最短路径最少费用数学建模论文Word文档格式.docx
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湖南
香港北京重庆青海
上海
台湾上海北京。
关键词：
关键字：
最短路径送货线路优化赋权连通简单无向图Excel最小生成树
§
1问题的重述
一、问题背景
现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位，现有实业公司，该实业公司专业生产某专用设备产品，专用设备产品每件重达5吨（其长5米，
宽4米，高6米），该实业公司库房设在北京，所有货物均由一货机送货，该机种飞机翼展88.40米（机身可用宽20米），机长84米（可用长50米），机高18.2米（可用14米），最多可装载250吨货物，起飞全重达600吨，平均速度为900公里/小时，将货物送至全国各个省辖市（图1所示红色圆点，除北京之外共19个省辖市），假定货机只能沿这些连通线路飞行，而不能走其它任何路线；
但由于受重量和体积限制，货机可中途返回取货。
经过的各个省市都要一定的停靠费用和停靠时间（停靠时间为常量2小时），
假设经过某个省市的停靠费用为：
停靠费用=5000元X该省市的消费指数.
二、相关数据
1各个城市间的通路和权数
1、上图1描述了中国各个省市之间的航班以及权重以图中标注为准;
2、有些省市之间是没有航班，需要中转
2、城市消费指数和需求量数据表
表1
省辖市
云南
台湾
需求量（件）
1
3
5
4
10
9
8
消费指数
1.2
1.1
1.05
1.3
1.9
1.4
1.7
1.6
西藏
内家古
香港
黑龙江
7
12
6
1.0
1.5
1.8
三、要解决的问题
1问题一：
若图示中19个省辖市每个省辖市只要一件产品请设计送货方案，使所用时间最少，标出送货线路。
2、问题二：
若图示中19个省辖市需求量见表1,请设计送货方案，使所用时间最少。
3、问题三：
若该实业公司为了花费最少，针对问题1和问题2分别求出花费、标出送货线路。
2问题的分析
现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个工厂为了自身的发展需要以最快的速度及时将产品送达所需单位，在有限的单次最大载重的前提下，考虑在时间允许的范围内如何将货物最快、最省钱的送到客户手中。
我们要研究制定既省时又省钱的最佳送货计划。
一、对问题的具体分析
1对问题一的分析：
我们对第一问要求时间最短，我们最短时间转化最短距离，围绕货物所要运到的地址数据及这些地址之间的距离，采用Floyd算法进行求解得到任意两地之间的最短距离，再根据最小生成树的求法可以求出该图G的最小生成树，由于该问题研究的是闭合回路，所以又需要对问题进行整体优化，最后得出了最佳飞行线路。
2、对问题二的分析：
根据重量、体积和各个城市的需求量的限制，货机一次最多只能载50件产品，考
虑19个城市的总需求为114,这就估算出至少需要返回2次，采用逆向求解的方法，相
当于3架货机同时送货，要设计线路使总共花费的时间最短，尽量使送货任务均衡，最大限度不超过50件货物，最后得出结果。
3、对问题三的分析：
第三问中仍将所有约束转化为路径约束，求出最优解。
3模型的假设
1、飞机在送货期间能保持正常工作状态，不受燃料以及天气变化等影响；
2、假设飞机自身无任何故障，不考虑飞机的起飞和降落时间，认为飞机在工作时速度始终保持在平均速度为900公里/小时；
3、飞机的外形及重量的变化不影响飞机的速度；
4、假设货物在存放中，货物与货物之间无空隙；
5、飞机在送完一地货物时所剩货物不满足下一地需求时则返回；
6、假定货机只能沿着图中的连通路线飞行，而不走其他的路线；
7、假设飞机送完货后必须返回北京。
4符号说明
一、符号说明
1、将地图上城市用点表示，并进行编号详细见下
表.2
A1
A11
A2
A12
A3
A13
A4
厶南
A14
A5
A15
A6
A16
A7
A17
A8
A18
A9
A19
A10
A20
2、AiAj:
点Ai到点Aj的线段
3、权
（1）：
表示题目中给出的两城市之间的权，如北京一新疆（A1A5）的权
（1）为
4、权
（2）:
表示通过两城市之间路程所花费的时间，如北京一新疆（A1A5）的权
（2）为23*100/900+2=4.5555556（小时）
5、权（3）：
表示通过两城市之间路程的花费，如北京一新疆（A1A5）的权（3）为23*2500+1.55*5000=65250（小时），1.15为两城市指数的平均值.
