高中数学第二章圆锥曲线与方程11椭圆及其标准方程学案北师大版选修11整理.docx
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高中数学第二章圆锥曲线与方程11椭圆及其标准方程学案北师大版选修11整理
2017-2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程学案北师大版选修1-1
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1．1 椭圆及其标准方程
学习目标 1。
了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程。
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
知识点一 椭圆的定义
思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？
思考2 在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖（动点）满足的几何条件吗？
梳理 把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于____________________的点的集合叫作椭圆,这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
知识点二 椭圆的标准方程
思考1 椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义,它们满足什么关系？
思考2 椭圆定义中，为什么要限制常数｜PF1|＋｜PF2|＝2a>｜F1F2|？
梳理
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1（a>b>0）
＋＝1（a>b>0）
图形
焦点坐标
a，b，c的关系
类型一 求椭圆的标准方程
命题角度1 焦点位置已知求椭圆的方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
（1）焦点在x轴上,a∶b＝2∶1，c＝；
（2）经过点（3，）,且与椭圆＋＝1有共同的焦点．
反思与感悟 用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：
首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程（组）,再解方程（组）求出待定系数,最后写出椭圆的标准方程．
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点（－，）；
（2）焦点在x轴上，且经过两个点（2，0）和（0,1）．
命题角度2 焦点位置未知求椭圆的方程
例2 求经过（2，－）和两点的椭圆的标准方程．
反思与感悟 如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：
一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上设出椭圆的标准方程,再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1（A>0,B>0，A≠B），再解答．
跟踪训练2 求经过A（0,2）和B（，）两点的椭圆的标准方程．
类型二 椭圆方程中参数的取值范围
例3 “方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是（ ）
A．1C．2〈m<3D．1反思与感悟
（1）利用椭圆方程解题时,一般首先要化成标准形式．
（2）＋＝1表示椭圆的条件是
表示焦点在x轴上的椭圆的条件是
表示焦点在y轴上的椭圆的条件是
跟踪训练3 已知x2sinα＋y2cosα＝1（0≤α≤π）表示焦点在x轴上的椭圆．求α的取值范围．
类型三 椭圆定义的应用
例4 如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点,且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
引申探究
在例4中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连接BF2,其他条件不变，求△BPF2的周长．
跟踪训练4
已知椭圆的方程为＋＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°（如图）．求△PF1F2的面积．
1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8,动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆B．直线
C．圆D．线段
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是（0,1），则实数k的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．“m>n〉0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆"的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
5．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则｜PF1｜·｜PF2｜＝________。
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2｜＝2a，当2a〉｜F1F2｜时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2;当2a〈|F1F2|时，轨迹不存在．
2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：
可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点的位置,可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1（A〉0，B〉0，A≠B）求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键．
思考2 笔尖（动点）到两定点（绳端点的固定点）的距离之和始终等于绳长．
梳理 常数（大于｜F1F2|）
知识点二
思考1 椭圆方程中,a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半,可借助图形帮助记忆，a、b、c（都是正数）恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2。
思考2 只有当2a>|F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆;当2a＝｜F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2;当2a〈|F1F2｜时，满足条件的点不存在．
梳理 F1（－c,0），F2（c,0） F1（0,－c），F2（0，c） c2＝a2－b2
题型探究
例1 解
（1）∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6。
①
又由a∶b＝2∶1，得a＝2b,
代入①，得4b2－b2＝6，解得b2＝2，
∴a2＝8。
又∵焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）方法一 椭圆＋＝1的焦点为（－4，0）和（4，0），
由椭圆的定义可得
2a＝＋
，
∴2a＝12，即a＝6。
∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 由题意可设椭圆的标准方程为
＋＝1,
将x＝3，y＝代入上面的椭圆方程，得
＋＝1，
解得λ＝11或λ＝－21（舍去）,
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练1 解
（1）∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1（a〉b〉0）．
由椭圆的定义知，
2a＝＋
＝2，
即a＝.又c＝2,
∴b2＝a2－c2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1。
（2）∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1（a>b〉0）．
又椭圆经过点（2，0）和（0，1），
∴
∴
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
例2 解 设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1（A>0,B>0,A≠B）．
将点（2，－），代入，
得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1。
跟踪训练2 解 当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1（a>b>0），
∵A（0，2），B（，）在椭圆上，
∴
解得
这与a〉b相矛盾，故应舍去．
当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1（a>b〉0），
∵A（0,2），B（，）在椭圆上，
∴
解得
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1，
综上可知，椭圆的标准方程为＋x2＝1.
例3 A ［要使方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆,
则m应满足
解得1∵A选项中｛m|1〈m<}｛m｜1〈m<2｝，
故选A.］
跟踪训练3 解 x2sinα＋y2cosα＝1，
可化为＋＝1,
由题意知
解得0〈α〈。
∴α的取值范围是.
例4 解 在椭圆＋＝1中，a＝，
b＝2,
∴c＝＝1。
又∵P在椭圆上,
∴｜PF1｜＋｜PF2|＝2a＝2,①
由余弦定理知，
|PF1｜2＋|PF2｜2－2|PF1|·|PF2｜·cos30°＝|F1F2｜2＝（2c）2＝4，②
①式两边平方，得
|PF1｜2＋|PF2｜2＋2｜PF1｜·|PF2|
＝20,③
③－②,得（2＋）|PF1｜·｜PF2｜＝16,
∴｜PF1｜·｜PF2|＝16（2－）．
∴S△F1PF2＝｜PF1|·｜PF2|·sin30°＝8－4－12.
引申探究 解 由椭圆的定义，可得△BPF2的周长为|PB｜＋｜PF2｜＋｜BF2|
＝（|PF1｜＋|PF2|）＋（|BF1|＋|BF2｜）
＝2a＋2a＝4a＝4。
跟踪训练4 解 由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1。
从而|F1F2｜＝2c＝2.
在△PF1F2中,由勾股定理可得
|PF2｜2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋4。
又由椭圆定义知｜PF1|＋|PF2|
＝2×2＝4，
所以｜PF2｜＝4－｜PF1|。
从而有（4－｜PF1｜）2＝｜PF1|2＋4。
解得｜PF1|＝.
所以△PF1F2的面积S＝·｜PF1｜·｜F1F2|＝××2＝，
即△PF1F2的面积是.
当堂训练
1．D 2。
B 3。
C 4.＋x2＝1 5.48
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