小学六年级数学应用题分类答案及详解Word文件下载.docx
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2-顺水速=顺水速-水速×
【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1、一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几小时?
由条件知,顺水速=船速+水速=320÷
8,而水速为每小时15千米,所以,船速为每小时320÷
8-15=25(千米)
船的逆水速为25-15=10(千米)
船逆水行这段路程的时间为320÷
10=32(小时)
这只船逆水行这段路程需用32小时。
例2、甲船逆水行360千米需18小时,返回原地需10小时;
乙船逆水行同样一段距离需15小时,返回原地需多少时间?
由题意得甲船速+水速=360÷
10=36
甲船速-水速=360÷
18=20
可见(36-20)相当于水速的2倍,
所以,水速为每小时(36-20)÷
2=8(千米)
又因为,乙船速-水速=360÷
15,
所以,乙船速为360÷
15+8=32(千米)
乙船顺水速为32+8=40(千米)
所以,乙船顺水航行360千米需要
360÷
40=9(小时)
乙船返回原地需要9小时。
例3、一架飞机飞行在两个城市之间,飞机的速度是每小时576千米,风速为每小时24千米,飞机逆风飞行3小时到达,顺风飞回需要几小时?
这道题可以按照流水问题来解答。
(1)两城相距多少千米?
(576-24)×
3=1656(千米)
(2)顺风飞回需要多少小时?
1656÷
(576+24)=2。
76(小时)
列成综合算式[(576-24)×
3]÷
(576+24)=2.76(小时)
飞机顺风飞回需要2.76小时。
工程问题
工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
这类问题在已知条件中,常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量=工作效率×
工作时间
工作时间=工作量÷
工作效率
工作时间=总工作量÷
(甲工作效率+乙工作效率)
【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。
例1、一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现在两队合作,需要几天完成?
题中的“一项工程”是工作总量,由于没有给出这项工程的具体数量,因此,把此项工程看作单位“1”。
由于甲队独做需10天完成,那么每天完成这项工程的1/10;
乙队单独做需15天完成,每天完成这项工程的1/15;
两队合做,每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。
由此可以列出算式:
1÷
(1/10+1/15)=1÷
1/6=6(天)
两队合做需要6天完成。
例2、一批零件,甲独做6小时完成,乙独做8小时完成。
现在两人合做,完成任务时甲比乙多做24个,求这批零件共有多少个?
设总工作量为1,则甲每小时完成1/6,乙每小时完成1/8,甲比乙每小时多完成(1/6-1/8),二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。
因为二人合做需要[1÷
(1/6+1/8)]小时,这个时间内,甲比乙多做24个零件,所以
(1)每小时甲比乙多做多少零件?
24÷
[1÷
(1/6+1/8)]=7(个)
(2)这批零件共有多少个?
7÷
(1/6-1/8)=168(个)
这批零件共有168个。
解二:
上面这道题还可以用另一种方法计算:
两人合做,完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8=4∶3
由此可知,甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7
所以,这批零件共有24÷
1/7=168(个)
例3、一件工作,甲独做12小时完成,乙独做10小时完成,丙独做15小时完成。
现在甲先做2小时,余下的由乙丙二人合做,还需几小时才能完成?
必须先求出各人每小时的工作效率。
如果能把效率用整数表示,就会给计算带来方便,因此,我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数,例如最小公倍数60,则甲乙丙三人的工作效率分别是
60÷
12=560÷
10=660÷
15=4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
(60-5×
2)÷
(6+4)=5(小时)
还需要5小时才能完成。
例4、一个水池,底部装有一个常开的排水管,上部装有若干个同样粗细的进水管。
当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池;
当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池;
现在要用2小时将水池注满,至少要打开多少个进水管?
注(排)水问题是一类特殊的工程问题。
往水池注水或从水池排水相当于一项工程,水的流量就是工作量,单位时间内水的流量就是工作效率。
要2小时内将水池注满,即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。
为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。
只要设某一个量为单位1,其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1,则4个进水管5小时注水量为(1×
4×
5),2个进水管15小时注水量为(1×
2×
15),从而可知
每小时的排水量为(1×
15-1×
5)÷
(15-5)=1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。
由此可知
一池水的总工作量为1×
5-1×
5=15
又因为在2小时内,每个进水管的注水量为1×
2,
所以,2小时内注满一池水
至少需要多少个进水管?
(15+1×
(1×
2)=8。
5≈9(个)
至少需要9个进水管。
正反比例问题
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定),那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。
反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。
【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。
许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。
【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是:
把分率(倍数)转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
例1、修一条公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米?
由条件知,公路总长不变。
原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12
现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12
比较以上两式可知,把总长度当作12份,则300米相当于(4-3)份,从而知公路总长为300÷
(4-3)×
12=3600(米)
这条公路总长3600米。
例2、张晗做4道应用题用了28分钟,照这样计算,91分钟可以做几道应用题?
