教育部审定六年级上册数学知识点整理Word格式.docx
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a
乘法结合律：
（a×
b）×
c=a×
（b×
c）
乘法分配律：
（a+b）×
c=ac+bc
三、倒数
1、倒数的意义：
乘积是1的两个数互为倒数。
强调：
互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。
（要说清谁是谁的倒数）。
2、求倒数的方法：
（1）、求分数的倒数：
交换分子分母的位置。
（2）、求整数的倒数：
把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。
（3）、求带分数的倒数：
把带分数化为假分数，再求倒数。
（4）、求小数的倒数：
把小数化为分数，再求倒数。
（5）用1直接除以这个数
3、1的倒数是1；
0没有倒数。
因为1×
1=1；
0乘任何数都得0，
（分母不能为0）
4、对于任意数
，它的倒数为
；
非零整数
的倒数为
分数
的倒数是
5、真分数的倒数大于1；
假分数的倒数小于或等于1；
带分数的倒数小于1。
第三单元分数除法
一、分数除法
1、分数除法的意义：
乘法：
因数×
因数=积除法：
积÷
一个因数=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则：
除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
3、“
”叫做中括号。
一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
第四单元、比和比的应用
（一）、比的意义
1、比的意义：
两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
例如15：
10=15÷
10=
（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）
3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。
如甲数是乙数的2倍，可以说甲数和乙数的比2：
1；
也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。
例：
路程÷
速度=时间。
4、 比和除法、分数的联系：
比
前项
比号“：
”
后项
比值
除法
被除数
除号“÷
除数
商
分数
分子
分数线“—”
分母
分数值
5、比和除法、分数的区别：
除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。
（二）、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。
比的基本性质：
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
2、最简整数比：
比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。
3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比：
①两个整数比：
用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
②两个分数的比：
用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。
③两个小数的比：
向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。
5．按比例分配：
把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种方法通常叫做按比例分配。
要分配的数量一定要是比中相对应两个数量的和。
如长方形的周长、长方体的棱长总和、平均数等都不是对应比各部分量的和
6、路程一定，速度比和时间比成反比。
（如：
路程相同，速度比是4：
5，时间比则为5：
4）
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。
工作总量相同，工作时间比是3：
2，工作效率比则是2：
3）
7、工程问题：
假设工作总量为1，工作效率用完成时间分之一来表示，然后根据工作时间=工作总量÷
工作效率进行计算
第五单元圆
一、认识圆
1、圆的定义：
圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：
圆中心的一点，叫做圆心。
一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等．
3、半径：
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。
所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的
。
用字母表示为：
d＝2r或r＝
8、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。
这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有：
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是：
长方形
只有3条对称轴的图形是：
等边三角形
只有4条对称轴的图形是：
正方形;
有无数条对称轴的图形是：
圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长：
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
用字母C表示。
2、圆周率实验：
在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。
发现一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
3．圆周率：
任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π（pai）表示。
圆周率π是一个无限不循环小数。
在计算时，一般取π≈3.14。
（2）、在判断时，圆周长是它直径的π倍（而不是3.14倍），是半径的2π倍。
（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式：
C=πdd=C÷
π
或C=2πrr=C÷
2π
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
即外方内圆，正方形和圆的面积比是4：
π。
如果圆的半径为r。
外方内圆之间部分的面积为0.86r2
在圆内画一个最大的正方形，即外圆内方，圆和正方形的面积比π：
2.如果圆的半径为r。
外圆内方之间部分的面积为1.14r2
6、区分周长的一半和半圆的周长：
（1）周长的一半：
等于圆的周长÷
2计算方法：
2πr÷
2即πr
（2）半圆的周长：
等于圆的周长的一半加直径。
计算方法：
πr＋2r即5.14r
三、圆的面积
1、圆的面积：
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导：
把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图会近似于一个长方形。
长方形的长近似于圆周长的一半，长方形的宽近似于圆的半径
（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
因为：
长方形面积=长×
宽
所以：
圆的面积=圆周长的一半×
圆的半径
S圆=πr×
r
圆的面积公式：
S圆=πr2r2=S÷
π
4、环形的面积：
一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。
（R＝r＋环的宽度．）
S环=πR²
－πｒ²
或
环形的面积公式：
S环=π（R²
－ｒ²
）。
5、扇形的面积计算公式：
S扇=πr2×
（n表示扇形圆心角的度数）