6、V:
A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A11，A12，A13，A14，A15，A16，A17，A18，A19，A20的集合.
7、E:
A1A5，A1A6，A1A10，A1A13，A1A15，A1A17，A1A19，A2A5，A2A11，
A3A11，A3A18，A4A5，A4A12，A4A15，A5A12，A5A14，A5A15，A6A7，A6A15，A6A17，A7A16，A8A18，A8A19，A9A10，A9A14，A9A18，A9A19，A13A15，A13A16，A19A20的集合.
&
W:
V中点之间的权
（2）的集合，贝UG=（V，E，W）表示赋权连通简单无向图
9、M:
V中点之间的权（3）的集合，贝UF=（V，E，M）表示赋权连通简单无向图
10、G（V，E）:
赋权连通图；
11、Gi:
G（V，E）的第i个子图；
12、Li:
为子图Gi中的最佳回路；
13、w（e）:
为边e的权；
14、w（v）:
为点v的点权；
15、'
:
口的各边的大小；
5模型的建立与求解
依据问题的要求及相关假设，建立相应的模型并进行求解：
一、问题一的模型建立与求解
1、模型I最小生成树模型
根据题目意思，两城市之间的时间=权
（1）*100/速度+2（单位：
小时）
例如北京到新疆A1A5权
（1）是4.5555556，其他见下
表3
线路
权
（1）
权
（2）（时间）
A1A5
23
4.5555556
A5A12
2.888888889
A1A6
21
4.3333333
A5A14
20
4.222222222
A1A10
2.8888889
A5A15
22
4.444444444
A1A13
4.2222222
A6A7
2.333333333
A1A15
3.3333333
A6A17
2
2.222222222
A1A17
24
4.6666667
A7A16
A1A19
A8A18
2.444444444
A2A5
2.6666667
A8A19
A2A13
A9A10
A2A11
2.4444444
A9A14
11
3.222222222
A3A11
2.2222222
A9A18
15
3.666666667
A3A18
3.1111111
A9A19
17
3.888888889
A4A5
3.2222222
A13A15
3.333333333
A4A12
A13A16
2.777777778
A4A15
3.6666667
A19A20
定义V为A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,All,A12,A13,A14,A15,A16,A17,A18,A19,A20的集合，定义E为A1A5,A1A6,A1A10,A1A13,A1A15,A1A17,A1A19,A2A5,A2A11,A2A13,A3A11,A3A18,A4A5,A4A12,A4A15,A5A12,A5A14,A5A15,A6A7,A6A17,A7A16,A8A18,A8A19,A9A10,A9A14,A9A18,A9A19,A13A15,A13A16,A19A20的集合,定义W为V中点之间的权
（2）的集合,
则G=（V,E,W表示图•
2、模型I求解
根据最小生成树的求法可以求出改图G的最小生成树如图2
黑龙江A9
A14/林A10内蒙，/
海南A7
沿着最小生成树的路线相对较短，为：