做题效率一定,做题数量与做题时间成正比例关系
设91分钟可以做X应用题则有28∶4=91∶X
28X=91×
4X=91×
4÷
28X=13
91分钟可以做13道应用题。
例3、孙亮看《十万个为什么》这本书,每天看24页,15天看完,如果每天看36页,几天就可以看完?
书的页数一定,每天看的页数与需要的天数成反比例关系
设X天可以看完,就有24∶36=X∶15
36X=24×
15X=10
10天就可以看完。
按比例分配问题
所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。
这类题的已知条件一般有两种形式:
一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数。
【数量关系】从条件看,已知总量和几个部分量的比;
从问题看,求几个部分量各是多少。
总份数=比的前后项之和
【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母,比的前后项分别作分子),再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法,分别求出各部分量的值。
例1、学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三个班各植树多少棵?
总份数为47+48+45=140
一班植树560×
47/140=188(棵)
二班植树560×
48/140=192(棵)
三班植树560×
45/140=180(棵)
一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。
例2、用60厘米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是3∶4∶5。
三条边的长各是多少厘米?
3+4+5=1260×
3/12=15(厘米)
4/12=20(厘米)
5/12=25(厘米)
三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。
例3、从前有个牧民,临死前留下遗言,要把17只羊分给三个儿子,大儿子分总数的1/2,二儿子分总数的1/3,三儿子分总数的1/9,并规定不许把羊宰割分,求三个儿子各分多少只羊。
如果用总数乘以分率的方法解答,显然得不到符合题意的整数解。
如果用按比例分配的方法解,则很容易得到
1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2
9+6+2=1717×
9/17=9
17×
6/17=617×
2/17=2
大儿子分得9只羊,二儿子分得6只羊,三儿子分得2只羊。
方阵问题
将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条件求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。
(1)方阵每边人数与四周人数的关系:
四周人数=(每边人数-1)×
4
每边人数=四周人数÷
4+1
(2)方阵总人数的求法:
实心方阵:
总人数=每边人数×
每边人数
空心方阵:
总人数=(外边人数)?
-(内边人数)?
内边人数=外边人数-层数×
(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:
总人数=(每边人数-层数)×
层数×
【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘;
空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。
例1、在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22人,参加体操表演的同学一共有多少人?
22×
22=484(人)
参加体操表演的同学一共有484人。
例2、有一个3层中空方阵,最外边一层有10人,求全方阵的人数。
10-(10-3×
2)=84(人)
全方阵84人。
例3、有一队学生,排成一个中空方阵,最外层人数是52人,最内层人数是28人,这队学生共多少人?
(1)中空方阵外层每边人数=52÷
4+1=14(人)
(2)中空方阵内层每边人数=28÷
4-1=6(人)
(3)中空方阵的总人数=14×
14-6×
6=160(人)
这队学生共160人。
例4、一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形纵横两个方向各增加一层,则缺少9只棋子,问有棋子多少个?
(1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)
(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)÷
2=7(只)
(3)原有棋子数=7×
7-9=40(只)
棋子有40只。
例5、有一个三角形树林,顶点上有1棵树,以下每排的树都比前一排多1棵,最下面一排有5棵树。
这个树林一共有多少棵树?
第一种方法:
1+2+3+4+5=15(棵)
第二种方法:
(5+1)×
5÷
2=15(棵)
这个三角形树林一共有15棵树。
追及问题
两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。
这类应用题就叫做追及问题。
追及时间=追及路程÷
(快速-慢速)
追及路程=(快速-慢速)×
追及时间
【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
例1、好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马?
(1)劣马先走12天能走多少千米?
75×
12=900(千米)
(2)好马几天追上劣马?
900÷
(120-75)=20(天)
列成综合算式75×
12÷
(120-75)=900÷
45=20(天)
好马20天能追上劣马。
例2、小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑。
小明第一次追上小亮时跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米。
小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即200米,此时小亮跑了(500-200)米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑500米所用的时间。
又知小明跑200米用40秒,则跑500米用[40×
(500÷
200)]秒,
所以小亮的速度是(500-200)÷
[40×
200)]=300÷
100=3(米)
小亮的速度是每秒3米。
例3、我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开始从乙地追击。
已知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上敌人?
敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时,这段时间敌人逃跑的路程是[10×
(22-6)]千米,甲乙两地相距60千米。
由此推知
追及时间=[10×
(22-6)+60]÷
(30-10)=220÷
20=11(小时)
解放军在11小时后可以追上敌人。
例4、一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;
一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的距离。
这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。
从题中可知客车落后于货车(16×
2)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间,
这个时间为16×
2÷
(48-40)=4(小时)
所以两站间的距离为(48+40)×
4=352(千米)
列成综合算式(48+40)×
[16×
(48-40)]=88×
甲乙两站的距离是352千米。
例5、兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米。
哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹妹相遇。
问他们家离学校有多远?
