理论基础

一、晶体

分子、原子按一定的周期性作规则排列的固体称为晶体。

1、按结合键分：

离子晶体、共价晶体、分子晶体、金属晶体、氢键晶体。

2、按导电性分：

导体、半导体、绝缘体。

二、电子波函数

1、周期性势场：

2、布洛赫波函数：

，

三、电子的能态

1、能带：

N个相近能级组成，对应原子能级。

2、禁带：

能带之间的禁区，电子不可能具有禁区能量。

四、电子运动

1、速度：

2、加速度：

3、有效质量：

五、半导体

1、本征导电性。

2、杂质导电性：

n型半导体、p型半导体。

六、超导BCS理论

【例22-1】原子从某一激发态跃迁到基态，发射出中心波长为，谱线宽度的光子，试估算：

（1）此光子的动量不确定度；

（2）此光子的位置不确定度；

（3）原子处在激发态的寿命；

（4）该激发态的能量宽度。

【解】

（1）光子的动量 

光子动量的不确定度  

（2）由不确定关系  

    得光子位置的不确定度  

（3）原子在激发态的寿命

（4）激发态的能量宽度可由不确定关系

      来估算得 

【例22-2】试用下列3种方法计算宽为a的无限深一维势阱中质量为m的粒子的最小能量（零点能）：

（1）德布罗意波的驻波条件；

（2）不确定关系式；

（3）薛定谔方程。

【解】

（1）要达到稳定状态，德布罗意波在势阱中应形成驻波，能量最小时驻波的波长为2a，该势阱中粒子的动量  

           相应的能量  

（2）由测不准关系 ，

取粒子的动量p与动量的测不准量为同一数量级，即 

得粒子的能量    

（3）根据薛定谔方程求解

即   

令 ，

原方程可写成：

方程的解为：

由边界条件          得：

                    得：

由此得 ，又因为上面已令 

 因此      

  得 

 最小时 n=1 得 

【例22-3】氢原子处于2p态，当它在外磁场中，考虑到轨道磁矩与外磁场的相互作用，讨论该状态的能级分裂情况，并计算跃迁发出光子的频率。

【解】氢原子处在外磁场中，由于空间量子化，电子轨道角动量相对外磁场方向有各种可能的取向，电子轨道磁矩也有相应的不同取向，导致氢原子与外磁场之间不同的相互作用势能，使氢原子电子轨道磁矩

电子磁矩与外磁场相互作用能

的可能取值有个，磁矩与外磁场相互作用能也出现个可能值。

对应于氢原子2p态与外磁场的相互作用能有三个不同值，分别为；，，，。

1s能级不变化，2p能级分裂为三个能级，相邻之间能级的能量差为。

原先由2p跃迁至1s的一条谱线分裂成为三条谱线，如图22-3所示。

其频率分别为：

原频率            

【例22-4】一维无限深阱中有10个电子，电子质量为m，势阱宽度为。

若忽略电子间的相互作用，应用量子物理的基本原理计算系统处于最低能量时，势阱中电子的最大能量。

【解】本题讨论一维无限深势阱中的电子排布。

电子波在无限深势中传播，由于两势阱壁的反射，形成稳定的驻波，类同与例22-2

（1），可导出在势阱中电子能量

处于势阱中电子的状态是由电子的能态和电子的自旋态决定的。

根据泡利不相容原理，每个能级上只能有自旋方向相反的两个电子，所以系统处于最低能量时，势阱中10个电子由最低能级开始依次逐级充填，如图所示。

显然，势阱中最大能量电子的量子数n=5，得：

【例22-5】如图22-5a所示为简化的金属表面附近的电子势能曲线和电子能级图。

若在垂直金属表面方向上加一匀强电场，指向金属表面，使金属中的自由电子向外逃逸。

（1）画出电子在外电场中的总势能曲线；

（2）试从量子力学效应定性解释电子从金属中逃逸的原因。

【解】

（1）外加磁场沿x负方向，，电子在外电场的电势能，由此可画出电子在外电场中的势能曲线及电子在外电场中的金属表面处的总势能曲线图22-5b。

（2）加上外电场后，原无限宽势能曲线变为变有限宽的势垒，根据量子力学隧道效应，电子将穿过势垒逃逸金属

【例22-6】21cm谱线是由银河系中氢原子发射的，它对应于电子的自旋从平行于氢原子中质子自旋方向一下子变为反平行方向时的能量变化。

试计算质子所产生的磁场。

【解】电子自旋磁矩 

设质子产生的磁场为，自旋磁矩与磁场的相互作用能

自旋方向从与平行变为与反平行，从变为，则能量的变化为

题意中表明银河系中氢原子发射的谱线波长，可知

解上两式：

     得：

【例22-7】一个CO分子，它的两个原子沿着它们的中心连线相对质心作一维振动。

已知键合的劲度系数，C和O的质量分别为，。

试计算：

（1）相对振动的频率；

（2）相邻两个振动能级的间距。

【解】

（1）设CO分子中C与O原子间距为，系统在振动过程中C、O的坐标分别为和，如图22-7所示。

据牛顿定律                  

（1）

（2）

C和O之间的键合作用力

式中为C、O对平衡位置的相对位移。

将

（1）、

（2）式改写成

                           （3）

                         （4）

（4）式减（3）式改写成为：

因此，谐振动圆频率

式中  为C、O两体系统的约化质量。

代入已知数据，得到CO分子中两原子相对振动的频率。

（2）根据谐振子的能量公式：

 相邻两个振动能级的能量

【例22-8】试列出二维无限深方势阱的薛定谔方程，并解出能级和波函数。

【解】二维无限深势阱的薛定谔方程为：

（1）

设波函数有两个独立函数乘积组成，并将E写成为，则

（1）式可改写成

（2）

（2）式也可写成：

若能使                                （3）

                                 （4）

则可以找到的解，由于波函数满足单值条件也就是找到了原方程

（1）的解了。

由（3）（4）式，仿照一维无限深方势阱，我们可得：

             式中1，2，3……

             式中1，2，3……

得：

相应还可求得能量：

，， 

22.1 在3K温度下中子的动能等于，求其德布罗意波长。

22.2 一个电子和一个光子均具有的波长，试求它们的动量、能量（包括静能）和动能。

22.3 证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。

22.5 以速度运动的电子射入场强为的匀强电场中加速，为使电子波长，电子在此场中应该飞行多长的距离？

22.6 图中所示为电子波干涉实验示意图，S为电子束发射源，发射出沿不同方向运动的电子，F为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上方，上方的电子折向下方，在前方交叉区放一电子感光板A，、分别为上、下方电子束的虚电子源，，底板A离源S的距离为D，设，电子的动量为p，试求：

（1）电子几率密度最大的位置；

（2）相邻暗条纹的距离（近似计算）。

22.7 设电子的位置不确定度为，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为1keV，计算电子能量的不确定度。

22.8 氢原子的吸收谱线的谱线宽度为，计算原子处在被激发态上的平均寿命。

22.9 若红宝石发出中心波长的短脉冲信号，时距为，计算该信号的波长宽度。

22.10 He-Ne激光器发出的红光沿x方向传播，谱线宽度，计算其波列长度。

22.11 设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为，式中为粒子角动量队不确定度，为粒子角位置的不确定度。