等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题经典版.docx

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等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题经典版

等比数列知识点总结与典型例题

1、等比数列的定义：

，称为公比

2、通项公式：

，首项：

；公比：

推广：

3、等比中项：

〔1〕假如成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：

或

注意：

同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个〔

〔2〕数列是等比数列

4、等比数列的前项和公式：

〔1〕当时，

〔2〕当时，

〔为常数〕

5、等比数列的断定方法：

〔1〕用定义：

对任意的，都有为等比数列

〔2〕等比中项：

为等比数列

〔3〕通项公式：

为等比数列

6、等比数列的证明方法：

根据定义：

假设或为等比数列

7、等比数列的性质：

〔2〕对任何，在等比数列中，有。

〔3〕假设，那么。

特别的，当时，得注：

等差和等比数列比拟：

等差数列

等比数列

定义

递推公式

；

；

通项公式

〔〕

中项

〔〕

〔〕

前项和

重要

性质

经典例题透析

类型一：

等比数列的通项公式

例1．等比数列中，,,求.

思路点拨：

由等比数列的通项公式，通过条件可列出关于和的二元方程组，解出和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.

解析：

法一：

设此数列公比为，那么

由

（2）得：

..........（3）

∴.

由

（1）得：

∴......（4）

（3）÷（4）得：

，

∴,解得或

当时，，；

当时，，.

法二：

∵,又,

∴、为方程的两实数根，

∴或

∵,∴或.

总结升华：

①列方程〔组〕求解是等比数列的根本方法，同时利用性质可以减少计算量；

②解题过程中详细求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法〔除式不为零〕.

举一反三：

【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。

【答案】±96

法一：

设公比为q，那么768=a1q8，q8=256，∴q=±2，∴a6=±96；

法二：

a52=a1a9a5=±48q=±2，∴a6=±96。

【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。

【答案】64；

∵，又an＞0，∴a45=4

∴。

【变式3】等比数列，假设，，求。

【答案】或；

法一：

∵，∴，∴

从而解之得，或，

当时，；当时，。

故或。

法二：

由等比数列的定义知，

代入得

将代入〔1〕得，

解得或

由〔2〕得或，以下同方法一。

类型二：

等比数列的前n项和公式

例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，假设S3+S6=2S9，求数列的公比q.

解析：

假设q=1，那么有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.

因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.

由得，，

整理得q3（2q6-q3-1）=0，

由q≠0，得2q6-q3-1=0，从而（2q3+1）（q3-1）=0，

因q3≠1，故，所以。

举一反三：

【变式1】求等比数列的前6项和。

【答案】；

∵，，

∴。

【变式2】：

{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.

【答案】；

∵，，那么a1=1或a1=9

∴.

【变式3】在等比数列中，，，，求和。

【答案】或2，；

∵，∴

解方程组，得或

①将代入，得，

由，解得；

②将代入，得，

由，解得。

∴或2，。

类型三：

等比数列的性质

例3.等比数列中，假设,求.

解析：

∵是等比数列，∴

∴

举一反三：

【变式1】正项等比数列中，假设a1·a100=100;那么lga1+lga2+……+lga100=_____________.

【答案】100；

∵lga1+lga2+lga3+……+lga100=lg（a1·a2·a3·……·a100）

而a1·a100=a2·a99=a3·a98=……=a50·a51

∴原式=lg（a1·a100）50=50lg（a1·a100）=50×lg100=100。

【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，那么插入的三个数的乘积为________。

【答案】216；

法一：

设这个等比数列为，其公比为，

∵，，∴，

∴。

法二：

设这个等比数列为，公比为，那么，，

参加的三项分别为，，，

由题意，，也成等比数列，∴，故，

∴。

类型四：

等比数列前n项和公式的性质

例4．在等比数列中，，，求。

思路点拨：

等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决方法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。

解析：

法一：

令b1=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n

观察b1=a1+a2+……+an,

b2=an+1+an+2+……+a2n=qn（a1+a2+……+an），

b3=a2n+1+a2n+2+……+a3n=q2n（a1+a2+……+an）

易知b1,b2,b3成等比数列，∴，

∴S3n=b3+S2n=3+60=63.

法二：

∵，∴，

由得

②÷①得，即③

③代入①得，

∴。

法三：

∵为等比数列，∴，，也成等比数列，

∴，

∴。

举一反三：

【变式1】等比数列中，公比q=2,S4=1,那么S8=___________.

【答案】17；

S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4（a1+a2+a3+a4）=S4+q4S4=S4（1+q4）=1×（1+24）=17

【变式2】等比数列的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求：

S30=？

【答案】130；

法一：

S10，S20-S10，S30-S20构成等比数列，∴（S20-S10）2=S10·（S30-S20）

即302=10（S30-40）,∴S30=130.