要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。
从题中可知,在相同时间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(180×
2)米,这是因为哥哥比妹妹每分钟多走(90-60)米,
那么,二人从家出走到相遇所用时间为180×
(90-60)=12(分钟)
家离学校的距离为90×
12-180=900(米)
家离学校有900米远。
例6、孙亮打算上课前5分钟到学校,他以每小时4千米的速度从家步行去学校,当他走了1千米时,发现手表慢了10分钟,因此立即跑步前进,到学校恰好准时上课。
后来算了一下,如果孙亮从家一开始就跑步,可比原来步行早9分钟到学校。
求孙亮跑步的速度。
手表慢了10分钟,就等于晚出发10分钟,如果按原速走下去,就要迟到(10-5)分钟,后段路程跑步恰准时到学校,说明后段路程跑比走少用了(10-5)分钟。
如果从家一开始就跑步,可比步行少9分钟,由此可知,行1千米,跑步比步行少用[9-(10-5)]分钟。
所以步行1千米所用时间为1÷
[9-(10-5)]=0.25(小时)=15(分钟)
跑步1千米所用时间为15-[9-(10-5)]=11(分钟)
跑步速度为每小时1÷
11/60=5.5(千米)
孙亮跑步速度为每小时5.5千米。
倍比问题
有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。
总量÷
一个数量=倍数
另一个数量×
倍数=另一总量
【解题思路和方法】先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。
例1、100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜籽3700千克,可以榨油多少?
(1)3700千克是100千克的多少倍?
3700÷
100=37(倍)
(2)可以榨油多少千克?
40×
37=1480(千克)
列成综合算式40×
(3700÷
100)=1480(千克)
可以榨油1480千克。
例2、今年植树节这天,某小学300名师生共植树400棵,照这样计算,全县48000名师生共植树多少棵?
(1)48000名是300名的多少倍?
48000÷
300=160(倍)
(2)共植树多少棵?
400×
160=64000(棵)
列成综合算式400×
(48000÷
300)=64000(棵)
全县48000名师生共植树64000棵。
例3、凤翔县今年苹果大丰收,田家庄一户人家4亩果园收入11111元,照这样计算,全乡800亩果园共收入多少元?
全县16000亩果园共收入多少元?
(1)800亩是4亩的几倍?
800÷
4=200(倍)
(2)800亩收入多少元?
11111×
200=2222200(元)
(3)16000亩是800亩的几倍?
16000÷
800=20(倍)
(4)16000亩收入多少元?
2222200×
20=44444000(元)
全乡800亩果园共收入2222200元,全县16000亩果园共收入44444000元。
溶液浓度问题
在生产和生活中,我们经常会遇到溶液浓度问题。
这类问题研究的主要是溶剂(水或其它液体)、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。
例如,水是一种溶剂,被溶解的东西叫溶质,溶解后的混合物叫溶液。
溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度,也叫百分比浓度。
溶液=溶剂+溶质
浓度=溶质÷
溶液×
100%
【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。
例1、爷爷有16%的糖水50克,
(1)要把它稀释成10%的糖水,需加水多少克?
(2)若要把它变成30%的糖水,需加糖多少克?
(1)需要加水多少克?
50×
16%÷
10%-50=30(克)
(2)需要加糖多少克?
(1-16%)÷
(1-30%)-50=10(克)
(1)需要加水30克,
(2)需要加糖10克。
例2、要把30%的糖水与15%的糖水混合,配成25%的糖水600克,需要30%和15%的糖水各多少克?
假设全用30%的糖水溶液,那么含糖量就会多出
600×
(30%-25%)=30(克)
这是因为30%的糖水多用了。
于是,我们设想在保证总重量600克不变的情况下,用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。
这样,每“换掉”100克,就会减少糖100×
(30%-15%)=15(克)所以需要“换掉”30%的溶液(即“换上”15%的溶液)100×
(30÷
15)=200(克)
由此可知,需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液600-200=400(克)
需要15%的糖水溶液200克,需要30%的糖水400克。
最值问题
科学的发展观认为,国民经济的发展既要讲求效率,又要节约能源,要少花钱多办事,办好事,以最小的代价取得最大的效益。
这类应用题叫做最值问题。
【数量关系】一般是求最大值或最小值。
【解题思路和方法】按照题目的要求,求出最大值或最小值。
例1、在火炉上烤饼,饼的两面都要烤,每烤一面需要3分钟,炉上只能同时放两块饼,现在需要烤三块饼,最少需要多少分钟?
先将两块饼同时放上烤,3分钟后都熟了一面,这时将第一块饼取出,放入第三块饼,翻过第二块饼。
再过3分钟取出熟了的第二块饼,翻过第三块饼,又放入第一块饼烤另一面,再烤3分钟即可。
这样做,用的时间最少,为9分钟。
最少需要9分钟。
例2、在一条公路上有五个卸煤场,每相邻两个之间的距离都是10千米,已知1号煤场存煤100吨,2号煤场存煤200吨,5号煤场存煤400吨,其余两个煤场是空的。
现在要把所有的煤集中到一个煤场里,每吨煤运1千米花费1元,集中到几号煤场花费最少?
我们采用尝试比较的方法来解答。
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