A1—A19-A20-A19-A8—A18—A3-A11—A2—A5-A12-A5-A4—A5-A2-A13-A16-A7—A6-A17—A15-A1—A10—A9-A14—A9—A10-A1
经过观察上面下划线的部分并A5-A12-A5-A4—A5—A2-A13-A16不是最短的，经计算这个路线A5-A12-A4—A15-A13-A16比上一段的要短，故用它替换上一段，这里经过了A15,那从A17可直接到A1,不用再经过A15,故A7—A6—A17—A15-A1这段可用A7—A6-A17—A1来替换，A1—A19-A20-A19-A8—A18—A3-A11—A2-A5—A12-A4—A15-A13-A16-A7—A6-A17—A1—A10-A9-A14—A9-A10-A1,由于这条路径最后一段，A20,和A9都重走了，故可对路径进行重组，依据线路最短和经过两次的城市最少的原则，经过综合分析，得出最优的路径为
A1—A17—A6-A7—A16-A13-A15-A4—A12-A5—A2-A11—A3-A18—A8—A19—A20-A19-A9-A14—A9-A10-A1。
可以将相邻两点的权
（2）相加，和为总时间，经过计算上述线路所花时间是61小
时，为最短时间•
二、问题二的模型建立与求解
1、建立模型
把各个城市间的航线示意图抽象为一赋权连通图G（V,E），在权图G中，v「v（G）对应的示意图中各个货物需求地，vo表示北京，e「E（G）对应图中的航线，边权w（ej）对应示意图中的航线长。
建立的数学模型如下：
-eE（G）,w（e）N,vv（G）,w（v）|V*T,|v°
V（G）,求g中回路Li，l2,……，LJk>
），使得满足：
（1）v/V（Li）,i=1,2,……,k；
k
⑵JV（Li）W）；
n
（3）、w（e）=min（目标为总距离最短）；
或max|w⑹、w（v）|=
i斗e^E（L）e^E（L）tW（t）
min（目标为飞行所用时间最少）。
2、模型求解
由分析得此货机至少要回去取货二次，相当于把图G分成三个子图GF胡,2,3）,
在每个子图Gi中寻找最佳回路［卫=1,2,3）。
因为最小生成树包括图G中的所有顶点，而且最小树的边权是相邻两点之间是的距离，它描述顶点之间的相近程度，故可利用最小生成树进行初步分块。
根据最小生成树求解Kruskal算法，找到图的最小生成树如下图3：
/」
A14.储林A10
内蒙”/用;
京A1
—苏A丄8
西藏A12
、上海A19
现要对已经得到的最小生成树进行分解，以获得三个子图G,使得分解的每一组的
各个城市需求和不超过50件货物，并且尽量使每一组的线路最短。
从而根据最小生成树的分解方法把图G（V，E）划分为三个子图G」=123，分别在Gi中寻找最佳航线。
依据寻找最优回路的有效优化规则：
扩环策略、增环策略、换枝策略，寻找最优的分块结果，在Gi，i=123，中分别寻找一条从北京出发，遍历V并回到北京的最短路线。
在G（V，E）中求三条从北京0出发并回到北京0的路Li,L2，L3，依据的步骤如下，做出G和0之间的最短路；
以0与G连通的路径及原图G的最优树在Gi中保留的边为基础，进行增环扩环调整，使最后尽可能形成一个环路。
北京吉林黑龙江
河
南
（时间为88/9+8*2=25.777778）
广西海南湖南
北京（时间58/9+6*2=18.444444）
青海甘肃宁夏
上
海
北京。
（时间68/9+10*2=27.555556）
三条环路如
下图4所示:
上海Al!