6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。
7、两个圆：
半径比=直径比=周长比；
而面积比等于这比的平方。
两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9
8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：
4∶π
9、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。
反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
10、确定起跑线：
（1）、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度。
（2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。
（因此起跑线不同）
（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是：
2×
π×
跑道的宽度
（4）、当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；
当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。
11、常用各π值结果：
π=3.142π=6.283π=9.424π=12.565π=15.76π=18.847π=21.988π=25.129π=28.2610π=31.412π=37.6815π=47.1
16π=50.2418π=56.5225π=78.5
第六单元百分数
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义：
表示一个数是另一个数的百分之几。
也叫百分率或百分比。
2、百分数和分数的主要联系与区别：
①、意义不同：
百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；
分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。
②、百分数可以看作分母是100的分数，但百分数通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。
百分数的分子可以是整数，也可以是小数；
二、百分数和分数、小数的互化
（一）百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：
把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
2.百分数化成小数：
把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。
（二）百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：
先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数：
①用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。
②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化
=0.5=50%
=0.2=20%
=0.625=62.5%
=0.25=25%
=0.4=40%
=0.125=12.5%
=0.75=75%
=0.6=60%
=1.375=37.5%
=0.8=80%
=0.875=87.5%
=0.04=4﹪
=0.08=8﹪
=0.12=12﹪
=0.16=16﹪
=0.24=24﹪
=0.02=2﹪
≈0.167=16.7﹪
≈0.333=33.3﹪
≈0.667=66.7﹪
三、用百分数解决问题
（一）一般应用题
1、常见的百分率的计算方法：
①合格率=
②发芽率=
③出勤率=
④达标率=
⑤成活率=
⑥出粉率=
命中率＝×
100％盐水的含盐率=×
100％
（二）百分数乘、除法问题
百分数应用题与分数应用题数量关系和解题方法完全相同。
关键要找准单位“1”.
<
一>
求百分之几的百分数问题
1、求一个数是另一个数的的百分之几的问题：
用“一个数÷
另一个数”
例如“8是5的百分之几？
”用8÷
5.
2、求一个数比另一个数多或者少百分之几的问题：
用“相差数÷
单位1”
例如“8比5多百分之几？
”用（8-5）÷
5.；
5比8少百分之几？
用（8-5）÷
8
【注意：
不管是求百分之几或是多（少）百分之几，单位1都作除数】
二>
百分数乘法问题：
单位1已知
1、求一个数的百分之几是多少的问题：
用单位“1”的量×
分率=分率对应量
求120千克的80%是多少？
用120×
80%
2、求比一个数多百分之几的数是多少的问题：
（1+分率）=相比较的量。
一个数比20多25%，求这个数？
用20×
（1+25%）
3、求比一个数少百分之几的数是多少的问题：
（1-分率）=相比较的量。
一个数比20少25%，求这个数？
（1-25%）
三>
百分数除法应用题：
单位“1”未知
1、已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题：
用相比较的数量÷
分率=单位1的量。
一个数的20%是15，求这个数？
用15÷
20%
2、已知比一个数多百分之几的数是多少，求这个数的问题：
（1+分率）=单位1的量。
比一个数多20%的数是15，求这个数？
（1+20%）
3、已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数的问题：
（1-分率）=单位1的量。
比一个数少20%的数是15，求这个数？
（1-20%）
补充内容：
1、商店有时降价出售商品，叫做打折扣出售，通称“打折”。
几折就表示十分之几，也就是百分之几十。
2、农业收成，经常用“成数”来表示。
“一成”是十分之一，改写成百分数就是10％，“二成”是十分之二，改写成百分数就是20％，“三成五”就是二分之三点五，改写成百分数就是35％。
第七单元统计
一、扇形统计图的意义：
用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。
也就是各部分数量占总数的百分比
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：
可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图：
不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图：
能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
三、要反映数量的增减变化，可以用条形统计图和折线统计图，但用折线统计图更直观；
而要反映各部分占总数的百分数可选用用条形统计图和扇形统计图，但用扇形统计图更直观；
第八单元数学广角
一、“鸡兔同笼”问题的特点：
题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量，求出各未知数的单量。
二、“鸡兔同笼”问题的解题方法
1、假设法：
假设一种与事实不相符的情况，假设全部是兔，算出假设与实际的差异，再找出造成这种差异的原因（一只鸡和兔的腿的条数不同），用差除以差，算出鸡的只数、
2、列方程解是一般设腿数多的动物只数为x.
实践活动：
节约用水
每年的3月22日是世界水日，我国水资源人均占有量只有2300立方米，约是世界人均水平的1/4.排在世界第121位，是世界上13个贫水国家之一。
解决分数百分数问题口诀：
解决问题先别慌，反复读题的头一桩，
条件、问题、关系句，一字不漏正反想；
线段图，是拐杖，用方程，切莫忘，化难为易他最强；
分数题，单位1，量率对应细分析，
已知用乘、未知除，多加少减莫大意；
三种九类基本题，你要牢牢记心里。
怎样寻找单位1？
单位1，怎么判，一般都在分数前，
相当、等于、是、比、占，
单位“1”就在它后面；
有时单位1难寻觅，
想一想它原是与谁比？
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