法二：

∵2S10≠S20，∴,

∵,,

∴∴,∴

∴.

【变式3】等比数列的项都是正数，假设Sn=80,S2n=6560，前n项中最大的一项为54，求n.

【答案】∵，∴（否那么）

∴=80........

（1）

=6560.........

（2），

（2）÷

（1）得：

1+qn=82,∴qn=81......（3）

∵该数列各项为正数，∴由（3）知q>1

∴{an}为递增数列，∴an为最大项54.

∴an=a1qn-1=54,∴a1qn=54q,

∴81a1=54q..........（4）

∴代入

（1）得，

∴q=3,∴n=4.

【变式4】等比数列中，假设a1+a2=324,a3+a4=36,那么a5+a6=_____________.

【答案】4；

令b1=a1+a2=a1（1+q），b2=a3+a4=a1q2（1+q）,b3=a5+a6=a1q4（1+q）,

易知：

b1,b2,b3成等比数列，∴b3===4,即a5+a6=4.

【变式5】等比数列中，假设a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。

【答案】448；

∵{an}是等比数列，∴（a4+a5+a6）=（a1+a2+a3）q3,∴q3=8,

∴a7+a8+a9=（a4+a5+a6）q3=56×8=448.

类型五：

等差等比数列的综合应用

例5．三个数成等比数列，假设前两项不变，第三项减去32，那么成等差数列.假设再将此等差数列的第二项减去4，那么又成等比数列.求原来的三个数.

思路点拨：

恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.

解析：

法一：

设成等差数列的三数为a-d,a,a+d.

那么a-d,a,a+d+32成等比数列，a-d,a-4,a+d成等比数列.

∴

由

（2）得a=...........（3）

由

（1）得32a=d2+32d..........（4）

（3）代（4）消a，解得或d=8.

∴当时,；当d=8时,a=10

∴原来三个数为,,或2,10,50.

法二：

设原来三个数为a,aq,aq2，那么a,aq,aq2-32成等差数列，a,aq-4,aq2-32成等比数列

∴

由

（2）得，代入

（1）解得q=5或q=13

当q=5时a=2；当q=13时.

∴原来三个数为2，10，50或，,.

总结升华：

选择适当的设法可使方程简单易解。

一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d,a,a+d；假设三数成等比数列，可设此三数为，x,xy。

但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。

举一反三：

【变式1】一个等比数列有三项，假如把第二项加上4，，那么所得的三项就成为等差数列，假如再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.

【答案】为2，6，18或；

设所求的等比数列为a，aq，aq2；

那么2（aq+4）=a+aq2，且（aq+4）2=a（aq2+32）；

解得a=2，q=3或，q=-5；

故所求的等比数列为2，6，18或.

【变式2】三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。

【答案】1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1

设这三个数分别为，

由得

得，所以或，

即或

故所求三个数为：

1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1。

【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.

【答案】0，4，8，16或15，9，3，1；

设四个数分别是x,y,12-y,16-x

∴

由

（1）得x=3y-12，代入

（2）得144-24y+y2=y（16-3y+12）

∴144-24y+y2=-3y2+28y,∴4y2-52y+144=0,

∴y2-13y+36=0,∴y=4或9，

∴x=0或15，

∴四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.

类型六：

等比数列的判断与证明

例6．数列{an}的前n项和Sn满足：

log5（Sn+1）=n（n∈N+）,求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？

思路点拨：

由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断{an}类型.

解析：

∵log5（Sn+1）=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1（n∈N+）,

∴a1=S1=51-1=4,

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（5n-1）-（5n-1-1）=5n-5n-1=5n-1（5-1）=4×5n-1

而n=1时，4×5n-1=4×51-1=4=a1,

∴n∈N+时，an=4×5n-1

由上述通项公式，可知{an}为首项为4，公比为5的等比数列.

举一反三：

【变式1】数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。

【答案】p=2或p=3；

∵{Cn+1-pCn}是等比数列，

∴对任意n∈N且n≥2，有（Cn+1-pCn）2=（Cn+2-pCn+1）（Cn-pCn-1）

∵Cn=2n+3n,∴[（2n+1+3n+1）-p（2n+3n）]2=[（2n+2+3n+2）-p（2n+1+3n+1）]·[（2n+3n）-p（2n-1+3n-1）]

即[（2-p）·2n+（3-p）·3n]2=[（2-p）·2n+1+（3-p）·3n+1]·[（2-p）·2n-1+（3-p）·3n-1]

整理得：

解得：

p=2或p=3,

显然Cn+1-pCn≠0，故p=2或p=3为所求.

【变式2】设{an}、{bn}