合湾A20
总的时间为25.777778+18.444444+27.555556=71.77777
三、问题三的模型建立与求解
根据题目和假设，假设两城市之间运输的价格=权
（1）*2500+平均指数*5000（单位：
价格）
北京到新疆A1A5权
（1）是23,北京的指数为1.9，上海为1.2，则先求出平均指数
（1.9+1.2）/2=1.55，根据公式可得
北京到新疆A1A5关于时间的运输价格的权为23*2500+1.55*5000=65250（小时），其
他各城市间的权（3）见下
表4
平均消费指数
权（3）（价格）
1.55
65250
25500
1.65
60750
56000
27750
1.25
61250
58500
15250
38000
13000
1.85
69250
1.45
12250
31750
17750
1.15
20750
16000
26500
11250
33750
1.175
10875
44500
1.275
31375
50250
37000
35750
1.35
24250
44000
19250
针对问题一
根据最小生成树的求法根据权（3）求出改图G的最小生成树如图5所示：
A1—A19-A20-A19-A8—A18—A3-A11—
A2—A5-A12-A5-A4—A5-A2-A13-A16-A7—A6-A17—A15-A1—A10—A9-A14—A9—A10-A1
可以将相邻两点的权（3）相加，和为总花费，最少为584250元。
针对问题二
把各个城市间的航线示意图抽象为一赋权连通图G（V,E），在权图G中，v「v（G）对应的示意图中各个货物需求地，V0表示北京，e「E（G）对应图中的航线，边权w（ej）对应示意图中的航线长，将航线长及在各个城市停留的时间都转化相应的花费z（ei）
即权（3）。
「eE（G）,w（e）N,vv（G）,w（v）|V*T,|V°
（1）Vo^V（Li），i=1,2,……,k；
⑵LJV（Li）=V（G）；
（3）为为Z（e）=min（目标为总花费最少）；
或max|£
Z（ei）+》Z（v）l=
i丄e壬（L）e汪（L）tH（t）
min（目标为飞行总的花费最少）。
由分析得此货机至少要回去取货二次，相当于把图G分成三个子图G0=123）,
在每个子图Gi中寻找最佳回路［出=1,2,3）。
从而根据最小生成树的分解方法把图G（V，E）划分为三个子图Gi，i=123，分别在Gi中寻找最佳航线。
扩环策略、增环策略、换枝策略，寻找最优的分块结果，在GJ=1,2,3，中分别寻找一条从北京出发，遍历V并回到北京的最短路线。
在g（v，E）中求三条从北京o出发并回到北京o的路l1,l2,l3，依据的步骤如下，做出G和O之间的最短路；
以O与G连通的路径及原图G的最优树在Gi中保留的边为基础，进行增环扩环调整，使最后尽可能形成一个环路。
线路如下：
北京吉林黑龙江内蒙古新疆西藏云南河
南北京重庆广西海南湖南香港北京重庆青海
甘肃宁夏江苏福建上海台湾上海北京。
总的费用为711750（元）
7模型的评价与推广
一、模型的优缺点
1、优点:
〔1〕.本文的三个问题，给出了在各种约束条件下的最短时间以及最少花费的计算方法，具有较强的实用性和通用性，可用于日常生活中；
〔2〕.在忽略其他条件限制的最短时间问题中，我们采用最小生成树方法进行求解，并用了枚举法进行验证，经过大量的计算使结果更准确，更符合实际情况，从而达到解决实际问题的目的；
〔3〕.采用枚举法对问题结果进行验证，使计算结果更加准确，更符合实际；
〔4〕.对于加入了省辖市需求量的问题当中，我们在第一问的基础上，计算出北京到各个城市间的最短距离，并再次利用最小生成树的方法，进行计算验证得出结果，解决实际问题。
〔5〕.在本题目的最后一问当中，给出了计算在货物体积和重量等多个限制条件下的最优化解法，采用最小生成树算法解决了这个与实际问题非常接近的问题，具有很好的实际意义。
2、缺点：
〔1〕.本题中为使问题便于研究，我们做了许多假设，这或许对模型的实际意义产生影响；
〔2〕.本问题并非线性优化问题，加之节点过多，需要到量的精密计算，多次重复因此很难做到求出的结果就是最优解，只是相对较优的结果；
〔3〕.本为题所建立的模型，本省舍弃了某些因素的影响的结果，但会使所求结果与实际生活产生偏差。
七．模型的推广
本文依据所研究的问题建立了三个模型，这三种模型对于许多数学问题的解决方法和途径都有一定的帮助。
第一问中
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